TEORIA CINÉTICA DOS GASES Moléculas que colidem com a parede é Análise das variáveis macroscópicas p, V e T pode ser feita em termos das varáveis microscópicas: m e v das moléculas do gás y vxDt Hipóteses: Número grande de moléculas; moléculas com dimensões muito pequenas; velocidades vão de zero até valores enormes; moléculas são esferas rígidas; colisões perfeitamente elásticas; entre as colisões as moléculas se movem em MRU; nem posição nem direção preferenciais; separadas por distâncias grandes; gás ideal; A x z Volume V com N moléculas de um gás ideal As moléculas que atingem essa parede num Dt são aquelas que estão à distância vxDt da parede da direita Moléculas que colidem com a parede é

qx = mvx de uma molécula antes da colisão qx = -mvx depois da colisão De todas as moléculas Nem todas as moléculas tem a mesma velocidade. Assim, k é a constante de Boltzmann k = 1,381 x 10-23 J/K É a energia média associada ao movimento na direção x

A pressão das moléculas sobre a parede é: É a energia cinética média de uma molécula () A energia cinética total, relativa a n moles de um gás contendo N moléculas é:

Estimativa da ordem de grandeza das velocidades das moléculas De temos que: Comparando com a velocidade do som que é: Não é surpreendente, pois uma onda sonora no ar é uma perturbação de pressão que se propaga devido às colisões entre as moléculas! Ex 17-7 A massa molar do oxigênio gasoso (O2) é de cerca de 32 g/mol e a do hidrogênio gasoso (H2) é de cerca de 2 g/mol. Calcule (a) a velocidade rms de uma molécula de oxigênio quando a temperatura for de 300 K e (b) a velocidade rms de uma molécula de hidrogênio na mesma temperatura.

A distância média entre colisões  l (livre caminho médio) A velocidade média das moléculas de um gás (p normal)  diversas centenas de m/s Perfume não se sente o aroma instantaneamente (leva semanas!) A demora é devido aos ziguezagues! A distância média entre colisões  l (livre caminho médio) depende:  tamanho das moléculas;  tamanho das moléculas vizinhas;  massa específica do gás. A molécula 1 tem velocidade v Ela colidirá com qualquer molécula de raio r2 quando a distância entre os centros for de d = r1 + r2

onde nV é o número de moléculas por unidade de volume Uma em movimento e o resto parada? Correção!

É o número médio de colisões por segundo ou freqüência de colisões. O tempo médio entre as colisões é chamado de tempo de colisão (t) É o número médio de colisões por segundo ou freqüência de colisões. Assim, Ex 17-8 O centro local de controle de venenos quer saber mais sobre o monóxido de carbono e como ele se propaga através de uma sala. Assim, pede-se para (a) calcular o livre caminho médio de uma molécula de monóxido de carbono e (b) estimar o tempo médio entre colisões. A massa molar de monóxido de carbono é de 28 g/mol. Admita que a molécula de CO está se propagando no ar a 300K e 1 atm e que os diâmetros de uma molécula de CO e das moléculas de ar são de aproximadamente 3,75 x 10-10 m.

Distribuição das velocidades moleculares As moléculas de um gás apresentam velocidades diferentes (era de se esperar!) T → → → mas não sobre distribuição das velocidades moleculares Funções de Distribuição: Ex.: Um Professor deu um teste com 25 perguntas a N estudantes Não corresponderia a uma descrição completa! Se a nota média for 12,5 1ª alternativa: ni estudantes receberam nota si; 2ª alternativa: fração de estudantes que receberam a nota si; Ambas ni e fi → funções de distribuição A 2ª é a mais conveniente!

É a condição de normalização para distribuições fracionárias Como A probabilidade de que um dos N estudantes selecionados ao acaso tenha recebido a nota si é igual ao número total de estudantes que receberam aquela nota ni dividido por N, isto é, a probabilidade é igual a fi É a condição de normalização para distribuições fracionárias Como Da 2ª alternativa: como cada si foi obtida por ni = N fi estudantes

Analogamente, a média de qualquer função g(s) é definida por: Em particular, a média dos quadrados das notas é: É a nota média quadrática Nota mais provável: 16 200 estudantes

Distribuição Contínua Ex 17-9 Quinze estudantes fazem um teste de 25 questões, cada uma correspondente a um ponto. As notas dos estudantes foram 25, 22, 22, 20, 20, 20, 18, 18, 18, 18, 18, 15, 15, 15, 10. Determine a nota média e a nota rms. Distribuição Contínua Por exemplo: Distribuição de alturas numa população O número de pessoas com h = 2 m é zero! Então, divide-se as alturas em intervalos de Dh. Por exemplo, 1 cm ou 0,5 cm A função distribuição f(h) foi definida como a fração de pessoas com h no intervalo entre h e h + Dh. Então para N pessoas, Nf(h)Dh é o número de pessoas cuja h esteja entre h e h + Dh

Ele mede a dispersão dos valores em torno do valor médio Se N for muito grande, pode-se escolher Dh muito pequeno e a curva será contínua. Assim, Onde g(h) é uma função arbitrária de h Desta maneira, A probabilidade de uma pessoa relacionada ao acaso ter uma h entre h e h + Dh é f(h) Dh Um parâmetro que caracteriza uma distribuição é o desvio padrão Ele mede a dispersão dos valores em torno do valor médio

Para a distribuição de Gauss ou distribuição normal, 68 % dos valores estão dentro do intervalo 95% entre 99,7% entre No exemplo anterior, observamos que srms > smédio Sabemos que como então Como e são sempre positivos,

Distribuição de Maxwell-Boltzmann Num gás com N moléculas, o número de moléculas com velocidades na faixa entre v e v + dv é dN É a região sombreada na figura anterior Da mecânica estatística, é a F. D. M-B A velocidade mais provável para a qual a f(v) é máxima, Ex 17-10 Calcule o valor médio de v2 para as moléculas de um gás, usando a distribuição de Maxwell-Boltzmann.

Foi visto no ex. 17-7 que: vrms (H2)= 1,93 km/s e vrms (O2) = 0,483 km/s v escape da sup Terra = 11,2 km/s No gráfico, uma fração considerável das moléculas de um gás em equilíbrio tem velocidade maior que a vrms. Quando vrms das moléculas de um determinado gás for ~ de 15% a 20% da velocidade de escape num planeta, um número suficiente de moléculas tem velocidade maior do a velocidade de escape. Assim, não há H2 livre na atmosfera terrestre! E, uma fração desprezível de O2 escapam! (~4%)