Tópicos em Física Clássica Aulas 4 - 5 - Eletrostática

O problema básico do eletromagnetismo: dado um conjunto de cargas e campos qual será a configuração de equilíbrio? x Cargas Distribuição de cargas em condutores y z Ponto onde queremos calcular o campo P r ri ’ (r’) Tópicos em Física Clássica - Aula IV

Conceitos Básicos Alguns conceitos básicos: Fonte do campo: carga que cria o campo: - Carga é fonte de campo elétrico (E); - Carga em movimento é fonte de campo magnético (B). Eletrostática: envolve o cálculo de campos em sistemas de referência nos quais as fontes do campo estão em repouso relativo. Neste caso o problema básico se reduz ao cálculo do campo elétrico E (ou, alternativamente, do potencial elétrico ); Eletrodinâmica: estudo dos campos quando estamos em sistemas de referência nos quais as cargas estão em movimento. Tópicos em Física Clássica - Aula IV

Propriedades da carga elétrica A carga elétrica apresenta as seguintes propriedades básicas: A carga elétrica apresenta dois tipos (sabores) denominados de positivo ( + ) e negativo ( - ). A carga elétrica é quantizada. Toda carga elétrica observada é múltiplo da carga fundamental, a carga do elétron ou do próton. - A carga elétrica é conservada (conservação global da quantidade de carga). Propriedade básica do eletromagnetismo: uma carga elétrica influencia o comportamento de outra carga elétrica: Cargas de sinais contrários -> atração Cargas de sinais iguais -> repulsão F21 F12 q1 q2 F21 F12 q1 q2 Tópicos em Física Clássica - Aula IV

Propriedades da interação entre cargas elétricas (repouso relativo) A força elétrica entre duas cargas depende do valor das cargas elétricas. Matematicamente: F  q1 q2. A força entre duas cargas elétricas depende apenas da distância entre as duas cargas. A dependência é inversamente proporcional ao quadrado da distância entre as duas cargas: F21 q1 F12 q2 r2 r1 – r2 r1 z y x Na eletrostática, a terceira lei de Newton é válida: F12 = - F21 Tópicos em Física Clássica - Aula IV

Propriedades da interação entre cargas elétricas (repouso Relativo (cont.) Podemos agrupar estes resultados experimentais na Lei de Coulomb: A constante k depende do sistema de unidades usado. No SI: Nesta expressão F21 é a força exercida pela partícula com carga q2 sobre a partícula com carga q1. Tópicos em Física Clássica - Aula IV

Propriedades da interação entre cargas elétricas (repouso Relativo (cont.) Princípio da superposição: quando temos mais de duas partículas interagindo a força resultante sobre uma delas, devida às demais, é dada pela soma das forças sobre a partícula em análise: Tópicos em Física Clássica - Aula IV

Distribuições contínuas de carga No caso de termos distribuições de cargas não pontuais, a soma deve ser transposta para uma integral sobre a densidade de carga: F(r) q  (r’) r' r – r’ r z y x O conceito de campo: ao invés de falarmos da força sobre uma partícula podemos falar sobre a força por unidade de carga da partícula campo. Se dividirmos a força sobre a k-ésima partícula pela carga desta partícula, então o campo na região da partícula será dado por: q é a chamada carga de teste: não pode interferir na distribuição que cria o campo. Tópicos em Física Clássica - Aula IV

Lei de GAuss d q n E r  O que acontece com a componente do campo normal à superfície? Integrando sobre a superfície S (fechada) : Tópicos em Física Clássica - Aula IV

Distribuição volumétrica de cargas Forma diferencial da lei de Gauss Lei de Gauss (cont.) Para uma distribuição de cargas (pontuais ou uma densidade volumétrica de carga): Cargas pontuais Distribuição volumétrica de cargas Forma diferencial da lei de Gauss Para podermos escrever em forma diferencial a lei de Gauss vamos analisar o teorema da divergência de Gauss para um campo vetorial qualquer: S V Fluxo de A Aplicando ao campo elétrico: Forma diferencial da lei de Gauss Tópicos em Física Clássica - Aula IV

