TEORIA DE FILAS SERVIÇO BULK UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA CURSO DE BACHARELADO EM ESTATÍSTICA. TEORIA DE FILAS SERVIÇO BULK CURITIBA 2º Semestre de 2005

INTRODUÇÃO O estudo de filas tem como objetivo atender melhor aos clientes bem como às empresas. Analisamos como uma fila é formada e como o serviço é fornecido. A análise é baseada na construção de um modelo matemático que representa o processo de chegada dos clientes à fila, a forma de acesso ao serviço, e o tipo de serviço.

OBJETIVO O objetivo da análise de um sistema de filas é compreender o comportamento de seus processos, de modo a auxiliar a tomada de decisões.

RESUMO No sistema BULK, as chegadas seguem uma distribuição Poisson, em que K clientes são atendidos ao mesmo tempo. O tempo de serviço para qualquer fila de K variáveis aleatórias segue distribuição exponencial. Este modelo é formado por servidor único, sistema com capacidade infinita e disciplina FIFO, sem sala de espera. Este modelo é denotado por (M/M[K]/1).

CARACTERÍSTICAS DO MODELO M/M[K]/1 Chegada: Poissoniana Taxa: l clientes/tempo População:  Fila máxima:  Atendimento: exponencial Taxa: m clientes/tempo Nº de servidores: 1 Taxa de ocupação: r Diagrama do modelo

EQUAÇÕES O modelo básico é um problema Markoviano de Nascimento-Morte para o qual temos as seguintes equações de Kolmogorov:

EQUAÇÕES Supondo que o processo é estacionário e igualando as derivadas a zero temos (1): Reescrevendo a primeira equação de (1):

EQUAÇÕES Uma ligeira variação neste tema é quando consideramos um modelo em que o serviço exige que o tamanho da fila seja exatamente K, nesse caso o usuário fica aguardando até que a fila alcance o tamanho K. Então as equações (1) podem ser reescritas como:

EXEMPLO Um Lava Car quer instalar uma máquina que permitirá a lavagem de dois carros de uma só vez ou de um, se não houver espera. A empresa espera chegadas Poisson com 20 carros por hora, em média, e seu tempo de serviço é exponencial com média de 5 minutos, ou seja, 12 carros por hora. Qual o tamanho médio esperado da fila ?

EXEMPLO Os parâmetros dados são: l = 20 carros/hora; m = 12 carros/hora e K = 2 Utilizando a equação temos:

EXEMPLO Uma raiz é, naturalmente, r=1, e dividindo por , resulta em que tem as raízes resultantes de Selecionando a raiz positiva com valor absoluto menor que 1, temos:

EXEMPLO Conseqüentemente o número médio de clientes no sistema é e o comprimento médio esperado da fila será

CONCLUSÃO A empresa de lavagem de carros deve projetar uma entrada de acesso ao serviço de lavagem com capacidade para 6 carros.