Regras para esboço do Lugar das Raízes O número de ramos do lugar das raízes é igual ao número de pólos do sistema; O lugar das raízes é simétrico em relação ao eixo real; O eixo real que está a esquerda de um número ímpar de pólos e/ou zeros finitos de malha aberta faz parte do lugar das raízes;

Regras para esboço do Lugar das Raízes O lugar das raízes se inicia nos pólos finitos de malha aberta e termina nos zeros finitos e infinitos de malha aberta; Os ramos do lugar das raízes que vão para infinito tendem a retas assintóticas fornecidas pelas equações:

Exemplo: Esboce o Lugar das raízes

Lugar das raízes e assíntotas para o sistema: Plano s Assíntota Assíntota Assíntota

Refinando o Lugar das Raízes Pontos de saída e pontos de chegada no eixo real: Cruzamento com o eixo imaginário é feito através do critério de Routh obtendo o valor do ganho que esta na transição de estabilidade; Ângulo de partida e chegada em pólos ou zeros complexos conjugados

Pontos de Interseção com o Eixo Imaginário Utilização do critério de Routh; Caso especial de linha que só possuem zeros implicam na existência de polinômios estritamente pares ou ímpares como fator do polinômio original; Os polinômios pares possuem somente raízes simétricas nas seguintes situações:

Localização das raízes para a geração de polinômios pares: A, B, C ou qualquer das combinações Plano s A: Reais e simétricas em relação à origem B: Imaginárias e simétricas em relação à origem C:Quadrantais e simétricas em relação à origem

Pontos de Interseção com o Eixo Imaginário Portanto só teremos raízes no eixo imaginário se tivermos uma linha contendo todos os termos iguais a zero na tabela de Routh; Estas raízes são as raízes do “polinômio par” que é o polinômio da linha acima da linha de zeros; Tudo o que acontece na tabela de Routh abaixo da linha do “polinômio par” se refere a ele.

Tabela de Routh para: Raízes de Linha Toda de Zeros 0 + 2.0000i

Linha Toda de Zeros 0 + 1.4142i 0 - 1.4142i 0 + 1.0000i 0 - 1.0000i

0.5000 + 3.1225i 0.5000 - 3.1225i 0.0000 + 1.4142i 0.0000 - 1.4142i -1.0000 + 0.0000i -1.0000 - 0.0000i -0.0000 + 1.0000i -0.0000 - 1.0000i

Para o Exemplo Anterior temos: Ponto de Partida: Ponto de Partida, pois é a única raíz que esta entre “0” e “-1”

Para o Exemplo Anterior temos: Cruzamento com Eixo Imaginário Linha de Zeros

Para o Exemplo Anterior temos: Valor a ser Escolhido Cruzamento com o Eixo Imaginário

Pontos de Chegada e de Saída do eixo real Exemplo: Esboce o lugar das raízes para

Pontos de Saída e Chegada

Exemplo de lugar das raízes mostrando os pontos de saída (–1) e entrada (2) no eixo real Plano s

Exemplo de lugar das raízes mostrando os pontos de cruzamento com o eixo imaginário Plano s

Exemplo: Trace o Lugar das Raízes para as duas Funções de Transferência mostradas abaixo e observe que uma pequena mudança na posição do zero altera consideravelmente a forma do Lugar das Raízes:

Pólos e zeros a malha aberta e cálculos de: a. ângulo de saída; b Pólos e zeros a malha aberta e cálculos de: a. ângulo de saída; b. ângulo de chegada

Exemplo: calcule os ângulos de partida para o sistema

Lugar das raízes para o sistema da Fig. 8.16 mostrando ângulo de saída

Determinando e calibrando os pontos exatos no lugar das raízes para cruzamento com linha de %UP=20% Ângulo Raio 0,45 (graus) 0,5 0,747 1,0 1,5 2,0 –158,4 –180,0 –199,9 –230,4 –251,5 Plano s 1,5 ,5