Lógica de Predicados Tableaux semânticos

Sistema de Tableaux Semânticos Alfabeto da Lógica de Predicados Conjunto de fórmulas da Lógica de Predicados Conjunto de regras de dedução (ou regras de inferência)

R1=H^G R2=HvG R3=HG H G H G H G R4=HG R5=H R6=(H^G) H^G H^G H G R7=(HvG) R8=(HG) R9=(HG) H H G G H^G H^G

Regras para quantificadores R10=(x)H R11= (x)H (x)H (x)H R12=(x)H R13= (x)H H(t) H(t) onde t é novo, onde t é qualquer que não apareceu na prova ainda R10 e 12 devem ter preferência! Por quê???

Características do Método de Tableau Semântico Baseado em árvores Ramos são decomposições de H em subfórmulas ou seja, possibilidades de interpretações da fórmula Cada ramo representa uma ou mais interpretações Adequado para implementação!

Idéia Básica de Tableaux Semânticos Concebido por E. Beth (1954) e Jaako Hintikka (1955) Cada interpretação representa um mundo possível Interpretação – caminho da raiz da árvore a uma folha “Semântica dos Mundos Possíveis” Buscam admissões de interpretações

Características do Método de Tableau Semântico (cont.) Sistema de refutação Prova por negação ou absurdo Para provar H supõe-se inicialmente, por absurdo, H As deduções desta fórmula levam a um fato contraditório (ou absurdo) Então H é verdade!!

Construção de um Tableau Tableau semântico para o conjunto de fórmulas {(AvB),(A^ B)} 1. AvB 2.A^ B 3. A B R2, 1. 4. A A R1, 2. 5. B B R1, 2.

Construção do mesmo Tableau mais curto Tableau semântico para o conjunto de fórmulas {(AvB),(A^ B)} 1. AvB 2.A^ B 3. A R1, 2. 4. B R1, 2. 5. A B R2, 1.

Heurística para aplicação de regras para tableau Advindas do sistema de tableau analítico “First Order Logic”, R. Smullyan (1970) Adiar a bifurcação Aplicar primeiro as regras que não bifurquem Árvore menor => menos interpretações a serem analisadas

Ramo aberto e fechado Ramo fechado – contém uma fórmula B e sua negação B, ou o símbolo de verdade false Tableau fechado – não contém ramos abertos

Prova e Teorema em Tableaux Semânticos Uma prova de H usando tableaux semânticos é ... Um tableau fechado associado a... H! Neste caso, H é um teorema do sistema de tableaux semânticos

Exemplo de Prova em Tableaux Semânticos Como provar H=((PQ)^(PQ)^(P))?? Gerar um tableau fechado para H: (((PQ)^(PQ)^(P)))

1. (((PQ)^(PQ)^(P))) 2. (PQ)^(PQ)^(P) R5, 1. 3. PQ R1, 2. 4. PQ R1, 2. 5. P R1, 2. 6. P R5, 5. 7. P Q R3, 3. fechado 8. P^Q P^Q R9, 4. 9. P P R1, 8. 10. Q Q R1, 8. fechado fechado

1. ((PQ)vP)) 2. (PQ) 3. P 4. P 5. P^Q P^Q 6. P P 7. Q Q aberto fechado

Conseqüência Lógica em Tableaux Semânticos Dada uma fórmula H e um conjunto de hipóteses b={H1,H2,...Hn}, então H é conseqüência lógica em tableaux semânticos de b se existe uma prova, usando tableaux semânticos de (H1^H2^...^Hn)  H

Notação de Conseqüência Lógica em Tableaux Semânticos Dada uma fórmula H, se H é conseqüência lógica de um conjunto de hipóteses b={H1,H2,...Hn} em tableaux semânticos, diz-se que: b├ H ou {H1,H2,...Hn}├ H

Exemplo de Conseqüência Lógica em Tableaux Semânticos Guga é determinado Guga é inteligente Se Guga é determinado, ele não é um perdedor Guga é um atleta se é amante do tênis Guga é amante do tênis se é inteligente “Guga não é um perdedor” é conseqüência lógica das afirmações acima??

Solução Provar H=(P^Q^((P^R)P1)^(Q1R)^(QQ1)) P1 Mostrando que H é absurdo (P^Q^((P^R)P1)^(Q1R)^(QQ1)) P1) gera um tableau fechado?

Exercícios de Formalização A proposta de auxílio está no correio. Se os árbitros a receberem até sexta-feira, eles a analisarão. Portanto, eles a analisarão porque se a proposta estiver no correio, eles a receberão até sexta-feira. (C, S, A)

Solução A proposta de auxílio está no correio. Se os árbitros a receberem até sexta-feira, eles a analisarão. Portanto, eles a analisarão porque se a proposta estiver no correio, eles a receberão até sexta-feira. C: A proposta de auxílio está no correio. S: Os árbitros recebem a proposta até Sexta-feira. A: Os árbitros analisarão a proposta. {C, SA, CS} |-- A

Exercício Hoje é Sábado ou Domingo. Se hoje é Sábado então é um fim de semana. Se hoje é Domingo então é um fim de semana. Portanto, hoje é um fim de semana.

Exercício Se hoje é Quinta-feira, então amanhã será sexta-feira. Se amanhã for sexta-feira, então depois de amanhã será sábado. Conseqüentemente, se hoje for quinta-feira, então depois de amanhã será sábado.

