Conjuntos, operações com conjuntos, relações e funções Atenção: Este conteúdo foi disponibilizado de acordo com uma licença Creative Commons. Fique atento às regras da licença ao utilizá-lo Atualizado em Fevereiro de 2011

Conjuntos Wikipedia: Coleção de elementos Exemplos: Conjunto de cidades da RMC: Americana, Artur Nogueira, Campinas, Cosmópolis, Engenheiro Coelho, Holambra, Hortolândia, Indaiatuba, Itatiba, Jaguariúna, Monte Mor, Nova Odessa, Paulínia, Pedreira, Santa Bárbara d'Oeste, Santo Antônio de Posse, Sumaré, Valinhos e Vinhedo. Conjunto de números pares maiores do que 2 e menores do que 9: 4, 6 e 8

Conjuntos numéricos A={0, 2, 4, 6, 8, ...} B={0, 2, 4, 6, 8, 10} D={3, 5} E={2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19...}

Conjuntos importantes Conjunto vazio: Conjunto unitário: Conjunto Universo (U) Formado por todos os elementos com os quais estamos trabalhando numa determinada situação, ou seja, é o conjunto de todos os conjuntos considerados em um problema.

Relações entre conjuntos 1 pertence a A {1} está contido em A {3} não está contido em B B está contido em A A não está contido em B O conjunto vazio está contido em B

Conjunto das partes É formado por todos os subconjuntos de um conjunto dado. B={1, 2, 3} P(B)={Ø, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}}

Conjunto das partes Relação entre o número de elementos do conjunto e o número de elementos do conjunto das partes: Ø possui 0 elementos e P(Ø)={Ø} possui 1 elemento {1} possui 1 elemento e P({1})={Ø, {1}} possui 2 elementos {1, 2} possui 2 elementos e P({1,2})={Ø, {1}, {2}, {1,2}} possui 4 elementos

Conjunto das partes Logo, dado um conjunto A com n elementos, o número de elementos do conjunto das partes de A, representado por P(A), é igual a 2n

Operações com conjuntos

Operações com conjuntos: Intersecção Seja o conjunto A={0, 1 ,2, 3, 4} e o conjunto B={0, 2, 5, 6}, temos: A  B = {x/xA e x  B} (Intersecção) A  B = {0, 2} A 0 2 B 1 3 4 5 6

Operações com conjuntos: União Seja o conjunto A={0, 1 ,2, 3, 4} e o conjunto B={0, 2, 5, 6}, temos: A  B = {x/xA ou x  B} (União) A  B = {0, 1, 2, 3, 4, 5 ,6} A 0 2 B 1 3 4 5 6

Operações com conjuntos: Diferença Seja o conjunto A={0, 1 ,2, 3, 4} e o conjunto B={0, 2, 5, 6}, temos: A - B = {x/xA e xB} (Diferença) A - B = {1, 3, 4} A 0 2 B 1 3 4 5 6

Operações com conjuntos: Complementar Caso especial: um conjunto está contido no outro: A={0, 1 ,2} e B={0, 1, 2, 5, 6}, temos: O complementar de B em relação a A: A B 0 1 2 5 6 A  B = {0, 1, 2, 5 ,6} = B A  B = {0, 1, 2} = A A-B={ } B-A={5, 6}

Operações com conjuntos: Produto cartesiano Seja o conjunto A={0, 1 ,2, 3, 4} e o conjunto B={0, 2, 5, 6}, temos: A x B = {(x,y)/xA e yB} (Produto cartesiano) AxB={(0,0); (0,2); (0,5); (0,6); (1,0); (1,2); (1,5); (1,6); (2,0); (2,2); (2,5); (2,6); (3,0); (3,2); (3,5); (3,6); (4,0); (4,2); (4,5); (4,6)} Atenção: n(A) = 5 e n(B)=4 e n(AxB)=5 . 4 = 20 Par ordenado: (2, 0)(0, 2)

Representação no plano cartesiano A={0, 1 ,2, 3, 4} B={0, 2, 5, 6} B Atenção para: AxB: A no eixo horizontal e B no eixo vertical (0,2) e (2,0) são pontos distintos Os pontos não estão ligados por linhas contínuas, isso depende dos conjuntos e da relação! A

Conjuntos numéricos

Conjuntos numéricos Conjunto dos Números Naturais (N)

Conjuntos numéricos Conjunto dos Números Inteiros (Z)

Conjunto numéricos Conjunto dos Números Racionais (Q)

Conjuntos numéricos Representação decimal de números racionais: A representação decimal de um número racional é obtida pela divisão de a por b. Esta divisão pode resultar em decimais exatas ou dízimas periódicas:

