Oscilações e Ondas Mecânicas

exemplos

Movimento Oscilatório Sempre que um sistema sofre uma perturbação da sua posição de equilíbrio estável, ocorre um movimento de oscilação.

Movimento Harmónico Simples Quando um movimento se repete a si mesmo em intervalos de tempo regulares é chamado Movimento Harmónico Simples (MHS) Frequência , f – número de oscilações completadas por unidade de tempo (Hz, s-1) Período, T – tempo necessário para completar uma oscilação (s) Amplitude – deslocamento máximo em relação à posição de equilíbrio produzido pela oscilação

Movimento Harmónico Simples Um caso particular de MHS Onde ω corresponde à frequência angular,

Movimento Harmónico Simples Velocidade de uma partícula a oscilar será dada por:

Movimento Harmónico Simples A sua aceleração será dada por: Sempre que a aceleração de um objecto é proporcional ao seu deslocamento e é oposta à sua direcção, o objecto move-se com um MHS

Movimento Harmónico Simples

Exemplo: A função dá-nos o MHS de uma partícula. Determine para t = 2.0 s: o deslocamento; a velocidade; a aceleração; a fase; a frequência; e o período.

Movimento Harmónico Simples Movimento de um corpo preso a uma mola

Movimento Harmónico Simples Se a oscilação fosse na vertical

Movimento Harmónico Simples Dependência de ω: com a massa - depende com a amplitude – não depende

Movimento Harmónico Simples Energia Energia cinética Energia Potencial Energia Mecânica

Movimento Harmónico Simples Movimento de um Pêndulo Simples mas e

Movimento Harmónico Simples Movimento de um Pêndulo Composto mas

Movimento Harmónico Simples Sobreposição de MHS Igual direcção e período Interf. Construtiva Interf. Parc. Destrutiva

Movimento Harmónico Simples Sobreposição de MHS Igual direcção e período diferente – mov. resultante não é MHS T1/T2 = p/q (p,q, inteiros, primos) - o período do movimento resultante é o m.m.c. (mínimo múltiplo comum) dos períodos componentes. b) T1/T2 = p/q (p é múltiplo inteiro de q) - o período do movimento resultante é igual ao maior dos períodos componentes. c) T1/T2 = p/q (p próximo de q) - batimento - o período de batimento associado ao movimento resultante é Tb = (T1 x T2)/|T1 - T2|; a frequência de batimento é fb = |f2 - f1|, o período do movimento resultante é o m.m.c. dos períodos componentes.

Movimento Harmónico Simples Sobreposição de MHS Direcções perpendiculares (ortogonais) e mesmo período a1) Δφ = 0 rad - a = b –                            a ≠ b – a2) Δφ = π/2 rad - a = b –                               a ≠ b – a3) Δφ = π rad - a = b –                             a ≠ b – a4) Δφ = 3 π/2 rad - a = b –                                   a ≠ b –

Movimento Harmónico Simples Sobreposição de MHS Direcções perpendiculares (ortogonais) e períodos diferentes se os períodos componentes são comensuráveis, o movimento resultante é periódico e seu período é o m.m.c. dos períodos componentes. As trajetórias são figuras particulares e denominam-se figuras de Lissajous.

Movimento Harmónico Simples Osciladores ligados k1 ka k2 m1 m2 x1 x2 -k1x1 ka(x2-x1) -ka(x2-x1) -k2x2

Movimento Harmónico Simples Osciladores ligados k1 ka k2 m1 m2 k1 ka k2 m1 m2 x1 x2 x1 x2 Modos normais de oscilação em fase: em oposição de fase:

Movimento Harmónico Simples Osciladores ligados – exemplos moleculares

Movimento Oscilatório Amortecido suporte rígido const. mola, k massa, m disco amortecimento, λ

Movimento Oscilatório Forçado suporte rígido const. mola, k massa, m disco amortecimento, λ

Movimento Oscilatório Forçado quando RESSONÂNCIA Tacoma Bridge

Movimento Não Harmónico Num MHS

Movimento Não Harmónico Para um mov. não harmónico Teorema de Taylor

Movimento Não Harmónico Para um mov. não harmónico Potencial de Lennard-Jones

Oscilações Caóticas Movimento nunca se repete a si mesmo movimento caótico ≠ movimento desordenado Movimento caótico pode apresentar uma estrutura bem definida e caracteriza-se por ser extremamente sensível às suas condições iniciais

Mini-Teste 3 (2004-2005) Um bloco cuja massa, m, é 650 g é preso a uma mola cuja constante elástica, k, é 65 N/m. O bloco é puxado uma distância x =11 cm da sua posição de equilíbrio x =0, numa superfície horizontal sem atrito, e libertado em repouso (para t =0). Qual é a frequência angular e o período do movimento? Indique qual é a amplitude e a fase inicial e escreva a equação do movimento. Qual é a velocidade máxima do oscilador? Nessa situação qual é a sua energia potencial? Considere que o amortecimento provocado pelo ar era igual a (em que v representa a velocidade do bloco). Escreva a equação diferencial do movimento resultante.

