Estatística Para um dado conjunto de dados, podemos calcular as seguintes grandezas: 1) Medidas de posição 2) Medidas de dispersão 3) Parâmetros de simetria 4) Intervalo de confiança

Medidas de posição Média aritmética: xmédio= ( ∑ xi ) /n 2) Média aritmética ponderada xmédio= ( ∑ xi pi) / (∑ pi) pi – pesos xi – valores observados

Medidas de posição 3) Média para dados agrupados numa distribuição de freqüências xmédio= ( ∑ xi fi) / (∑ fi) onde xi é o ponto médio de cada classe fi é a freqüência de cada classe 4) Moda (mo): valor que se repete o maior numero de vezes , é o valor que ocorre com maior freqüência. Um conjunto de números pode não ter moda (amodal), ou pode possuir duas ou mais modas (bimodal ou multimodal).

Medidas de posição 5) Mediana: termo central da série Se n é ímpar, por exemplo n = 9. (n+1)/2 = (9+1)/2 = 5  a mediana é o 5o termo Se n é par, por exemplo n = 8. As posições dos termos centrais são: n/2 = 8/2 = 4º elemento n/2+1 = 5º elemento A mediana é a média entre o quarto e quinto elementos.

Medidas de Dispersão Amplitude: é a diferença entre o maior e o menor valor de um conjunto de dados 2) Variância:

Medidas de Dispersão 3) Desvio padrão: σ= √ s2 O desvio padrão indica o quanto os dados estão dispersos em torno do valor médio. 4) Coeficiente de Variação: medida relativa de dispersão utilizada para se comparar, em termos relativos, o grau de concentração em torno da média de amostras diferentes. É definido como: CV = (s/xmédio) 100

Z-score O Z-score é uma medida da posição de uma amostra considerando tanto a média quando a dispersão, medida pelo desvio padrão. Mais especificamente o Z-score diz quantos desvios padrão o valor está em relação à média. Matematicamente falando x-μ dá a distância da amostra x em relação a média. Se dividirmos este valor pelo desvio padrão teremos quantos desvios padrão está distante da média. O valor z será positivo se x for maior que a média e será negativo se for menor que a média.

Parâmetros de Simetria Assimetria positiva (assimétrica à direita): Assimetria negativa (assimétrica à esquerda): Assimetria nula:

Parâmetros de Simetria Coeficiente de Assimetria de Pearson As = (xmédio – mo)/σ onde xmédio é a média amostral mo é a moda σ é o desvio padrão As < 0  assimetria negativa As > 0  assimetria positiva As = 0  assimetria nula (curva simétrica)

Distribuição Normal f(x)= 1/2π exp(-x2/2) A função densidade probabilidade da distribuição normal com média μ e variância σ2 (de forma equivalente, desvio padrão σ) é assim definida, Se a variável aleatória X segue esta distribuição escreve-se: X ~ N(μ,σ2). Se μ = 0 e σ = 1, a distribuição é chamada de distribuição normal padrão e a função de densidade de probabilidade reduz-se a, f(x)= 1/2π exp(-x2/2)

Distribuição Log-Normal Uma variável aleatória X tem a distribuição log-normal quando o seu logaritmo tem a distribuição normal. Logo, sua função de densidade é:

Distribuição de Weibull Distribuição de Weibull, nomeada pelo seu criador Waloddi Weibulll, é uma distribuição de probabilidade contínua, usada em estudos de tempo de vida de equipamentos e estimativa de falhas. Sua função de densidade é para e f(x;k,λ) = 0 para x < 0, onde k > 0 é o parâmetro de forma e λ > 0 é o parâmetro de escala da distribuição.

Distribuição Exponencial Distribuição exponencial é um tipo de distribuição contínua de probabilidade, representada por um parâmetro λ: f(x;λ) = λ exp(-λx) x ≥ 0 f(x;λ) = 0 x < 0

Testes Para um certo conjunto de dados, qual é a distribuição que melhor o descreve?  testes de aderência

Graus de Liberdade Grau de liberdade é, o número de determinações independentes a serem avaliados na população. Encontram-se mediante a fórmula n-1, onde n é o número de elementos na amostra. Também podem ser representados por k-1 onde k é o número de grupos, quando se realizam operações com grupos e não com sujeitos individuais.