Exemplo 1: Construção de um Tableau H=(x)(y)p(x,y)  p(a,a) é tautologia? Tableau sobre H: 0. ((x)(y)p(x,y)  p(a,a)) 1. (x)(y)p(x,y) R8,0 2. p(a,a) R8,0 3. (y)p(a,y) R13,1 com t=a 4. p(a,a) R13,3 com t=a fechado

Exemplo 2: Construção de um Tableau H=(x)p(x)  (y)p(y) é tautologia? Tableau sobre H: 0. ((x)p(x)  (y)p(y)) 1. (x)p(x) R8,0 2. (y)p(y) R8,0 3. (y)p(y) R11,2 4. p(a) R13,3 com t=a 4. p(a) R13,1 com t=a fechado

Exemplo 3: Construção de um Tableau W= (x)(Bom(x)  Alegria)  (x) (Bom(x)  Alegria) Tableau sobre W???

0. ((x)(Bom(x)  Alegria)  (x) (Bom(x)  Alegria)) 1. (x)(Bom(x)  Alegria) R8,0 2. (x) (Bom(x)  Alegria)) R8,0 3. (x)(Bom(x)  Alegria) R5,1 4. (x)(Bom(x)  Alegria) R11,2 5. (x)Bom(x) R8,4 6. Alegria R8,4 7. Bom(a) R13, t=a 8. (x)Bom(x) Alegria R3,3 9. Bom(a) fechado R13,8, t=a fechado

Exercícios J=((x)p(x)^(x)q(x))  (x)(p(x)^q(x)) P=(x)(p(x)^q(x))   (x)p(x)^ (x)q(x)) Q=(x)(p(x)  (y)(p(y))

Exemplo de prova M=(x)(y)p(x,y)  p(a,a) 1. (x)(y)p(x,y) R8,0 2. p(a,a)) R8,0 3. (y)p(t1,y) R12,1, t1 novo, t1=a 4. p(t1,t2) R12,1, t2 novo, t2=a e t1 Fechado??? Se R12 fosse usada com t1 e t2=a (errado!), o tableau seria fechado

Exemplo 2 de prova H=(x)p(x)^q(x)  (x)p(x) é tautologia? Fazer o Tableau sobre H

Exemplo 2 de prova (cont.) H=(x)p(x)^q(x)  (x)p(x) 0. ((x)p(x)^q(x)  (x)p(x)) 1. (x)p(x)^q(x) R8,0 2. (y)p(x) R8,0 3. p(t) R12,2, t novo 4. p(t)^q(t) R13,1, t qualquer 4. p(t) R1,4 5. q(t) R1,4 6. Fechado - Que alegria 

Mais exercícios... Fumo!! E1=(x)(p(x)  q(x)) E2=(x)p((x)  (x)q(x)) E1  E2?? G1=(x)(p(x)  q(x)) G2=(x)p((x)  (x)q(x)) G1  G2?? G2  G1??

Conseqüência Lógica em Tableaux Semânticos Dada uma fórmula H e um conjunto de hipóteses b={H1,H2,...Hn}, então H é conseqüência lógica em tableaux semânticos de b se existe uma prova, usando tableaux semânticos de (H1^H2^...^Hn)  H Porém em Lógica de 1ª. Ordem, isto é raro...

Notação de Conseqüência Lógica em Tableaux Semânticos Dada uma fórmula H, se H é conseqüência lógica de um conjunto de hipóteses b={H1,H2,...Hn} em tableaux semânticos, diz-se que: b├ H ou {H1,H2,...Hn}├ H ├{H1,H2,...Hn,H} Queremos provar, por negação ao absurdo, que b U H é insatisfatível b U H├ Falso

Exercício de Cons. Lógica {(x)(Homem(x)  Mortal(x)), Homem(Sócrates)} ├ Mortal(Sócrates)? Prova por tableaux de H =(x)(Homem(x)  Mortal(x))^ Homem(Sócrates))  Mortal(Sócrates) H= ((x)(Homem(x)  Mortal(x))^ Homem(Sócrates))  Mortal(Sócrates))

Exercício de Cons. Lógica (cont.) H= ((x)(Homem(x)  Mortal(x))^ Homem(Sócrates))  Mortal(Sócrates)) Por R8, queremos um tableau fechado que começa SEMPRE com as premissas e negação dõ conseqüente 1. (x)(Homem(x)  Mortal(x))^ Homem(Sócrates)) R3,0 2. (x)(Homem(x)  Mortal(x)) R1,1 3. Homem(Sócrates) R1,1 4. Mortal(Sócrates) R3,0 Portanto se eu gerar o conseqüente (Mortal(Sócrates)) diretamente, eu já tenho uma contradição! Podem (e devem) usadas outras contradições

Exercício de Cons. Lógica (cont.) 1. (x)(Homem(x)  Mortal(x))^ Homem(Sócrates)) 2. (x)(Homem(x)  Mortal(x)) 3. Homem(Sócrates) 4. Mortal(Sócrates) 5. Homem(Sócrates)  Mortal(Sócrates) 6. Homem(Sócrates) Mortal(Sócrates) Fechado Fechado

E para a implementação??

Tem um probleminha... 0. ((x)(Bom(x)  Alegria)  (x) (Bom(x)  Alegria)) 1. (x)(Bom(x)  Alegria) R8,0 2. (x) (Bom(x)  Alegria)) R8,0 3. (x)(Bom(x)  Alegria) R5,1 4. (x)(Bom(x)  Alegria) R11,2 5. (x)Bom(x) R8,4 6. Alegria R8,4 7. Bom(a) R13, t=a 8. (x)Bom(x) Alegria R3,3 9. Bom(a1) fechado R13,8, t=a 10. Bom(a2) .... E nunca fazer x=a

Solução Tableaux semânticos podem ser usados, mas Podem não ser decidíveis (por quê?) ocupam muita memória, para gerar as instanciações possíveis Aguardem os próximos capítulos... Unificação!!