x2 + 4 = 0 COMPLEXOS x2 + 5 = 0 x2 + 5x +8 = 0 números Fred Tavares NÚMEROS COMPLEXOS

NÚMEROS COMPLEXOS Os números Complexos constituem o maior conjunto numérico existente. N: conjunto dos números Naturais Z: conjunto dos números Inteiros Q: conjunto dos números Racionais I: conjunto dos números Irracionais R: conjunto dos números Reais C: conjunto dos números Complexos Fred Tavares

Os números Complexos constituem o maior conjunto numérico existente. Fred Tavares

a + bi, sabemos que a e b são números reais e que o valor de NÚMEROS COMPLEXOS Os números complexos são escritos na sua forma algébrica da seguinte forma: a + bi, sabemos que a e b são números reais e que o valor de a é a parte real do número complexo e que o valor de bi é a parte imaginária do número complexo. Podemos então dizer que um número complexo z será igual a a + bi (z = a + bi). Com esses números podemos efetuar as operações de adição, subtração e multiplicação, obedecendo à ordem e características da parte real e parte imaginária. Fred Tavares

i2 = -1 i = imaginário Re = real Im = imaginário OBSERVAÇÕES NÚMEROS COMPLEXOS OBSERVAÇÕES i2 = -1 i = imaginário Re = real Im = imaginário Fred Tavares

IDENTIFICANDO z = - 3 + 5i z = -5 + 10i z = 1/2 + (1/3)i Re(z) = -3 NÚMEROS COMPLEXOS IDENTIFICANDO Veja alguns exemplos de como identificar a parte real e a parte imaginária de um número complexo: z = - 3 + 5i z = -5 + 10i z = 1/2 + (1/3)i Re(z) = -3 Re(z) = -5 Re(z) = 1/2 Im(z) = 5 Im(z) = 10 Im(z) = 1/3 Fred Tavares

É comum vir em provas de vestibular. NÚMEROS COMPLEXOS As coordenadas a e b podem assumir qualquer valor real, dependendo do valor que eles assumirem o número complexo irá receber um nome diferente: Quando a e b forem diferentes de zero dizemos que o número complexo é imaginário: Quando o valor de a é igual a zero e o de b é diferente de zero dizemos que o número complexo é imaginário puro: Quando a diferente de zero e b igual a zero dizemos que o número complexo será real. z = 3 + 8i z = 0 + 9i z = 9i z = 7 – 0i z = 7 É comum vir em provas de vestibular. Fred Tavares

NÚMEROS COMPLEXOS Exemplos: Determine o valor de m para que z =(m-2) + 5i, seja: Número Real Para que o complexo seja um número real devemos fazer b = 0 e a ≠ 0. m – 2 ≠ 0 então: m ≠ 2 Imaginário puro Para que um número complexo seja imaginário puro a = 0 e b ≠ 0, então podemos dizer que: m – 2 = 0 então: m = 2 Fred Tavares

REAL COM REAL – IMAGINÁRIO COM IMAGINÁRIO NÚMEROS COMPLEXOS Adição Dado dois números complexos quaisquer z1 = a + bi e z2 = c + di, ao adicionarmos teremos: z1 + z2 = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i Portanto, z1 + z2 = (a + c) + (b + d)i. RESUMINDO: REAL COM REAL – IMAGINÁRIO COM IMAGINÁRIO Fred Tavares

Adição Exemplo: Dado dois números complexos z1 = 6 + 5i e z2 = 2 – i, calcule a sua soma: z1 + z2 = (6 + 5i) + (2 – i) = 6 + 2 + 5i – i = 8 + (5 – 1)i = 8 + 4i Portanto, z1 + z2 = 8 + 4i. Fred Tavares

REAL COM REAL – IMAGINÁRIO COM IMAGINÁRIO Subtração Dado dois números complexos quaisquer z1 = a + bi e z2 = c + di, ao adicionarmos teremos: z1 - z2 = (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i Portanto, z1 - z2 = (a - c) + (b - d)i. RESUMINDO: REAL COM REAL – IMAGINÁRIO COM IMAGINÁRIO NÚMEROS COMPLEXOS Fred Tavares

Dado dois números complexos Subtração Exemplo: Dado dois números complexos z1 = 6 + 5i e z2 = 2 – i, calcule a sua soma: z1 - z2 = (6 + 5i) - (2 – i) = 6 - 2 + 5i + i = 4 + (5 + 1)i = 4 + 6i Portanto, z1 - z2 = 4 + 6i . Fred Tavares