Potencial eletrostático O potencial escalar O campo elétrico é um campo de rotacional nulo. Isso é facilmente verificável a partir da expressão para E: O rotacional atua somente sobre a variável r e não sobre a variável r’, portanto o rotacional atua somente sobre a fração no integrando, a qual pode ser reescrita como: Logo: Potencial eletrostático Tópicos em Física Clássica - Aula IV

O potencial escalar (cont.) Portanto, o campo elétrico pode ser escrito como o gradiente de uma função escalar: Observações: Na definição do potencial eletrostático a integração é sobre todas as cargas no universo; O potencial é definido a menos de uma constante arbitrária. Tópicos em Física Clássica - Aula IV

Interpretação física do potencial escalar Vamos calcular o trabalho que devemos executar contra o campo eletrostático E, para levarmos uma carga elétrica q de um ponto a até um ponto b com velocidade constante. Observe-se que esse trabalho é executado contra a força elétrica F = q E: a b dl q Usando que E = -  : O campo eletrostático é um campo conservativo: Tópicos em Física Clássica - Aula IV

Distribuições superficiais de cargas e dipolos Distribuições superficiais de cargas e dipolos. Descontinuidades no campo e no potencial Teríamos um mundo perfeito se não tivéssemos limites! O que fazer em um contorno? Vamos aplicar a lei de Gauss a um disco cujas bases estão uma na parte superior da superfície e outra na base inferior. As faces laterais possuem áreas desprezíveis. Esta equação expressa o fato de que há uma descontinuidade nas componentes normais do campo elétrico . As componentes tangenciais, no entanto, são contínuas. Tópicos em Física Clássica - Aula IV

Potencial devido a uma distribuição de dipolos sobre uma superfície S Consideremos uma camada formada por duas superfícies muito próximas O potencial pode ser escrito como: Para d << |r - r’|podemos expandir o denominador na segunda integral usando a identidade: Tópicos em Física Clássica - Aula IV

Há uma descontinuidade no potencial ao cruzar a dupla camada !!! Logo, após substituir esta expressão na integral do potencial e tomar o limite: Obtemos: Observando que: Então: Há uma descontinuidade no potencial ao cruzar a dupla camada !!! Tópicos em Física Clássica - Aula IV

A equação de Poisson O campo elétrico é descrito a partir das duas equações: Lembrando que o campo eletrostático pode ser escrito em termos de um potencial escalar (devido à segunda das igualdades acima): Equação de Poisson Importante: nessa equação a quantidade (r) indica a densidade de carga na posição onde estamos calculando o potencial. q1 ,r1 q1 , r2 r3 Tópicos em Física Clássica - Aula IV

A equação de poisson (cont.) Se na região de interesse não existem fontes do campo, então temos a equação de Laplace: Teorema de Green Motivação -> Temos, normalmente, condições de contorno a serem satisfeitas. Isto torna as integrações mais difíceis de serem calculadas. Solução de uma equação diferencial passa pela obtenção da solução geral (classe de soluções) e da aplicação das condições de contorno relevantes ao problema Tópicos em Física Clássica - Aula IV

Equação de poisson (cont.) Vamos começar pelo teorema da divergência de Gauss: S V A Vamos fazer: Então: Derivada normal à superfície S dirigida de dentro para fora Substituindo essa expressão no Teorema da Divergência de Gauss: Primeira identidade de Green Tópicos em Física Clássica - Aula IV

Equação de poisson (cont.) Vamos agora trocar  por  (e vice-versa) e subtrairmos da identidade a nova identidade, obteremos o que chamamos de segunda identidade de Green: Se agora tomarmos as seguintes identidades: Tópicos em Física Clássica - Aula IV

Equação de poisson (cont.) Então quando r está no interior da superfície S: Se r estiver fora do volume de integração a integral sobre o volume é nula. Tópicos em Física Clássica - Aula IV