Mini-Teste 3 Um bloco cuja massa, m, é 650 g é preso a uma mola cuja constante elástica, k, é 65 N/m. O bloco é puxado uma distância x =11 cm da sua posição de equilíbrio x =0, numa superfície horizontal sem atrito, e libertado em repouso (para t =0). Qual é a frequência angular e o período do movimento? 0.2 0.1 0.2 0.1 0.1 0.2

Mini-Teste 3 Um bloco cuja massa, m, é 650 g é preso a uma mola cuja constante elástica, k, é 65 N/m. O bloco é puxado uma distância x =11 cm da sua posição de equilíbrio x =0, numa superfície horizontal sem atrito, e libertado em repouso (para t =0). Indique qual é a amplitude e a fase inicial e escreva a equação do movimento. 0.4 Para t =0 – x =0.11 m; v =0 0.2 0.3 0.3

Mini-Teste 3 Um bloco cuja massa, m, é 650 g é preso a uma mola cuja constante elástica, k, é 65 N/m. O bloco é puxado uma distância x =11 cm da sua posição de equilíbrio x =0, numa superfície horizontal sem atrito, e libertado em repouso (para t =0). Qual é a velocidade máxima do oscilador? Nessa situação qual é a sua energia potencial? 0.2 0.1 0.2 0.3 Esta ocorre para x =0 m e aí 0.2 0.1 0.2 0.3

Mini-Teste 3 Um bloco cuja massa, m, é 650 g é preso a uma mola cuja constante elástica, k, é 65 N/m. O bloco é puxado uma distância x =11 cm da sua posição de equilíbrio x =0, numa superfície horizontal sem atrito, e libertado em repouso (para t =0). Considere que o amortecimento provocado pelo ar era igual a (em que v representa a velocidade do bloco). Escreva a equação do movimento resultante. 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2

Mini-Teste 3 Uma mola de massa desprezável é suspensa no tecto com um corpo na outra extremidade. O corpo é seguro inicialmente numa posição y1 correspondente à posição de equilíbrio da mola sozinha. Nessa altura a esfera é libertada passando a oscilar sendo a posição mais baixa atingida 10 cm abaixo de y1. Aplicando a 2ª lei de Newton no ponto de equilíbrio do sistema, calcule o valor da constante da mola em função da massa do corpo. Qual é a frequência do movimento? Qual é a velocidade da esfera quando passa num ponto 8 cm abaixo de y1? Uma segunda esfera de massa m= 300 g é ligada à anterior passando a sistema a oscilar com uma frequência metade da inicial. Qual é a massa da primeira esfera?

Mini-Teste 3 Uma mola de massa desprezável é suspensa no tecto com um corpo na outra extremidade. O corpo é seguro inicialmente numa posição y1 correspondente à posição de equilíbrio da mola sozinha. Nessa altura a esfera é libertada passando a oscilar sendo a posição mais baixa atingida 10 cm abaixo de y1. Aplicando a 2ª lei de Newton no ponto de equilíbrio do sistema, calcule o valor da constante da mola em função da massa do corpo. 0.3 0.3 Nesta posição 0.2 0.1 0.4

Mini-Teste 3 Uma mola de massa desprezável é suspensa no tecto com um corpo na outra extremidade. O corpo é seguro inicialmente numa posição y1 correspondente à posição de equilíbrio da mola sozinha. Nessa altura a esfera é libertada passando a oscilar sendo a posição mais baixa atingida 10 cm abaixo de y1. Qual é a frequência do movimento? 0.3 0.3 0.4 0.2 0.1

