Modelos de Optimização de Redes OPTIMIZAÇÃO E DECISÃO Modelos de Optimização de Redes Responsável: Prof. Alexandra Moutinho João Raposo Nº 43633 Carlos Costa Nº 55518 27 / 10 / 2008

Representação em Rede Amplamente usadas em diversos tipos de problemas tais como: Produção Distribuição Planeamento de projectos Rotas Planeamento de recursos / plan. Financeiro Muitos modelos de optimização de redes, são casos especiais de Programação Linear.

Terminologia de Redes Exemplos de componentes típicos de redes: Spanning Tree → Rede em que todos os nós estão ligados e que não contém ciclos indirectos. Nós Arcos Fluxo Cruzamentos Aeroportos Comutadores Estações de Elevação Postos de Trabalho Estradas Rotas Fios / Canais Condutas Rotas de transporte de materiais Carros Aviões Mensagens Fluidos Tarefas Caminho Indirecto – A ligação entre dois nós não tem direcção definida Directo – Liga dois nós consecutivos Rede Não Orientada – Arcos sem sentido definido Orientada – Arcos Dirigidos

Tipos de Problemas de Redes Caminho Mais Curto Algoritmo: Objective of nth iteration: find the nth nearest node to the origin (n = 1, 2, …) until the nth nearest node is reached. Input for the nth iteration: n – 1 nearest nodes to the origin, including their shortest path and distance to the origin (these are the solved nodes). Candidates for the nth nearest node: each solved that is directly connected to unsolved nodes provides one candidate – the unsolved node with the shortest connecting link. Calculation of the nth nearest node: for each solved node and its candidate, add the distance between them to the distance of the shortest path from the origin to this solved node. The candidate with the smallest total distance is the nth nearest node, and its shortest path is the one generating this distance. Nó inicial: MEC Nó final: CV

Caminho Mais Curto Caminho Óptimo: Mec-C-CV Tipo de aplicações: Nós resolvidos directamente ligados a nós não resolvidos Nó não resolvido mais próximo Distância total envolvida Nó mais próximo Distância mínima Ligação 1 Mec TN 100 Mec-TN 2 C CV 120 100+80=180 Mec-C 3 TS 200 120+30=150 150 C-CV Caminho Óptimo: Mec-C-CV Tipo de aplicações: Minimização de distância percorrida Minimização do custo de uma sequencia de actividades…

Tipos de Problemas de Redes Minimum Spanning Tree Algoritmo: Escolher um nó arbitrariamente. Ligar esse nó seguinte mais próximo Identificar qual a ligação mais próxima dos nós já ligados e ligar. Repetir até todos os nós estarem ligados Em caso de haver mais do que uma ligação numa das etapas, o desempate é feito arbitrariamente. Apenas indica que existe mais do que uma solução óptima.

Tipos de Problemas de Redes Problema de Fluxo Máximo Maximizar o fluxo entre uma fonte e um poço através de uma rede orientada e ligada. O fluxo nos arcos é apenas permitido na direcção indicada no mesmo Resolução: Augmented Path Algorithm Determinar um caminho entre a fonte O e o poço T e reduzir a capacidade residual máxima possível na direcção directa desse caminho.

Problema de Fluxo Máximo Iteração 1 Determinar o caminho Partindo da fonte seguir pelos caminhos com capacidade maior que zero. Partindo dos nós atingidos repetir o processo até chegar ao poço. Determinar Optimalidade Para uma rede com uma fonte e um poço, o fluxo máximo praticável corresponde ao valor mínimo de todos os cortes da rede.

Tipos de Problemas de Redes Fluxo de Custo Mínimo Generalização, inclui arcos com capacidade limitada, custos e pode incluir múltiplas fostes e poços com custos associados. Pode ser definido como um problema de programação linear: Simplex de redes. Definição do problema: Rede orientada e conectada. Contem pelo menos uma fonte e um poço. Os arcos te capacidade para que todo fluxo “criado” nas fontes chegue aos poços. Objectivo: Minimizar o custo da transferência do fluxo

Fluxo de Custo Mínimo Exemplo: Condição de existência de solução: ∑ bi = 0