Funções Rosen 5th ed., §1.8 Estruturas Discretas e Lógica Matemática Dep. de Informática – UFMA Prof. Anselmo Paiva

Conceito familiar no cálculo Funções Conceito familiar no cálculo Função real f, que associa a cada número xR um valor particular y=f(x), onde yR. Noção generalizada Conceito de associar elementos de um conjunto qualquer a elementos de um outro conjunto qualquer Prof. Anselmo Paiva

Generalizações desta Idéia: Definição Formal Sejam A e B dois conjuntos, então dizemos que um função f de A em B (f:AB) é uma associação de um único elemento f(x)B a cada elemento xA. Generalizações desta Idéia: Função f associa zero ou elemento de B a cada elemento xA. Funções de n argumentos; relations. Mais na frente veremos Prof. Anselmo Paiva

Podemos representar os pares ordenados como pontos em um plano. Gráficos de Funções Podemos representar uma função f:AB como o conjunto de pares ordenados {(a,f(a)) | aA}. Isto torna f uma relação entre A e B: Para cada aA, existe somente um par (a,b). Podemos representar os pares ordenados como pontos em um plano. Assim desenhamos uma curva com um único y para cada x. Prof. Anselmo Paiva

Funções pode ser representadas graficamente: B f • • f • • • • y • a b • • • • Note that the inverses of the functions in the two diagrams on the left are not functions. Note also that the plot has gaps if the domain of the function is not the set R x A B Grafo Bipartido Gráfico Diagrama de Venn Prof. Anselmo Paiva

Funções que já vimos Uma proposição pode ser vista como uma funçãoque leva de “situações”em valores veradade {T,F} p=“Está chovendo.” s=nossa situação aqui hoje p(s){T,F}. Um operador proposicional pode ser visto como uma função de pares ordenados em valores verdade: e.g., ((F,T)) = T. Prof. Anselmo Paiva

Mais funções Um predicado pode ser visto como uma função de objetos em proposições: P :≡ “tem 2 metros de altura”; P(Zé) = “Zé tem 2 metros de altura.” Uma bit string B de comprimento n pode ser vista como uma função de números {1,…,n}(posições dos bits) em bits {0,1}. E.g., B=101  B(3)=1. Prof. Anselmo Paiva

S={3} S(0)=S(1)=S(2)=F, S(3)=T Continuando Um conjunto S sobre um universo U pode ser visto como uma função dos elementos de U em {T, F}, definindo se cada elemento de U está no conjunto S Suponha U={0,1,2,3}. Então S={3} S(0)=S(1)=S(2)=F, S(3)=T Prof. Anselmo Paiva

Continuando Um conjunto de operadores tal como ,, pode ser visto como uam função de pares de conjuntos em conjuntos. Exemplo: (({1,3},{3,4})) = {3} Prof. Anselmo Paiva

Assim, f  YX é outra maneira de dizer que f: XY. Notação apropriada Podemos escrever YX para denotar o conjunto F de todas as possíveis funções f: XY. Assim, f  YX é outra maneira de dizer que f: XY. Notação apropriada Para X e Y finitos |F| = |Y||X|. Prof. Anselmo Paiva

Detalhe Se usarmos F0, T1, então um subconjunto TS é uma função de S em {0,1} P(S) pode ser representado como {0,1}S (o cojunto de todas as funções de S em {0,1} ) Prof. Anselmo Paiva

Se escrevemos f:AB, e f(a)=b (onde aA & bB), podemos dizer: Terminologia Se escrevemos f:AB, e f(a)=b (onde aA & bB), podemos dizer: A é o domínio de f. B b é o contra-domínio de f. b é a imagem de a em f. O conjunto imagem de f:AB é o conjunto de todas as imagens de elementos de A. Dizemos que f:AB mapeia A em B. Prof. Anselmo Paiva

Funções Considere a função f:PC com P = {Linda, Max, Kathy, Peter} C = {Boston, New York, Hong Kong, Moscow} f(Linda) = Moscow f(Max) = Boston f(Kathy) = Hong Kong f(Peter) = New York O conjunto imagem de f é C. Prof. Anselmo Paiva

Let us re-specify f as follows: f(Linda) = Moscow f(Max) = Boston Funções Let us re-specify f as follows: f(Linda) = Moscow f(Max) = Boston f(Kathy) = Hong Kong f(Peter) = Boston Is f still a function? yes What is its range? {Moscow, Boston, Hong Kong} Prof. Anselmo Paiva

Other ways to represent f: Funções Other ways to represent f: Boston Peter Hong Kong Kathy Max Moscow Linda f(x) x Linda Max Kathy Peter Boston New York Hong Kong Moscow Prof. Anselmo Paiva

Funções Se o domínio de f for grande, é conveniente especificar f com uma fórmula, e.g.: f:RR f(x) = 2x Isto leva a: f(1) = 2 f(3) = 6 f(-3) = -6 … Prof. Anselmo Paiva