Multiplicação Dado dois números complexos quaisquer z1 = a + bi e z2 = c + di, ao multiplicarmos teremos: z1 . z2 = (a + bi) . (c + di) (regra do chuveirinho) ac + adi + bci + bdi2 = ac + adi + bci + bd (-1) ac + adi + bci – bd = ac - bd + adi + bci (ac - bd) + (ad + bc)i (agrupar termos semelhantes) Portanto, z1 . z2 = (ac + bd) + (ad + bc)i. Fred Tavares

Exemplo: SEMPRE PRESTAR ATENÇÃO NO i2 Dado dois números complexos z1 = 5 + i e z2 = 2 - i, calcule a sua multiplicação: (5 + i) . (2 - i) 5 . 2 – 5i + 2i – i2 10 – 5i + 2i – (-1) 10 + 1 – 5i + 2i 11 – 3i Portanto, z1 . z2 = 11 – 3i. Fred Tavares

i 0 = 1, pois todo número ou letra elevando à zero é um. NÚMEROS COMPLEXOS Potência i A letra i acompanha a parte imaginária e dependo do valor de sua potência ela irá assumir um valor que irá facilitar vários cálculos. i 0 = 1, pois todo número ou letra elevando à zero é um. i 4 = i2 . i2 = -1 . (-1) = 1 i 1 = i, pois todo número elevado a 1 é ele mesmo. i 5 = i4 . i = 1 . i = i i 2 = -1 i 6 = i4 . i2 = 1 . (-1) = -1. i 3 = i2 . i = -1 . i = - i i 7 = i4 . i3 = 1 . (-i) = - i. E assim por diante. Fred Tavares

Qualquer potência maior que 4, basta dividir por 4 e pegar o resto. NÚMEROS COMPLEXOS RESUMINDO: AS POTÊNCIAS SEMPRE SE REPETEM DE 4 EM 4. Qualquer potência maior que 4, basta dividir por 4 e pegar o resto. Fred Tavares

o resto será 3 então i243 será o mesmo que i3, NÚMEROS COMPLEXOS Potência i Para descobrir, por exemplo, qual era o valor da potência i243, basta dividirmos 243 por 4, o resto será 3 então i243 será o mesmo que i3, portanto i243 = i3 = - i. Fred Tavares

Forma algébrica Z = a + bi y P b a x NÚMEROS COMPLEXOS Os números complexos são formados por um par ordenado (a, b) onde os valores de a estão situados no eixo x (abscissa) e os valores de b no eixo y (ordenadas). Sobre o eixo x marcamos os pontos relacionados à parte real do número complexo e sobre o eixo y os pontos relacionados à parte imaginária. Z = a + bi P b a x Fred Tavares

NÚMEROS COMPLEXOS Oposto, conjugado Oposto ( Basta multiplicar por -1) O oposto de qualquer número real é o seu simétrico, o oposto de 10 é -10, o oposto de -5 é +5. O oposto de um número complexo respeita essa mesma condição, pois o oposto do número complexo z será – z. Por exemplo: Dado o número complexo z = 8 – 6i, o seu oposto será: - z = - 8 + 6i. Fred Tavares

NÚMEROS COMPLEXOS Oposto, conjugado Conjugado ( Basta mudar o sinal da parte imaginária) Para determinarmos o conjugado de um número complexo, basta representar o número complexo através do oposto da parte imaginária. O conjugado de z = a + bi será z = a - bi Fred Tavares

NÚMEROS COMPLEXOS Fred Tavares

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NÚMEROS COMPLEXOS Fred Tavares

NÚMEROS COMPLEXOS Fred Tavares

Eu Sei Que Vou ESTUDAR by Fred e Tavares Eu sei que vou ESTUDAR Por toda a minha vida eu vou ESTUDAR Em cada NOTA BAIXA eu vou APANHAR Desesperadamente, eu sei que vou CHORAR E cada ERRO meu será Prá ME LEMBRAR que eu sei que DEVO ESTUDAR Por toda minha vida Eu sei que vou MELHORAR A cada NOTA BOA eu vou GRITAR Mas cada NOTA BAIXA há de LEMBRAR O que esta CHINELADA me causou Eu sei que vou sofrer a eterna desventura de viver A espera de ESTUDAR ao lado teu PROFESSOR da minha vida