Equação de poisson (cont.) Unicidade de soluções: condições de Dirichlet e Newmann Problema: unicidade da solução para o potencial. Quais são as condições de contorno apropriadas ao problema? S V f(x,y,z) conhecida sobre a superfície S -> Condições de Dirichlet Ou, alternativamente, f’(x,y,z) conhecida sobre a superfície S -> Condições de Newmann. Suponhamos que existam duas soluções para a equação de Poisson em um volume V limitado por uma superfície S ( 1 e 2) as quais satisfazem as mesmas condições de contorno. Seja U = 2 - 1 . Então, no interior de S: Portanto, ou U é nulo (igual a zero) ou  U/ n = 0 sobre S, conforme sejam dadas condições de contorno de Dirichlet ou Newmann. Tópicos em Física Clássica - Aula IV

Equação de poisson (cont.) Vamos usar agora a primeira identidade de Green, com: Em qualquer caso (U=0 ou  U/n = 0 no contorno) temos que: Portanto, temos que U=0 o que implica que a função U é constante no interior do volume V. Caso 1: condições de Dirichlet no contorno -> US = 0. Nesse caso temos que: Caso 2: condições de Newmann no contorno -> U/n = 0 . Nesse caso temos que: Observações: A imposição das duas condições ao mesmo tempo não é possível; As duas soluções são, em geral, diferentes. Tópicos em Física Clássica - Aula IV

Potencial da carga puntiforme Solução geral de problemas eletrostáticos de contorno: funções de Green Obtivemos anteriormente a solução para a equação de Poisson: Condição de Newmann Condição de Dirichlet Na obtenção dessa equação usamos, nas identidades de Green: Potencial da carga puntiforme Tópicos em Física Clássica - Aula IV

Funções de green (cont.) Este é um exemplo de um a classe de funções que satisfazem à equação mais geral: Equação de Laplace dentro do volume V. Se usarmos na expressão para o potencial G ( r , r’ ) =  e escolhermos F( r , r’ ) tal que consigamos eliminar  ou sua derivada da expressão para o potencial obteremos apenas uma das condições de contorno dentro da integral para : Caso 1: condições de contorno de Dirichlet – GD = 0 para todo r’ sobre S: Tópicos em Física Clássica - Aula IV

Funções de green (cont.) Caso 2: condições de contorno de Newmann – GN/ n’= - 4/S para todo r’ sobre S: Valor médio do potencial sobre a superfície S. Vale zero se a superfície S vai ao infinito. Interpretação da função F – Essa função satisfaz a equação de Laplace dentro do volume V. Portanto representa uma solução do potencial criado por cargas externas a V. V S Tópicos em Física Clássica - Aula IV

Energia potencial eletrostática Questão: qual o trabalho para trazer uma carga do infinito até um ponto do espaço? x z y  trajetória r1 r2 Se as cargas geradoras do campo estiverem localizadas nas posições rj então o potencial sobre a i-ésima carga será dado por: A energia potencial total do sistema de n cargas será dada então por: Tópicos em Física Clássica - Aula IV

Energia Potencial eletrostática (cont.) Se a distribuição de cargas for contínua, a soma é substituída por uma integral: Vamos resolver o problema agora olhando, alternativamente para o campo elétrico. Vamos reescrever a equação acima, usando a equação de Poisson, como: Integrando por partes essa expressão: Esta expressão não contém mais referência alguma às cargas !!! Densidade de energia (w) Esta é uma quantidade positiva !!! Tópicos em Física Clássica - Aula IV

Energia Potencial eletrostática (cont.) Para um sistema de condutores mantidos a potenciais Vi e cargas qi, no vácuo, podemos escrever o potencial em função das cargas e de certas grandezas geométricas chamadas de coeficiente de capacidade. O potencial no enésimo condutor pode ser escrito como: Termos que contém a geometria do problema Podemos, ao menos formalmente, inverter a equação acima para obter as cargas nos condutores: Se i =j (Cii) temos as capacitâncias dos condutores. Para i j falamos em coeficientes de capacitância Interpretação: a capacitância de um condutor é a carga total no condutor quando o mesmo é mantido a um potencial unitário, com os potenciais de todos os outros condutores mantidos no zero. Para um sistema de condutores: Tópicos em Física Clássica - Aula IV