Funções Sejam f1 e f2 funções de A em R. Então a soma e o produto de f1 e f2 são também funções de A em R definidas por: (f1 + f2)(x) = f1(x) + f2(x) (f1f2)(x) = f1(x) f2(x) Exemplo: f1(x) = 3x, f2(x) = x + 5 (f1 + f2)(x)= f1(x)+f2(x)=3x + x + 5 = 4x + 5 (f1f2)(x) = f1(x) f2(x) =3x(x + 5) = 3x2 + 15x Prof. Anselmo Paiva

Seja f:AB. Se tomarmos um subcon Funções Seja f:AB. Se tomarmos um subcon If we only rejunto SA, o conjunto de todas as imagens de elementos sS é denominado imagem de S. Denotada por f(S): f(S) = {f(s) | sS} Prof. Anselmo Paiva

Considere a seguinte função: f(Linda) = Moscow f(Max) = Boston Funções Considere a seguinte função: f(Linda) = Moscow f(Max) = Boston f(Kathy) = Hong Kong f(Peter) = Boston Qual a imagem de S = {Linda, Max} ? f(S) = {Moscow, Boston} Qual a imagem de S = {Max, Peter} ? f(S) = {Boston} Prof. Anselmo Paiva

Composição A composição de duas funções g:AB e f:BC, denotada por fg, é definida como (fg)(a) = f(g(a)) Isto significa que: a primeira função é aplicada ao elemento aA, mapeando ele em um elemento de B, Então f é aplicada a este elemento de B Mapeando eme em um elemento de C. Assim: função composta mapeia elementos de A em C. Prof. Anselmo Paiva

(fg)(5) = f(g(5)) = f(15) = 105 – 4 = 101 Composição Exemplo: f(x) = 7x – 4, g(x) = 3x, f:RR, g:RR (fg)(5) = f(g(5)) = f(15) = 105 – 4 = 101 (fg)(x) = f(g(x)) = f(3x) = 21x - 4 Prof. Anselmo Paiva

Composição de função e sua inversa: (f-1f)(x) = f-1(f(x)) = x É a função identidade I(x) = x. Prof. Anselmo Paiva

Propriedades das Funções Uma função f:AB é dita injetora sss x, yA (f(x) = f(y)  x = y) x, yA(x,y: xy  f(x)f(y)). F é injetora sss não mapeia dois elementos distintos de A no mesmo elemento de B. Prof. Anselmo Paiva

Propriedades das Funções g(Linda) = Moscow g(Max) = Boston g(Kathy) = Hong Kong g(Peter) = New York G é é injetora? Sim De novo f(Linda) = Moscow f(Max) = Boston f(Kathy) = Hong Kong f(Peter) = Boston F é injetora? Não, Max e Peter são mapeados na mesma imagem. Prof. Anselmo Paiva

Propriedades das Funções Como provar que um função é injetora? Olhe a definição primeiro: x, yA (f(x) = f(y)  x = y) Exemplo: f:RR f(x) = x2 Use contra exemplo pra provar que não é: f(3) = f(-3), but 3  -3, so f is not one-to-one. Prof. Anselmo Paiva

Propriedades das Funções … outro exemplo: f:RR f(x) = 3x Injetora: x, yA (f(x) = f(y)  x = y) Mostrar que : f(x)  f(y) quando x  y x  y 3x  3y f(x)  f(y), assim se x  y, então f(x)  f(y), logo, f é injetora. Prof. Anselmo Paiva

Propriedades das Funções A função f:AB com A,B  R é denominada estritamente crescente, se x,yA (x < y  f(x) < f(y)), E estritamente descrescente se x,yA (x < y  f(x) > f(y)). Um função que é estritamente crescente ou estritamente descrescente é injetora. Prof. Anselmo Paiva

Propriedades das Funções Uma função f:AB é denominada sobrejetora, sss para cada elemento bB existe um elemento aA com f(a) = b. Se o cojunto imagem for igual ao contra-domínio Uma função f: AB é bijetora sss é injetora e sobrejetora. Logo: se f é bijetora e A e B são conjuntos finitos, então |A| = |B|. Prof. Anselmo Paiva

Propriedades das Funções F é injetora? Não. F é sobrejetora? F é bijetora? Linda Max Kathy Peter Boston New York Hong Kong Moscow Prof. Anselmo Paiva

Propriedades das Funções F é injetora? Não. F é sobrejetora? Sim. F é bijetora? Linda Max Kathy Peter Boston New York Hong Kong Moscow Paul Prof. Anselmo Paiva

Propriedades das Funções F é injetora? Sim. F é sobrejetora? Não. F é bijetora? Linda Max Kathy Peter Boston New York Hong Kong Moscow Lübeck Prof. Anselmo Paiva

Propriedades das Funções F é injetora? Não. F não é função Linda Max Kathy Peter Boston New York Hong Kong Moscow Lübeck Prof. Anselmo Paiva

