GEOMETRIA AXIOMÁTICA, SEGMENTOS DE RETA T E M A GEOMETRIA AXIOMÁTICA, SEGMENTOS DE RETA

CONTEÚDOS Axiomática; As Partes de uma Reta;

[ Um pouco de história ] Geometria significa "medida da terra". Mas o que se tem de mais interessante ao se estudar a história, é que os primeiros passos no estudo da geometria foram dados com base numa hipótese falsa.

[ Um pouco de história ] Acreditava-se que a Terra era plana, portanto, todas as pesquisas foram feitas segundo essa crença, mas isso não impediu o desenvolvimento da geometria. Foi no período grego, entre 600 e 300 a.C., que a geometria se firmou como um sistema organizado, e muito disso se deve a Euclides.

[ O Método Axiomático ] Conceitos Primitivos Axiomas Teoremas/Lemas Na matemática, existem conceitos que determinam o modo de organizar o pensamento. São eles: Conceitos Primitivos Axiomas Teoremas/Lemas Corolários

[ Conceitos Primitivos ] Um conceito é dito primitivo quando não necessita de definição, simplesmente é tido como verdade. Um exemplo é o “ponto”. O conceito primitivo deve ser representado por uma palavra (ou um conjunto de palavras) que possa ser de fácil aceitação e intuitivo .

[ Axiomas ] Os axiomas (ou postulados) são regras simples (ou conjunto de regras) que determinam como os conceitos primitivos devem se comportar, suas propriedades e, além disso, são fatos não demonstráveis. isto é, assumimos que são verdadeiros e a partir daí obtemos resultados que devem ser, estes sim, demonstráveis.

[ Teoremas ] Todas as proposições obtidas devem ser demonstradas, caso sejam verdadeiras, desde que sejam aceitos os axiomas como verdadeiros. Chamaremos estas proposições de teoremas.

[ Lemas ] Quando é preciso utilizar uma proposição auxiliar em uma demonstração de um teorema, chamamos esta proposição de lema.

[ Corolários ] As conseqüências imediatas dos teoremas são os corolários.

[ Geometria Euclidiana ] A Geometria de Euclides foi a primeira teoria matemática a ser axiomatizada. Ela é chamada de Geometria Euclidiana, e descreve o mundo real.

[ Geometria Não-Euclidiana ] Na tentativa de demonstrar o (famoso) quinto postulado de Euclides, surgiram as Geometrias não-Euclidianas, como, por exemplo, a Geometria Hiperbólica.

[ Quinto Postulado de Euclides ] “Por um ponto P exterior a uma reta m, consideradas em um mesmo plano, existe uma única reta s paralela à reta m. m . s P

[ Definições, Teoremas e Demonstrações ] Uma definição é um conceito elaborado em função de elementos conhecidos. Por exemplo, a definição de segmento de reta: “parte ou porção da reta limitada por dois pontos”. Note que aqui, os elementos que aparecem, que são parte, reta e ponto, são conhecidos.

[ Definições, Teoremas e Demonstrações ] Um teorema é aceito como uma verdade se ele for provado. O enunciado de um teorema se divide em: Hipótese Tese

[ Definições, Teoremas e Demonstrações ] Hipótese: conjunto de todas as informações iniciais Tese: resultado ao qual se pretende chegar Demonstração: conjunto de raciocínios que permite chegar à tese.

[ Noções Primitivas em Geometria Plana ] As noções primitivas da geometria plana são: Ponto Reta Plano A r Lembrar que noção primitiva não necessita de definição. Geralmente se representa um ponto com letras maiúsculas, uma reta com letras minúsculas e um plano com letras gregas alfa, beta, gama...

[ Axiomas de Existência ] Numa reta, bem como fora dela, existem infinitos pontos. Dados dois pontos distintos, existe uma única reta que os contém. Num plano há infinitos pontos.

Pontos colineares são pontos que pertencem a uma mesma reta. [ Definições ] Pontos colineares são pontos que pertencem a uma mesma reta. 2. Duas retas contidas num mesmo plano são paralelas quando não possuem ponto em comum. A B Duas retas podem não ter ponto em comum e não serem paralelas. r s

[ Definições ] 3. Dados dois pontos distintos A e B, a reunião do conjunto desses dois pontos com o conjunto dos pontos que estão entre eles é um segmento de reta. Representa-se por . A B

[ Definições ] 4. Dados dois pontos distintos A e B, a reunião do segmento de reta com o conjunto dos pontos X tais que B está entre A e X é a semi-reta AB (indicada por ) . O ponto A é a origem da semi-reta. A B X

Se A está entre B e C, as semi-retas e são ditas semi-retas opostas. [ Observação ] Se A está entre B e C, as semi-retas e são ditas semi-retas opostas. B A C

5. Pontos coplanares são pontos pertencentes a um mesmo plano. [ Definições ] 5. Pontos coplanares são pontos pertencentes a um mesmo plano. A B

[ Axiomas de Determinação ] Dados dois pontos distintos, existe uma única reta que passa por eles. Dados três pontos não colineares, existe um único plano que passa por eles. Continuando a numeração dos axiomas...