Mini-Teste 3 Uma mola de massa desprezável é suspensa no tecto com um corpo na outra extremidade. O corpo é seguro inicialmente numa posição y1 correspondente à posição de equilíbrio da mola sozinha. Nessa altura a esfera é libertada passando a oscilar sendo a posição mais baixa atingida 10 cm abaixo de y1. Qual é a velocidade da esfera quando passa num ponto 8 cm abaixo de y1? 0.2 (Pois para t=0 s y=y0) Resolvendo para y= 0.08 cm 0.3 0.2 0.1 0.2 0.3 0.2 0.1

Mini-Teste 3 Uma mola de massa desprezável é suspensa no tecto com um corpo na outra extremidade. O corpo é seguro inicialmente numa posição y1 correspondente à posição de equilíbrio da mola sozinha. Nessa altura a esfera é libertada passando a oscilar sendo a posição mais baixa atingida 10 cm abaixo de y1. Uma segunda esfera de massa m= 300 g é ligada à anterior passando a sistema a oscilar com uma frequência metade da inicial. Qual é a massa da primeira esfera? 0.3 Então 0.3 0.2 0.1 0.4

Ondas As perturbações num sistema em equilíbrio que provocam um movimento oscilatório podem propagar-se no espaço à sua volta sendo percebidas noutros pontos do espaço movimentos ondulatórios ondas progressivas

Tipos de ondas Ondas Mecânicas – precisam de um meio físico para se propagarem e obedecem às Leis de Newton (ondas sonoras, da água, sísmicas) Ondas Electromagnéticas – não precisam de meio físico para se propagarem viajando no vácuo todas à mesma velocidade c ≈ 3x108 ms-1 (radiação electromagnética, eg luz) Ondas de Matéria – ondas associadas a partículas fundamentais, como os electrões e protões

Tipos de propagação de ondas Onda Transversal Onda Longitudinal Ondas Mistas

Descrição do movimento ondulatório velocidade de propagação ou velocidade de fase onda para t = Δt onda para t = 0 função de onda

Descrição do movimento ondulatório onda para t = Δt onda para t = 0 função de onda número de onda

Descrição do movimento ondulatório Velocidade de propagação Para uma corda Para o som μ – densidade linear da corda γ – constante dependente do tipo de gás (diatom. – 1.4) M – massa molar do gás (M(ar) = 29x10-3 kg/mol)

Descrição do movimento ondulatório Velocidade de propagação Para uma corda μ – densidade linear da corda

No movimento ondulatório propaga-se ou transmite-se energia e momento O que se propaga? Estado de movimento No movimento ondulatório propaga-se ou transmite-se energia e momento

Energia de uma onda A energia cinética de cada elemento

Sobreposição de ondas Para duas ondas com a mesma amplitude e a mesma frequência angular amplitude na posição x termo oscilante

Sobreposição de ondas A sobreposição de ondas resulta numa onda que corresponde à soma algébrica das ondas sobrepostas A sobreposição de ondas não afecta de nenhum modo a progressão de cada uma

Análise de movimentos periódicos Análise de Fourier Teorema de Fourier – uma função periódica f(t) de período T=2π/ω pode ser expressa como uma sobreposição de termos harmónicos simples Qualquer movimento periódico pode ser considerado como a sobreposição de movimentos harmónicos simples

Ondas Estacionárias nodo antinodo Se duas ondas com a mesma amplitude e comprimento de onda, se deslocarem em sentidos opostos ao longo da mesma direcção, a sua interferência produzirá um onda estacionária

Ondas Estacionárias nodo antinodo amplitude na posição x termo oscilante

Ondas Estacionárias Reflecção de uma onda numa corda nas suas fronteiras

Ondas Estacionárias Numa corda presa por ambas as extremidades para certas frequências (de ressonância) formam-se ondas estacionárias. A cada uma corresponde um modo de vibração com os nodos situados nas extremidades. Modo fundamental ou primeiro harmónico Segundo harmónico Terceiro harmónico

Ondas Estacionárias Numa corda presa por ambas as extremidades para certas frequências (de ressonância) formam-se ondas estacionárias. A cada uma corresponde um modo de vibração com os nodos situados nas extremidades. Genericamente um harmónico de ordem n ocorre para: com n = 1, 2, 3, …

Ondas Estacionárias Numa corda presa por uma das extremidades também se formam ondas estacionárias para certas frequências. A cada uma corresponde um modo de vibração com os nodos situados na extremidade presa e o antinodo na extremidade livre. Modo fundamental ou primeiro harmónico Terceiro harmónico Quinto harmónico

