Quadrados Mágicos: Director’s Cut Prof. Carlos Shine

Quadrados Mágicos Aparecem números consecutivos Soma das linhas = soma das colunas = soma das diagonais

Existem quadrados mágicos maiores? Sim! Existem quadrados mágicos de tamanho 3, 4, 5, 6, ...

Matemática e Arte? Soma mágica: 34

Como fazer quadrados mágicos de qualquer tamanho? Uma ideia: quadrados latinos! São quadrados que têm números de 1 a n em cada linha e coluna. 1 3 2 4

Algo a mais Além disso, as diagonais não podem ter números repetidos  X 1 3 2 4

Assim... Monte uma nova tabela girando-a de 90 graus no sentido anti-horário 1 3 2 4

Depois? Subtraia 1 de cada número, multiplique tudo por 4 e some à primeira tabela. 1 3 2 4 13 11 2 8 6 4 9 15 12 14 7 1 3 5 16 10 12 8 4 4 3 1 2 3 2 1

Infelizmente Isso funciona bem só para alguns quadrados Não dá certo sempre O que fazer então? Não se preocupe! Há outras regras!

Ímpares Comece pela casinha do meio da primeira linha e vá na diagonal superior direita Se o tabuleiro acabar, volte do outro lado (que nem videogame!) Se a casinha já estiver ocupada, vá uma casa para baixo.

Tamanho 5 17 24 1 8 15 23 5 7 14 16 4 6 13 20 22 10 12 19 21 3 11 18 25 2 9

Por que funciona? 17 24 1 8 15 23 5 7 14 16 4 6 13 20 22 10 12 19 21 3 11 18 25 2 9 Simetria!

Múltiplos de 4 Preencha na ordem usual (da esquerda para a direita, de cima para baixo) Divida o tabuleiro em quadrados 4  4 Em cada tabuleiro desenhe as duas diagonais Troque todos os números que estão sob diagonais pelo complementar (o maior pelo menor, o segundo maior pelo segundo menor, etc)

Tamanho 8 64 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 61 60 57 55 54 51 50 47 46 43 42 40 37 36 33 32 29 28 25 23 22 19 18 15 14 11 10 8 5 4 1

Por que funciona? Trocamos elementos simétricos tanto numérica como geometricamente Cada linha tem 4 números “grandes” e 4 “pequenos” Isso balanceia a soma

Pares que não são múltiplos de 4 Método “LUX” Dividimos em quadrados 2  2 Preenchemos cada quadrado com quatro números, na ordem A ordem dos quadrados é a mesma do caso ímpar A ordem de cada quadrado pode ser L, U ou X

Exemplo 68 65 66 67 96 93 94 95 4 1 2 3 32 29 30 31 60 57 58 59 92 89 90 91 20 17 18 19 28 25 26 27 56 53 54 55 64 61 62 63 4 1 2 3 16 13 14 15 24 21 22 23 49 52 50 51 80 77 78 79 88 85 86 87 1 4 2 3 37 40 38 39 45 48 46 47 76 73 74 75 81 84 82 83 9 12 10 11 1 4 3 2 41 44 43 42 69 72 71 70 97 100 99 98 5 8 7 6 33 36 35 34

Em geral Se n = 4k + 2, a distribuição dos Ls, Us e Xs é a seguinte: k + 1 linhas de Ls Uma linha de Us k – 1 linhas de Xs Trocamos o L central pelo U inferior

Por que funciona? As “médias” dos quadrados funcionam, pois o caso ímpar funciona Falta só ajustar dentro dos quadrados 3 6 7 4 1 2 3 5 1 4 2 3 5 1 4 3 2 5 5 5 5 7 4 3 6 4 3 7 4 6

Nas linhas... 4 1 2 3 5 1 4 2 3 5 1 4 3 2 5 5 5 5 Nas linhas está tudo bem, pois somamos vários pares na média

Nas colunas... 4 1 2 3 1 4 2 3 1 4 3 2 6 4 3 7 4 6 Note que cada L compensa um U; Há sempre dois Ls a mais que Us Então nas linhas ímpares temos +2 e nas linhas ímpares -2 Mas cada U tem -2 nas linhas ímpares e +2 nas linhas pares.

Nas diagonais... 3 6 7 4 1 2 3 1 4 2 3 1 4 3 2 7 4 3 Há um L a mais do que Us; Então a diagonal que desce fica com +2 e a que sobe, com -2 Mas cada um dos dois U tem -1 na diagonal que desce e +1 na que sobe

Voltando ao 3 x 3 Permitindo agora colocar qualquer número real nas casinhas, é possível achar todos os quadrados mágicos? A resposta é sim, e vamos ver como!

Primeiro passo: o número do meio Seja 3k a soma mágica Então: a + e + i = 3k b + e + h = 3k c + e + g = 3k d + e + f = 3k Somando tudo obtemos a + b + c + d + e + f + g + h + i + 3e = 12k Como a soma de todos os números é 9k (três vezes a soma mágica), 9k + 3e = 12k  e = k a b c d e f g h i

Agora é só preencher! k k + l k – l – m k + m k – l + m k + l – m

Mais uma curiosidade Produtos 8 1 6 3 5 7 4 9 2 48 Soma das linhas 105 225 72 Produtos Coincidência? 96 45 84 Soma das colunas 225

Não é coincidência! Isso vale para todo quadrado mágico de tamanho 3 Você pode abrir a conta para conferir! k + l k – l – m k + m k – l + m k k + l – m k – m k + l + m k – l

Quadrados mágicos multiplicativos Agora os produtos devem ser iguais! Os números não precisam mais ser consecutivos. 128 1 32 4 16 64 8 256 2 Produto mágico: 4096

Cubos mágicos É a versão 3D dos quadrados mágicos Em cada linha de números a soma deve ser a mesma

O que se sabe sobre cubos mágicos? Não existem cubos mágicos de tamanho 2, 3 e 4 Todavia existem cubos mágicos de tamanho 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 e 12 Não se sabe o que acontece para cubos maiores

Alguns problemas para você Construa quadrados mágicos de tamanho 6, 7, 12 e 14 Verifique a propriedade dos produtos dos quadrados mágicos de ordem 3 A propriedade vale também para diagonais? Existe um exemplo em que a propriedade vale para diagonais? O menor produto mágico possível para quadrados multiplicativos de tamanho 3 é 216. Encontre um quadrado mágico com esse produto mágico.