EQUAÇÕES POLINOMIAIS Dorta

TEOREMA FUNDAMENTAL DA ÁLGEBRA Uma equação polinomial de grau n, n > 0, admite pelo menos uma raiz complexa. Toda equação de grau n, com n > 0, possui exatamente n raízes complexas. Exemplo:dada a equação: A equação é do segundo grau e suas raízes são -3 e 3, ou seja, ela apresenta duas raízes.

TEOREMA DA DECOMPOSIÇÃO Se gr(P) = 2, então:

TEOREMA DA DECOMPOSIÇÃO EXEMPLO:

TEOREMA DA DECOMPOSIÇÃO Se gr(P) = 3, então:

MULTIPLICIDADE DE UMA RAIZ Toda equação polinomial de grau n, admite exatamente n raízes. Entre as n raízes podemos ter valores repetidos, isto é, um mesmo número r pode corresponder a m raízes.

MULTIPLICIDADE DE UMA RAIZ Resolvendo a equação: Isto significa que o número 3 é raiz duas vezes da equação dada. Podemos dizer então que o número 3 é raiz dupla da equação ou de multiplicidade 2.

MULTIPLICIDADE DE UMA RAIZ Na equação O número 1 é raiz de multiplicidade 3, pois:

MULTIPLICIDADE DE UMA RAIZ ATIVIDADE: Decomponha o polinômio em fatores de primeiro grau, sabendo que -1 é raiz dupla de P(x).

MULTIPLICIDADE DE UMA RAIZ RESOLUÇÃO: Se -1 é raiz dupla de P(x), podemos escrever: e depois calcularmos as raízes de Q(x) que é um polinômio do segundo grau.

MULTIPLICIDADE DE UMA RAIZ -1 1 -3 7 6 -4 -5

MULTIPLICIDADE DE UMA RAIZ Depois de dividir utilizando o dispositivo de Briot-Ruffini, podemos afirmar que Calculando as raízes de Q(x), temos:

MULTIPLICIDADE DE UMA RAIZ Podemos então afirmar que: Portanto,

MULTIPLICIDADE DE UMA RAIZ Generalizando: O número r é raiz de multiplicidade m de P(x) se, e somente se,

TEOREMA DAS RAÍZES INTEIRAS Se r é uma raiz inteira de uma equação algébrica de grau n, então r é um divisor do termo independente (quando o termo independente é não-nulo).

TEOREMA DAS RAÍZES INTEIRAS EXEMPLO: Na equação as possíveis raízes inteiras são: Depois de efetuar a fatoração Fica fácil perceber que as raízes são: -1, 2 e 3.

TEOREMA DAS RAÍZES COMPLEXAS Se uma equação algébrica de coeficientes reais admitir a raiz , admitirá também a raiz , conjugada da primeira, com o mesmo grau de multiplicidade.

TEOREMA DAS RAÍZES COMPLEXAS Desse teorema decorre que: O número de raízes complexas, não-reais, de uma equação algébrica é sempre par; Toda equação algébrica de grau ímpar tem pelo menos uma raiz real.