UNIVERSIDADE SEVERINO SOMBRA Programa de Pós-graduação Stricto Sensu em Educação Matemática Matemática Financeira Prof. Ilydio Pereira de Sá ilydio@gmail.com

2. VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO

2) O VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO

Na Matemática Financeira, no regime de JUROS COMPOSTOS (ou juros sobre juros), todos os problemas são resolvidos através da importante noção de VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO. Numa data futura (n períodos), o dinheiro fica multiplicado por Fn . Numa data anterior, fica dividido por Fn. B = A . Fn B = A : Fn

Exemplo 1: Lídia comprou um relógio, com uma taxa de juros de 5% ao mês e a última parcela, de 80 reais, teria de ser paga no dia 10 de setembro de 2009. Acontece que Lídia ganhou um dinheirinho extra e resolveu pagar a sua dívida no dia 10 de agosto de 2009. Quanto Lídia teve de pagar? solução Como Lídia está pagou com uma antecipação de 1 mês, basta DIVIDIR 80,00 por 1,05 (fator de correção). Logo, 80 : 1,05 = 76,19 Lídia pagou R$ 76,19

Exemplo 2. Certa pessoa aceitou um empréstimo garantido pelas promissórias, a seguir discriminadas: R$ 10 000, prazo de 1 mês; R$ 20 000, prazo de 3 meses; R$ 40 000, prazo de 6 meses. No fim do primeiro mês, na impossibilidade de pagar o primeiro título, entrou em acordo com o credor para efetuar o pagamento do total do empréstimo ao final do segundo mês. Sendo de 5 % a.m. a taxa envolvida na época do fechamento do negócio e de 15% a.m. a taxa acertada para as parcelas vencidas e não pagas, qual o pagamento global a ser feito na referida data?

solução W 0 1 2 3 4 5 6 10 000 20 000 40 000 10 000 20 000 40 000 0 1 2 3 4 5 6 Fácil, não ?

Exemplo 3) Vinícius tomou um empréstimo de R$ 5000,00 a juros mensais de 5%. Dois meses depois, ele pagou R$ 2500,00 e, um mês após esse pagamento, liquidou seu débito. Qual o valor desse último pagamento? solução 1 2 3 5000 2500 x Devemos “empurrar” todos os valores para uma mesma data (por exemplo para o mês 3) e igualar as entradas (empréstimo) com as saídas (pagamentos periódicos). 2500 . 1,05 + x = 5000 . (1,05)3 2625 + x = 5788,13 x = 3163,13

Exemplo 4. Uma loja oferece uma mercadoria a vista por 400 reais ou então em duas parcelas iguais de 220 reais (para 30 e 60 dias). Qual a taxa de juros sobre o saldo devedor que está sendo cobrada pela loja? 1 2 400 220 Sugerimos “empurrar” todos os valores para a data 2 e igualar as entradas (valor à vista) com as saídas (pagamentos mensais). 400 . F2 = 220 . F + 220 40 . F2 = 22 . F + 22 ou 20. F2 – 11. F – 11 = 0 Como só nos serve a resposta positiva, teremos F = (11 + 31,64) / 40 Logo, F = 1 + i  1,067 ou i  0,067 ou ainda i  6,7%

Para alunos de 8ª série do ensino fundamental (9º ano), podemos usar esse tipo de problema (levando anúncios de jornais ou revistas) nas aulas de equação do segundo grau. Poderíamos usar o seguinte roteiro: Suponha que você tem os R$ 400,00 e aplicou numa poupança que rende, exatamente a mesma taxa de juros cobrada pela loja. Um mês após a compra, o seu dinheiro estará valendo 400 . X (X é o fator de correção correspondente a essa taxa. Após o pagamento da primeira prestação, você ainda terá 400 . X – 220. Um mês após o pagamento da primeira prestação, seu dinheiro estará valendo (400 . X – 220). X. Após o pagamento da segunda prestação, você terá: (400 . X – 220). X – 220. É claro que esse valor, como a taxa do financiamento é a mesma do investimento na poupança, terá de ser igual a zero. Perceba que recaímos na mesma equação do segundo grau da solução anterior. 400 X2 – 220 X – 220 = 0

solução 580 x (1,05) n = 900 (1,05) n = 1,55 ou então Exemplo 5. Cálculo do tempo... Aplicando logaritmos. Durante quantos meses (aproximadamente) estiveram aplicados 580 reais, sob juros compostos com taxa efetiva de 5% ao mês, para gerarem um montante de 900 reais? Informação: log (1,55) ≈ 0,1903 e log (1,05) ≈ 0,021 solução 580 x (1,05) n = 900 (1,05) n = 1,55 ou então n . log (1,05) = log (1,55) n = log (1,55) / log (1,05) n = 0,1903 / 0,021 n  9 meses

Exemplo 6. Por quanto tempo deve ser colocado o capital de R$ 5 Exemplo 6. Por quanto tempo deve ser colocado o capital de R$ 5.000, à taxa de 8% a.a, a fim de produzir um montante de R$ 12 000, sendo a capitalização anual. Dados: log 2  0,30103 e log 3  0,47712 i = 8 % a.a. 12.000 5.000 n

CONCLUSÃO: Com o entendimento das duas noções principais da Matemática Financeira: Fatores de correção e valor do dinheiro no tempo, qualquer pessoa estará apta a resolver os problemas que aparecem em nosso cotidiano, nessa área. Texto para análise: Duas vezes 100 é igual a 200? Fonte: RPM 70

Prof. Ilydio Pereira de Sá ilydio@gmail.com http://magiadamatematica.com Curso Básico de Matemática Comercial e Financeira Ed. Ciência Moderna – www.lcm.com.br