Ondas Estacionárias Numa corda presa por uma das extremidades também se formam ondas estacionárias para certas frequências. A cada uma corresponde um modo de vibração com os nodos situados na extremidade presa e o antinodo na extremidade livre. Genericamente um harmónico de ordem n ocorre para: com n = 1, 3, 5, …

Descrição do movimento ondulatório Velocidade de propagação elemento do fluido pulso Para o som γ – constante dependente do tipo de gás (diatom. – 1.4) M – massa molar do gás (M(ar) = 29x10-3 kg/mol)

elemento de fluido a oscilar Ondas Sonoras Equação do movimento ondulatório das ondas sonoras compressão expansão elemento de fluido a oscilar posição de equilíbrio

Ondas Sonoras Interferência Construtiva Destrutiva

Ondas Sonoras Interferência Batimentos Tempo

Fontes coerentes Duas fontes de ondas dizem-se coerentes se a diferença de fase entre as duas se mantém constante Caso contrário designam-se por incorentes

Ondas Sonoras Ondas sonoras estacionárias (ressonância) Tubo aberto dos dois lados Tubo aberto num dos lados com n = 1, 2, 3, … com n = 1, 3, 5, …

Ondas Sonoras Reflexão Refracção onda incidente onda reflectida solo velocidade do som onda sonora percurso curvo

Ondas Sonoras Efeito Doppler Imóveis Num intervalo Δt Não há efeito Doppler

Ondas Sonoras Efeito Doppler Detector em movimento Num intervalo Δt Temos efeito Doppler

Ondas Sonoras Efeito Doppler Fonte em movimento Num intervalo de tempo T Temos efeito Doppler

Ondas Sonoras Efeito Doppler Regra: quando o movimento do detector e da fonte são de aproximação o sinal nas suas velocidades deve resultar num aumento da frequência. Caso se afastem, o sinal das suas velocidades deverá dar uma diminuição da frequência

Ondas Sonoras Ondas de choque

Ondas Sonoras Intensidade e nível sonoro Intensidade Variação com a distância raio frentes de onda

Ondas Sonoras Intensidade e nível sonoro A escala de Decibéis

Ondas Sonoras Fonte I/Io dB Descrição Respiração normal 100 Limite de audição Biblioteca 103 30 Muito silencioso Conversação normal 105 50 Calmo Camião pesado 109 90 Exposição prolongada provoca danos no ouvido Concerto rock (a 2 m) 1012 120 Limite de dor Jacto na descolagem 1015 150 Motor de foguetão 1018 180

Mini-Teste 4 Uma onda que se desloca ao longo de uma corda é descrita pela equação: em que todos os valores se encontram em unidades SI. Qual é a amplitude, comprimento de onda, o período e velocidade de propagação desta onda? Qual será a força de tensão aplicada na corda se esta tiver uma massa de 0.500 kg e um comprimento de 0.5 m? Determine a frequência do terceiro harmónico desta onda considerando que ambas as extremidades estão fixas. Se a deslocação do ar (ρ= 1.21 kg/m3) provocada pela corda fosse igual à amplitude da oscilação da corda na ressonância, qual seria a amplitude da variação da pressão da onda sonora produzida? (vs= 340 ms-1)

Mini-Teste 4 Uma onda que se desloca ao longo de uma corda é descrita pela equação: em que todos os valores se encontram em unidades SI. Qual é a amplitude, comprimento de onda, o período e velocidade de propagação desta onda? 0.2 0.1 0.1 0.2 0.1 0.1 0.2 0.2 0.1 0.2

Mini-Teste 4 Uma onda que se desloca ao longo de uma corda é descrita pela equação: em que todos os valores se encontram em unidades SI. Qual será a força de tensão aplicada na corda se esta tiver uma massa de 0.500 kg e um comprimento de 0.5 m? 0.3 0.2 0.1 0.6

Mini-Teste 4 Uma onda que se desloca ao longo de uma corda é descrita pela equação: em que todos os valores se encontram em unidades SI. Determine a frequência do terceiro harmónico desta onda considerando que ambas as extremidades estão fixas. 0.3 0.6 0.2 0.1

Mini-Teste 4 Uma onda que se desloca ao longo de uma corda é descrita pela equação: em que todos os valores se encontram em unidades SI. Se a deslocação do ar (ρ= 1.21 kg/m3) provocada pela corda fosse igual à amplitude da oscilação da corda na ressonância, qual seria a amplitude da variação da pressão da onda sonora produzida? (vs= 340 ms-1) 0.3 0.7 0.2 0.1

FIM