[ Axiomas de Determinação ] 6. Se uma reta possui dois pontos que pertencem a um plano, então a reta está contida nesse plano.

A Geometria Plana estuda figuras planas, ou seja, figuras cujos pontos estão todos num mesmo plano.

[ Classificação de Segmentos de Reta ] Dois segmentos de reta podem ser classificados em: Consecutivos Colineares Adjacentes

[Segmentos Consecutivos] Dois segmentos de reta são consecutivos se uma extremidade de um deles é também extremidade do outro: B P Q R C A

[Segmentos Colineares] Dois segmentos de reta são colineares se estão numa mesma reta. A B C D P Q R

[Segmentos Adjacentes] Dois segmentos de reta são adjacentes se são consecutivos e colineares, e não possuem pontos internos em comum. M N P R S T

] [Adição de Segmentos Dados dois segmentos e , tomando-se numa semi-reta qualquer de origem R os segmentos e tais que e , dizemos que o segmento é a soma de com

B C A D R P T

[Ponto Médio de Um Segmento] Dado um segmento , dizemos que M é ponto médio deste segmento se, e somente se, M está entre A e B e . A M B

[Distância entre Dois Pontos] Dados dois pontos A e B, a distância entre eles é o comprimento do segmento , que será representado por m( ). E se os pontos forem o mesmo? Qual será a distância entre eles?

Por exemplo, se um segmento tem comprimento igual a três unidades de comprimento, então: 1 u.c. 1 u.c. 1 u.c. cm, m, mm... Falar que “u.c.” significa “unidade de comprimento”. A B

Observe a figura abaixo e determine sabendo que M é o ponto médio de . [Exemplo] Observe a figura abaixo e determine sabendo que M é o ponto médio de . 2x - 5 x + 8 A M B

[Resolução] Como M é o ponto médio de , temos que , logo,

[Resolução] Mas

Se em uma semi-reta considerarmos um segmento , com , [Proposição] Se em uma semi-reta considerarmos um segmento , com , então o ponto C estará entre A e B (o ponto C é chamado de ponto interno de ). B A C

[Demonstração] Hipótese: Tese: C está entre A e B Observemos que, como B e C estão na mesma semi-reta de origem A, então A não pode estar entre B e C. Escrever o caso q diz q A não pode estar entre B e C e explicar q A é a ORIGEM da semi-reta. A C B A C B

[Demonstração] Não pode acontecer também de termos B entre A e C, pois, caso fosse possível, teríamos que e, consequentemente, . Isto contraria a hipótese. Sendo assim, resta apenas a alternativa onde o ponto C está entre os pontos A e B. Observar o quadradinho no canto inferior direito.

[Razão da Secção Interna] Consideremos o segmento de reta e C um ponto interno deste segmento. A razão é chamada razão da seção interna. Lembrar o q é razão. A C B

Se C for o ponto médio de , qual será a razão da seção interna? Vamos pensar um pouco? Se C for o ponto médio de , qual será a razão da seção interna? A C B

Certamente todos encontraram a resposta correta: k = 1.

Um segmento de medida 9 cm foi [Exemplo] Um segmento de medida 9 cm foi dividido internamente por um ponto C na razão 2. Encontre a medida dos segmentos , e e esboce o segmento com seu respectivo ponto interno.

[Resolução] Inicialmente chamemos a medida do segmento de x. Ainda não sabemos exatamente a que distância de A encontra-se o ponto C. Suponhamos que ele esteja na seguinte posição: x A C B

Como o segmento mede 9 cm e o segmento mede x cm, então temos que . [Resolução] Como o segmento mede 9 cm e o segmento mede x cm, então temos que . x 9 - x A C B

[Resolução] Sabemos ainda que k = 2, portanto Resolvendo a proporção acima, encontramos x = 6 cm. Desse modo, concluímos que e .

Agora podemos ter uma precisão quanto à posição do ponto C: [Resolução] Agora podemos ter uma precisão quanto à posição do ponto C: 9cm 3cm A C B

[Razão da Seção Externa] Consideremos o segmento de reta e C um ponto fora deste segmento. A razão é chamada razão da seção externa. Qual é a diferença entre esta razão e a razão interna?

[Razão da Seção Externa] No primeiro caso, C é um ponto interno ao segmento, e no último, é externo: Ponto interno A C B Ponto externo C A B

[Exercício] Um segmento de 9 cm foi dividido externamente por um ponto C de tal forma que a razão entre as medida de e é 2. Encontre a medida dos segmentos envolvidos e esboce o segmento com seu respectivo ponto externo. Observar que o problema é muito parecido com o anterior, só q agora é externo. Deixar como exercício.

Resposta: 9 cm 9 cm A B C

[ Referências ] Iezzi, Gelson. Matemática: Ciência e aplicações. São Paulo: Editora Atual, 2004. Dolce, O., Pompeo, J.Niicolau. Fundamentos de Matemática Elementar, vol.9. São Paulo: Atual,1993.