Conjunto numéricos Conjunto dos Números Irracionais (I ou Ir) Números decimais que não admitem representação fracionária Exemplo: , a raiz quadrada de um número inteiro não-negativo que não é inteira, decimais infinitas e não-periódicas

Conjuntos Numéricos Conjunto dos Números Reais (R) N Z Q I

Intervalos numéricos (reais)

Intervalos numéricos (Reais) -3 (-3, +) = ]-3, +) ={x   / x > -3} [-3, +) = [-3, +) ={x   / x  -3} -3

Intervalos numéricos (Reais) -3 4 (-3, 4) = ]-3, 4)=]-3, 4[ ={x   / -3 < x < 4} (-3, 4] = ]-3, 4] ={x   / -3 < x  4} -3 4

Relações entre conjuntos

Relações entre conjuntos Seja o conjunto A={0, 1, 2, 3, 4} e o conjunto B={0, 2, 5, 6}, temos: R = {(x,y)AxB / x+y>4} R={(0,5); (0,6); (1,5); (1,6); (2,5); (2,6); (3,2); (3,5); (3,6); (4,2); (4;5); (4,6)} N(R)=12

Relações entre conjuntos Representação gráfica: A={0, 1 ,2, 3, 4} e B={0, 2, 5, 6} R = {(x,y)AxB / x+y>4} 1 2 3 4 2 5 6

Relações entre conjuntos Representação gráfica: A={0, 1 ,2, 3, 4} e B={0, 2, 5, 6} R = {(x,y)AxB / x+y>4} 1 2 3 4 2 5 6

Representação no plano cartesiano - Relações B={0, 2, 5, 6} B R= {(x,y)AxB / x+y>4} Observe os conjuntos A e B e a relação R para determinar se você pode traçar uma reta sobre os pontos. A

Relações especiais Seja o conjunto A={0, 1 ,2, 3, 4} e o conjunto B={0, 2, 4, 6, 8, 11}, temos: R = {(x,y)AxB / y = 2x} R={(0,0); (1,2); (2,4); (3,6); (4,8)} N(R)=5

O que há de especial nesta relação? Relações especiais Relações especiais Representação através de diagrama: A={0, 1 ,2, 3, 4} e B={0, 2, 4, 6, 8, 11} R = {(x,y)AxB / y = 2x} 2 4 6 8 11 1 2 3 4 O que há de especial nesta relação?

Conjunto Contradomínio Relações especiais Relações especiais O que há de especial? Neste exemplo, todos os elementos do conjunto “origem” (domínio) estão relacionados uma e somente uma vez com elementos do “destino” (contradomínio) 2 4 6 8 11 1 2 3 4 Conjunto Imagem Conjunto Domínio Conjunto Contradomínio

Por que essa característica é especial? A garantia de encontrar um correspondente a partir de um número dado pode ajudar a conhecer/entender/explicar um determinado contexto/fenômeno.

Funções: definição Uma relação F de A em B é uma função se, e somente se, todo elemento de A tem um único correspondente em B. Em outras palavras, cada elemento do conjunto domínio possui uma, e somente uma, imagem.

Funções: Notação Exemplo: Dada a função f:N N, definida para todo natural n  N, tal que f(n)=2n+1 2n+1 é uma forma de se representar um número ímpar! Para n=0 temos, f(0)=2.0+1=1 logo f(0)=1 ou (0, 1) Para n=1 temos, f(1)=2.1+1=3 logo f(1)=3 ou (1, 3) Para n=2 temos, f(2)=2.2+1=5 logo f(2)=5 ou (2, 5) Para n=3 temos, f(3)=2.3+1=7 logo f(3)=7 ou (3, 7)

Representação no plano cartesiano - Funções B={0, 2, 4, 6} B R= {(x,y)AxB / y=2x} A função é uma relação especial, logo, ser função não determina se podemos ou não traçar uma reta pelos pontos. A

Funções - Classificação Injetora, Sobrejetora e Bijetora

Conjunto Contradomínio Função Injetora É a função na qual: x1  x2 então f(x1)  f(x2) 2 4 6 8 11 1 2 3 4 Conjunto Imagem Conjunto Domínio Conjunto Contradomínio

Conjunto Contradomínio Função Sobrejetora É a função na qual a todo elemento do contra-domínio está associado um elemento do domínio. Ou seja: Cd=Im 2 4 6 1 2 3 4 Conjunto Imagem Conjunto Domínio Conjunto Contradomínio

Conjunto Contradomínio Função Bijetora É a função que é injetora e sobrejetora. 2 4 6 8 1 2 3 4 Conjunto Imagem Conjunto Domínio Conjunto Contradomínio