SISTEMAS DIGITAIS ALGEBRA DE BOOLE E SIMPLIFICAÇÃO DE CIRC. LÓGICOS CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DA PARAÍBA SISTEMAS DIGITAIS ALGEBRA DE BOOLE E SIMPLIFICAÇÃO DE CIRC. LÓGICOS Prof. José Bezerra de Menezes Filho

PRINCÍPIOS DA ALGEBRA BOOLEANA Componentes da Álgebra de Boole: Postulados; Propriedades; Teoremas fundamentais; Identidade. Variáveis Booleanas: 0 e 1

POSTULADO DA COMPLEMENTAÇÃO Se A=0 A=1 Se A=1 A=0 Com base no postulado da complementação: A=A

Identidade com inversor

POSTULADO DA ADIÇÃO IDENTIDADES: A+0=A A=0 0+0=0, A=1 1+0=1 A+1=1 0+1=1 1+0=1 1+1=1

POSTULADOS DA MULTIPLICAÇÃO 0.0=0 0.1=0 1.0=0 1.1=1 IDENTIDADES: A.0=0 A=0 0.0=0, A=1 1.0=0 A.1=A A=0 0.1=0, A=1 1.1=1 A.A=A A=0 0.0=0, A=1 1.1=1 A.A=0 A=0 A=1 0.1=0 A=1 A=0 1.0=0

PROPRIEDADES COMUTATIVA E ASSOCIATIVA VÁLIDAS PARA ADIÇÃO E MULTIPLICAÇÃO Propriedade comutativa Adição: A+B=B+A Multiplicação: A.B=B.A Propriedade Associativa Adição: A+(B+C)=(A+B)+C= A+B+C Multiplicação A.(B.C)=(A.B).C= A.B.C

PROPRIEDADE DISTRIBUTIVA E 1º TEOREMA DE DE MORGAN A.(B+C)=A.B+A.C Ex.: A=1,B=1,C=0 1.(1+0) = 1+0=1 1.1+0.1 = 1+0=1 1º Teorema de De Morgan Complemento do produto é a soma dos complementos: 2 Elementos: A.B= A + B n Elementos: A.B....N=A+B+...N

2º TEOREMA DE DE MORGAN O Complemento da soma é igual ao produto dos complementos: 2 elementos: A+B=A.B n elementos: A+B+...N=A.B...N

IDENTIDADES AUXILIARES A+A.B=A Prova: A+A.B=A(1+B)=A.1=A (A+B).(A+C)=A+B.C (A+B).(A+C)=A.A+A.C+B.A+B.C (A.A=A) (A+B).(A+C)=A+A.C+B.A+B.C=A(1+B+C) +B.C=A.1+B.C=A+B.C

IDENTIDADE AUXILIAR Continuação A+AB=A+B Prova: A+A.B=(A+A.B) utilizando 2º Teor. DM (A+A.B)=[A.(A+B)] utilizando 1º Teor. DM [A.(A+B)]=(A.A+A.B) utilizando prop. Distr. e identidade A.A=0 (A.A+A.B)=(A.B) utilizando 1°Teor. DM (A.B)=A+B

SIMPLIFICAÇÃO DE EXPRESSÕES BOOLEANAS Por que simplificar? A partir de expressões simples pode-se construir circuitos simples Processos de simplificação: a)Simplificação por Álgebra de Boole b)Simplificação por mapa de Veigh Karnaugh ( Mapa VK)

SIMPLIFICAÇÃO POR ÁLGEBRA DE BOOLE Exemplo 1: S=ABC+AC+AB S=A(BC+C+B) S=A[BC+(C+B)] S=[BC+BC]A S=A Exemplo 2: S=ABC+ABC+ABC S=AC(B+B)+ABC S=AC+ABC

SIMPLIFICAÇÃO POR MAPA DE KARNAUGH

MAPA DE VK P/ 2 VARIÁVEIS Possui grupo de 4 variáveis Possui grupos de 2 variáveis Regra: Grupo de 4(quadra): S=1 Grupo de 2 (dupla): Sobra 1 variável

MAPA DE VK P/ 3 VARIÁVEIS Possui grupo de 8 variáveis Possui grupos de 2 variáveis do mesmo modo que o mapa de VK utilizado com 2 variáveis Possui grupos de 4 variáveis Regra: Grupo de 8 : S=1 Grupo de 2 (dupla): Sobram 2 variáveis Grupo de 4 (quadra): Sobram 1 variáveis

MAPA DE VK P/ 4 VARIÁVEIS Possui grupo de 16 variáveis Possui grupos de 2 e de 4 variáveis do mesmo modo que o mapa de VK utilizado com 3 variáveis Possui grupos de 8 variáveis Regra: Grupo de 16 variáveis: S=1 Grupo de 2 (dupla): sobram 3 variáveis Grupo de 4 (quadra): sobram 2 variáveis Grupo de 8: sobra 1 variável

CONDIÇÃO IRRELEVANTE Condição em que a saída pode assumir 0 ou 1 indiferentemente. Regras: X na entrada: o valor pode ser 0 ou 1. O valor da saída não depende da variável indicada por X. X na saída: Ou a entrada é impossível de aconter ou possibilita qualquer dos 2 valores (0 ou 1).