Intervalo de Confiança Intervalos de confiança (IC) são usados para indicar a confiabilidade de uma estimativa. Um intervalo de confiança é usado para descrever quão confiáveis são os resultados de uma pesquisa. Uma pesquisa que resulte num IC pequeno é mais confiável do que uma que resulte num IC maior. Considerando que a integral da probabilidade p(x) é 1, quando se considera um intervalo de confiança no qual é de 90%, por exemplo, o intervalo de confiança será definido por x1< x < x2, de modo que: x2 ∫ p(x) dx = 0,9 x1

Intervalo de Confiança Ou seja, dado um experimento realizado n vezes onde foram obtidas a média de cada experimento e a média geral. Se intervalo de confiança pretendido for de 90% encontramos um valor x temos uma probabilidade de 90% dos casos em que forem realizados n experimentos do valor da média encontrada estar no intervalo x1 < x < x2. Define-se o parâmetro α como: Probabilidade da medida estar dentro do Intervalo de Confiança = 1 – α No exemplo acima: α =0,10

Intervalo de Confiança: cálculo Para uma amostra cuja média seja xmédio e o desvio padrão σ, o intervalo de confiança é dado por: P(xmédio - zα/2 σ/√n ≤ x ≤ xmédio+ zα/2 σ/√n) = 1 – α onde zα/2 é um fator tabelado. Exemplo: Seja n = 36, σ = 3 e xmédio = 24,2. Para 90% de confiança, zα/2 = 1,65 e o intervalo será: P(24,2 – 1,65 3/√36 ≤ x ≤ 24,2 + 1,65 3/√36) = 0,90 P(19,25 ≤ x ≤ 29,15) = 0,90 Pode-se afirmar que o valor medido estará entre 19 e 29 com uma confiança de 90%.

Intervalo de confiança: Distribuição t Student Quando o desvio padrão de toda a população não é conhecido, mas somente o da amostra, é o caso de se usar a distribuição t –Student. A Distribuição t é bastante parecida com a Normal, com a diferença que a de t tem maior área nas caudas. Esta distribuição é apropriada para um número pequeno de medidas. Para utilizar a tabela t é necessário conhecer o nível de confiança desejado (1-α) e o número de graus de liberdade (n-1).

Distribuição t Student Exemplo: Numa amostra de 36 indivíduos, foi medida a taxa de glicose no sangue. Foi obtida a média de 102,0 mg por 100 ml, com um desvio-padrão de 6 mg por 100 ml de sangue. Obtenha o intervalo para o nível de 90% de confiança. P(xmédio - tα/2 σ/√n ≤ x ≤ xmédio+ tα/2 σ/√n) = 1 – α Para se determinar o valor de t devemos consultar a tabela, considerando que n = 36 e α = 0,10. Isto nos fornece t = 1,69. Inserindo estes valores na expressão acima encontramos que: P (100,31 ≤ x ≤ 103,69) = 0,90

Distribuição t Student t table direto para o valor de alpha Retrieved from "http://en.wikipedia.org/wiki/T-table"

Intervalo de Confiança para uma Distribuição Normal Quando o n é muito grande não se usa a Distribuição-t, mas sim a normal. Neste caso o intervalo de confiança é determinado pelo z-score. Z-score de um certo valor x: número de desvios padrão σ que aquele valor x está distante do valor médio μ. z = (x – μ)/σ

Teste de Aderência: Chi-quadrado

Teste de Aderência: Chi-quadrado

Teste de Aderência: Chi-quadrado

Teste de Aderência: Chi-quadrado

Teste de Aderência: Chi-quadrado Exemplo: O Censo mostra que uma cidade tem 64% de residentes brancos, 25% de negros e 11% de latinos. Uma amostra de 350 novos empregados da cidade tem 243 brancos, 80 negros e 27 latinos. Será que o crescimento da cidade está acompanhando as mesmas tendências da sua população? Se a resposta fosse sim, os valores esperados seriam: Brancos = 0,64 * 350 = 224 Negros = 0,25 * 350 = 87,5 Latinos = 0,11 * 350 = 38,5 Χ2 = (243-224)2/224 + (80-87,5)2/87,5 + (27-38,5)2/38,5 = 5,69

Teste de Aderência: Chi-quadrado