Propriedades das Funções F é injetora? Sim F é sobrejetora? F é bijetora? Linda Boston Max New York Kathy Hong Kong Peter Moscow Helena Lübeck Prof. Anselmo Paiva

As funções bijetora possuem uma função inversa. f:AB tem como função inversa f-1:BA com f-1(b) = a tal que f(a) = b. Prof. Anselmo Paiva

Inversa Exemplo: f(Linda) = Moscow f(Max) = Boston f(Kathy) = Hong Kong f(Peter) = Lübeck f(Helena) = New York É um função bijetora A inversa é dada por: f-1(Moscow) = Linda f-1(Boston) = Max f-1(Hong Kong) = Kathy f-1(Lübeck) = Peter f-1(New York) = Helena Inversão so é possível para bijetoras Prof. Anselmo Paiva

Inversa Linda Boston f Max New York f-1 f-1:CP não é função Não está definida para todos os elementos de C Associa duas imagens a New York. Kathy Hong Kong Peter Moscow Helena Lübeck Prof. Anselmo Paiva

Função teto e piso Mapeiam números reais em inteiros (RZ). Piso(floor) associa rR ao maior zZ com z  r, denotado por r. 2.3 = 2, 2 = 2, 0.5 = 0, -3.5 = -4 Teto (ceiling) associa rR ao menor zZ com z  r, denotado por r. 2.3 = 3, 2 = 2, 0.5 = 1, -3.5 = -3 Prof. Anselmo Paiva

Sequências Rosen 5th ed., §1.8 Estruturas Discretas e Lógica Matemática Dep. de Informática – UFMA Prof. Anselmo Paiva

Sequências Representam listas ordenadas de elementos. É definida como uma função de um subconjunto de N em um conjunto S. Usamos a notação an para denotar a imagem do inteiro n Chamamos an de um termo da sequência. Subconjunto de N: 1 2 3 4 5 … S: 2 4 6 8 10 … Prof. Anselmo Paiva

Usamos a Notação {an} para descrever uma sequência. Sequências Usamos a Notação {an} para descrever uma sequência. É conveniente descrever uma sequência com uma fórmula. Por exemplo: a sequência do slide anterior {an}, where an = 2n. Prof. Anselmo Paiva

As Fórmulas de Sequências Quais as fórmulas pras seguintes sequências a1, a2, a3, … ? an = 2n - 1 1, 3, 5, 7, 9, … -1, 1, -1, 1, -1, … an = (-1)n 2, 5, 10, 17, 26, … an = n2 + 1 0.25, 0.5, 0.75, 1, 1.25 … an = 0.25n 3, 9, 27, 81, 243, … an = 3n Prof. Anselmo Paiva

O comprimento de uma string S é o número de termos que S possui. Sequências finitas são denominadas de strings, denotadas por a1a2a3…an. O comprimento de uma string S é o número de termos que S possui. A string vazia não contém termos. Possui comprimento zero Prof. Anselmo Paiva

O que isto significa? Somatórios A variável j é denominada índice do somatório, indo do seu limite inferior m ao limite superior n. Prof. Anselmo Paiva

Muito trabalho pra calcular isto Somatórios Como expressar a soma dos primeiros mil termos de uma sequência {an} com an=n2 para n = 1, 2, 3, … ? Escrevemos como Qual o valor de ? 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21. Qual o valor de ? Muito trabalho pra calcular isto Prof. Anselmo Paiva

Somatórios Gauss apresentou a seguinte fórmula: Quando temos esta fórmula, podemos calcular o valor de qualquer somatório: Prof. Anselmo Paiva

??? Séries Aritméticas Como: Observe que: 1 + 2 + 3 +…+ n/2 + (n/2 + 1) +…+ (n - 2) + (n - 1) + n = [1 + n] + [2 + (n - 1)] + [3 + (n - 2)] +…+ [n/2 + (n/2 + 1)] = (n + 1) + (n + 1) + (n + 1) + … + (n + 1) (com n/2 termos) = n(n + 1)/2. Prof. Anselmo Paiva

assim, (aS - S) = (a - 1)S = a(n+1) - 1 Séries Geométricas Como : ??? Observe que: S = 1 + a + a2 + a3 + … + an aS = a + a2 + a3 + … + an + a(n+1) assim, (aS - S) = (a - 1)S = a(n+1) - 1 Entao, 1 + a + a2 + … + an = (a(n+1) - 1) / (a - 1). E.G.: 1 + 2 + 4 + 8 +… + 1024 = 2047. Prof. Anselmo Paiva

Séries Úteis 1. 2. 3. 4. Prof. Anselmo Paiva

Correspondendo a loops aninhados em linguagens de programação: Somatórios Duplos Correspondendo a loops aninhados em linguagens de programação: Exemplo: Prof. Anselmo Paiva