Logaritmos

Um pouco de história Matemático escocês John Napier (1550-1617) e pelo matemático suiço Jost Bürgi (1552-1632) em princípios do século XVII.

Alguém sabe como simplificar ? Um pequeno desafio! Alguém sabe como simplificar ?

Outro pequeno desafio! Qual é o valor de 128 x 256 ? Algoritmo da multiplicação Ideias de Napier e Bürgi Os logaritmos, portanto, surgiram para realizar simplificações, uma vez que transformam multiplicações e divisões nas operações mais simples de soma e subtração. 1 2 3 ... 7 8 9 10 14 15 4 128 256 512 1024 16384 32768

Tábuas de logaritmos Posteriormente, Napier, juntamente com Briggs, elaboraram tábuas de logaritmos mais úteis de modo que o logaritmo de 1 fosse 0 e o logaritmo de 10 fosse uma potência conveniente de 10, nascendo assim os logaritmos briggsianos ou comuns, ou seja, os logaritmos dos dias de hoje. Recentemente, no século XX, com o desenvolvimento da Teoria da Informação, Shannon descobriu que a velocidade máxima Cmáx - em bits por segundo - com que sinais de potência S watts podem passar por um canal de comunicação, que permite a passagem, sem distorção, dos sinais de freqüência até B hertz, produzindo um ruído de potência máxima N watts, é dada por: Dessa forma, os logaritmos claramente assumem um papel fundamental, pois constituem uma ferramenta essencial no contexto da moderna tecnologia.

Aplicações! A escala de acidez e os logaritmos. O pH é uma escala em Química para expressar o grau de acidez ou basicidade de uma solução aquosa. Os valores do pH variam de 0 a 14. Para o cálculo do pH usa-se a expressão: pH = - log[H+] Quando 0 ≤ pH < 7 ( solução ácida ) Quando pH = 7 ( solução neutra ) Quando 7 ≤ pH < 14 ( solução básica )

Aplicações! A escala de Richter foi desenvolvida em 1935 pelos sismólogos Charles Francis Richter e Beno Gutenberg, ambos membros do California Institute of Technology (Caltech), que estudavam sismos no sul da Califórnia, utilizando um equipamento específico - o sismógrafo Wood-Anderson. Após recolher dados de inúmeras ondas sísmicas liberadas por terremotos, criaram um sistema para calcular as magnitudes dessas ondas. A história não conservou o nome de Beno Gutenberg. No princípio, esta escala estava destinada a medir unicamente os tremores que se produziram na Califórnia (oeste dos Estados Unidos). Apesar do surgimento de vários outros tipos de escalas para medir terremotos, a escala Richter continua sendo largamente utilizada. A fórmula utilizada é ML = logA - logA0.

Aplicações! “Os impactos ambientais aumentaram muito a partir do séc. XVIII, como consequência da revolução industrial e do avanço das tecnologias de exploração e transformação da natureza. Além disso, houve um crescimento exponencial da população do planeta, composto de pobres em sua maioria” Sene, Eustáquio de. Espaço geográfico mundial e globalizado, 8º série pág. 184. São Paulo: Scipione, 2000.

Aplicações! A reprodução de peixe:

Aplicações! AGRICULTURA: para calcular o rendimento V de uma floresta podemos usar a fórmula: em que V dá-nos o valor em metros cúbicos de madeira por are (100m²), em função da idade da floresta, t.

Aplicações! ASTRONOMIA: desde tempos antigos, que se tem classificado as estrelas de acordo com o seu brilho detectado a olho nú. As estrelas que mais brilhavam eram chamadas "estrelas de 1ª magnitude", aquelas que brilhavam um pouco menos eram chamadas " estrelas de 2ª magnitude" e assim sucessivamente. Atualmente o brilho de uma estrela pode ser medido exatamente, e a classificação da sua magnitude é baseada no cálculo do logaritmo do brilho atual. Assim, a fórmula que relaciona a magnitude e o brilho é

Aplicações! INTENSIDADE SONORA:

Aplicações! Um pouco de diversão! Só LOG, Só LOG...

Logaritmos Logab = x ax = b Definição: Sendo a e b números reais e positivos, com a≠1, chama-se logaritmo de b na base a o expoente x ao qual se deve elevar a base a de modo que a potência ax seja igual a b. Logab = x ax = b

Logc(A.B) = logcA + logcB Logc(A/B) = log c A – log c B Logaritmos Logc(A.B) = logcA + logcB Logc(A/B) = log c A – log c B Logc An = n. (log c A) LogcA = (LogxA)/(LogxC) CologcA = Logc(1/A) = - LogcA

Logaritmo Natural Tudo o que foi visto continua válido A base deixa de ser 10 e passa a ser e (Euler) Pode-se simplificar a escrita utilizando-se a nomenclatura: ln = log e

Logaritmos – Exercícios (Puccamp - Sp) A invenção dos logaritmos teve como resultado imediato o aparecimento de tabelas, cujas cálculos eram feitos um a um. O projeto do Inglês Charles Babbage (séc. XIX), “pai dos computadores modernos”, era construir uma máquina para a montagem dessas tabelas, como por exemplo: Usando a tabela, determine o valor que se obtém para log 450 x Log x 2 0,30 3 0,47 4 0,60 5 0,70 6 0,78 ...

Logaritmos –Exercícios (PUC MG) As indicações R1 e R2 de dois terremotos, na escala Richter, estão relacionadas pela fórmula , em que E1 e E2 medem as respectivas energias, liberadas pelos terremotos em forma de ondas que se propagam pela crosta terrestre. Nessas condições, se R1 = 8,5 e R2 = 7,0, é CORRETO afirmar que a razão entre E1 e E2, nessa ordem, é igual a: a) 0,5 b) 1,5 c) 100,5 d) 101,5

Logaritmos –Exercícios (UFRRJ) O pH de uma solução é definido por , sendo H+ a concentração de hidrogênio em íons-grama por litro de solução. Calcule o pH de uma solução que tem íons-grama por litro.

Logaritmos –Exercícios (UFG GO) Um capital aplicado é acrescido de 25% ao final de cada mês. Quantos meses são necessários para que o montante atinja, no mínimo, cinco vezes o capital inicial?(Use a aproximação de 0,3010 para log10 2)

Logaritmos –Exercícios (UFOP MG) Resolva a equação 3x + 3x + 1 = 8, sabendo que log2 = 0,3010 e log3 = 0,4771.

Logaritmos –Exercícios (UEPB) Os átomos de um elemento químico radioativo possuem uma tendência natural de se desintegrarem, diminuindo, portanto, sua quantidade original com o passar do tempo. Suponha que certa quantidade de um elemento radioativo, com massa inicial m0 (gramas), com m0 ≠ 0, decomponha-se conforme o modelo matemático ,em que m(t) é a quantidade de massa radioativa restante no tempo t(anos). Usando a aproximação log102=0,3, a quantidade de anos para que esse elemento se decomponha até atingir 1/8 da massa inicial será: a) 60 b) 62 c) 64 d) 63 e) 70

Créditos Prof. Paulo Murillo Site: www.acheiox.com.br