Vetores e movimento em duas dimensões

Posição e deslocamento A trajetória é o caminho percorrido por um objeto (planeta , cometa, foguete, carro..). Qualquer ponto da trajetória pode ser descrito pelo vetor posição que denotamos por r(t). O deslocamento r entre os pontos rP e rQ é dado por r = rQ – rP Note que r não depende da origem

Posição e deslocamento O vetor posição em 2-D fica definido em termos das suas coordenadas cartesianas por r(t) = x(t)i + y(t)j No caso espacial, 3-D, temos r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k

Velocidade e aceleração Similar ao caso de 1-D, a velocidade média é A velocidade instantânea é ou em termos de componentes ou

Velocidade e aceleração Similar ao caso de 1-D, a aceleração média é A aceleração instantânea é em termos de componentes ou

Componentes da aceleração Componentes cartesianas Componentes tangencial e perpendicular

O problema inverso Conhecida a aceleração, podemos integrá-la e obter a velocidade, que se integrada nos fornece a posição Este processo deve ser efetuado para cada componente cartesiana do vetor considerado

Aceleração constante Aceleração constante  movimento no plano: plano formado pela velocidade inicial e pelo vetor aceleração. Movimento fora do plano não é possível. A gravidade é um bom exemplo. Como ax e ay são constantes  dois problemas unidimensionais independentes.

Aceleração constante componente x de r componente x de v componente y de r componente y de v em t =0

Aceleração da gravidade Nesse caso ay = -g e ax=0. Na direção x, vx é constante! componente x de r componente x de v (constante) componente y de r componente y de v em t =0

Aceleração da gravidade Se tomamos x0 = y0 = 0 (saindo da origem) Foto estroboscópica do movimento parabólico de x = v0x t temos t = x/v0x substituindo na equação para y encontramos a equação da trajetória Equação de uma parábola!

Aceleração da gravidade A coordenada y é independente da velocidade vx. Isto é ilustrado na figura ao lado onde duas bolas são jogadas sob ação da gravidade. A vermelha é solta e a amarela tem velocidade inicial vx. Em cada instante elas têm a mesma altura!!

Aceleração da gravidade Ex.: Bola sai do penhasco com v = 10 m/s na horizontal Descreva o movimento. A velocidade é vx = 10 m/s vy = (-9.8 m/s2) t A posição é x = (10 m/s) t y = (-4.9 m/s2) t2

Aceleração da gravidade Vetores r, v e a para t = 1s e t = 2s. Enquanto a é constante r e v variam com o tempo. Como varia o ângulo dos vetores r e v? vetor r: tan  = y/x = (-0.49 s-1)t vetor v: tan ’ = vy/vx = (-0.98 s-1)t

Alcance Tempo para atingir altura máxima h.

Alcance Tempo para atingir altura máxima h. O alcance R acontece em t = 2 th:

Alcance Alcance máximo Para um valor fixo do módulo da velocidade inicial o alcance máximo acontece para ou seja

Exemplo Bola sobre a mesa cai de altura H = 80 cm com velocidade inicial v0 = 2.1 m/s. Qual a distância D onde ela atinge o piso? A altura H é dada por A vel. horizontal se mantém constante

Exemplo Canhão atira bolas com vel. v0 portanto seu raio máximo é Rmax =v02/g. Mostre que para atirar em um alvo com menor distância existem dois ângulos 0 possíveis. v0 = 100 m/s, D = 800m Usando os dados numéricos temos Rmax = 1019 m

Movimento circular e uniforme Este movimento tem velocidade com módulo constante porém sua direção muda continuamente Exemplos: Movimento de satélites artificiais. Pontos em um disco de vitrola. Disco rígido de computador. Nós como partículas girando com o movimento da terra.

Movimento circular e uniforme Usamos coordenadas polares Daí, o arco fica onde Como o raio é constante, a única variável é

Movimento circular e uniforme Como o raio é constante, a única variável é . A posição angular é uma função do tempo, . O arco descrito em é dado por . Então, Definimos assim a velocidade angular

Movimento circular e uniforme Uma volta completa Período do movimento Frequência Velocidade angular e frequência Unidades

Interpretação da velocidade angular ω O modulo da velocidade δφ O vetor associado vem de um produto vetorial ω v R

Movimento circular e uniforme Aceleração média Aceleração instantânea No limite t 0

Movimento circular e uniforme Aqui podemos também usar um vetor unitário (note que este vetor varia com o movimento) A aceleração cujo módulo vimos, fica: Tem direção do vetor posição e aponta para o centro do movimento. Está é a aceleração centrípeta.

Movimento circular e uniforme Exemplo: Peão roda uniformemente com 16 Hz. Qual é a aceleração centrípeta de um ponto no raio do peão em R = 3 cm Velocidade angular é Daí a aceleração fica

Movimento helicoidal Exemplo de movimento tridimensional: considere uma partícula cuja posição varia como constantes. A velocidade A aceleração

Movimento helicoidal O módulo da velocidade No plano xy a partícula tem Movimento periódico onde A aceleração O módulo

Movimento helicoidal Podemos compor este movimento no plano com o movimento em z. Note que a partícula anda uma altura h em um período do movimento no plano A cada período T a partícula se desloca de h no plano z descrevendo um movimento helicoidal!

Movimento circular acelerado Consideremos agora o caso em que a velocidade angular não é constante. Então, é o módulo da velocidade que também varia no tempo e a velocidade angular é dada por

Movimento circular acelerado Como o módulo da velocidade também varia há uma componente tangencial da aceleração dada por onde é a aceleração angular

Movimento circular acelerado A aceleração do corpo é dada por

Movimento circular acelerado Aceleração total; soma de uma componente tangencial e uma normal ou ainda

Movimento circular acelerado Pelas definições da aceleração e velocidade angulares temos

Movimento circular acelerado Quando a aceleração angular é constante temos o chamado movimento circular uniformemente acelerado e Em perfeita analogia com movimento linear uniformemente acelerado!

Exemplo Um disco possui uma aceleração angular de rad/s2. Supondo que o disco inicie o seu movimento com velocidade angular nula, pede-se: a velocidade angular do disco depois que ele girou de 200, e o tempo gasto para ele atingir esta velocidade angular.

Movimento relativo O movimento de um determinado objeto é conhecido em um dado sistema de coordenadas A Conhecemos o movimento de um segundo sistema de coordenadas B com respeito ao primeiro Desejamos conhecer o movimento do objeto em relação ao novo sistema de coordenadas

Movimento relativo Mas se são todas funções do tempo

Movimento relativo Velocidade relativa

Movimento relativo Aceleração relativa

Exemplo Um indivíduo deixa cair um objeto dentro de um elevador que sobe com velocidade de 1/2 m/s. Pede-se: A aceleração do objeto relativa ao elevador tão logo deixe a mão do indivíduo A velocidade do objeto com relação ao solo após 1/10 s. 1/2 m/s