CLASSES: SÃO INTERVALOS DE VARIAÇÃO DA VARIÁVEL. LIMITES DE CLASSES: SÃO OS EXTREMOS DE CADA CLASSE. AMPLITUDE DE UM INTERVALO DE CLASSE: É A MEDIDA DO INTERVALO QUE DEFINE A CLASSE. PONTO MÉDIO DE UMA CLASSE: É O PONTO QUE DIVIDE O INTERVALO DE CLASSE EM DUAS PARTES IGUAIS. FREQÜÊNCIA SIMPLES OU ABSOLUTA: É O NÚMERO DE OBSERVAÇÕES CORRESPONDENTES A ESSA CLASSE OU A ESSE VALOR. FREQÜÊNCIA RELATIVA: SÃO OS VALORES DAS RAZÕES ENTRE AS FREQÜÊNCIAS SIMPLES E A FREQÜÊNCIA TOTAL.
Amplitude Total → R = L(max) – (Lmin) Número de Classes → K ≈ √n Amplitude total das classes → h ≈ R/K 2
Construir uma tabela de ramo e folhas e uma distribuição de freqüência para os dados abaixo.(Itens: intervalo de classe, freqüência, freqüência relativa, freqüência relativa acumulada) Resistência a compressão de 80 corpos de Prova de Liga Aluminio-Lítio 105 221 183 186 121 181 180 143 97 154 153 174 120 168 167 141 163 228 199 158 176 110 207 131 115 160 208 133 134 190 193 194 156 123 218 178 76 184 135 229 146 157 101 171 165 172 169 151 142 145 148 196 175 149 87 237 150 245 201 200 170 118 3
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA
HISTOGRAMA: É FORMADO POR UM CONJUNTO DE RETÂNGULOS JUSTAPOSTOS, CUJAS BASES SE LOCALIZAM SOBRE O EIXO HORIZONTAL, DE TAL MODO QUE SEUS PONTOS MÉDIOS COINCIDAM COM OS PONTOS MÉDIOS DOS INTERVALOS DE CLASSE.
POLÍGONO DE FREQÜÊNCIA: É UM GRÁFICO EM LINHAS, SENDO AS FREQÜÊNCIAS MARCADAS SOBRE PERPENDICULARES AO EIXO HORIZONTAL, LEVANTADAS PELOS PONTOS MÉDIOS DOS INTERVALOS DE CLASSE.
POLÍGONO DE FREQÜÊNCIA ACUMULADA: É TRAÇADO MARCANDO-SE AS FREQÜÊNCIAS ACUMULADAS SOBRE PERPENDICULARES AO EIXO HORIZONTAL, LEVANTADAS NOS PONTOS CORRESPONDENTES AOS LIMITES SUPERIORES DOS INTERVALOS DE CLASSE.
MEDIDAS DE POSIÇÃO MÉDIAS MODA MEDIANA QUARTIS PERCENTIS
MÉDIA ARITMÉTICA SIMPLES MÉDIAS MÉDIA ARITMÉTICA SIMPLES DADOS NÃO AGRUPADOS, DADOS BRUTOS OU EM ROL.
MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA MÉDIAS MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA Para uma seqüência numérica X: X1,X2, ...Xn afetada pelos pesos p1, p2, ..., pn Considere X= 2,4,5 e os pesos 1,3,2, respectivamente, então, a média ponderada será
MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA Dados não – agrupados em classes. QUANDO OS DADOS ESTIVEREM AGRUPADOS NUMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA SIMPLES, USAREMOS A MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA DOS VALORES x1, x2, ..., xn E SUAS FREQÜÊNCIAS ABSOLUTAS (pesos): f1, f2,...,fN. ASSIM: ou 11
EXEMPLO 1
MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA Dados agrupados em classes. QUANDO OS DADOS ESTIVEREM AGRUPADOS EM CLASSES NUMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA, USAREMOS A MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA DOS VALORES MÉDIOS DAS CLASSES, , E SUAS FREQÜÊNCIAS ABSOLUTAS (pesos): f1, f2,...,fN. ASSIM:
EXEMPLO 2
Calcule a média aritmética dos dados tabelados. EXERCÍCIO Calcule a média aritmética dos dados tabelados.
RESOLUÇÃO
MODA É O VALOR MAIS FREQÜÊNTE DA DISTRIBUIÇÃO. O NÚMERO QUE MAIS SE REPETE UMA SEQUENCIA DE DADOS.
PARA DADOS AGRUPADOS EM CLASSES
EXERCÍCIO DETERMINE A MODA DA DISTRIBUIÇÃO
MEDIANA COLOCADOS EM ORDEM CRESCENTE, MEDIANA ( ) É O VALOR QUE DIVIDE A AMOSTRA, OU POPULAÇÃO, EM DUAS PARTES IGUAIS. ASSIM: 50% 100%
CÁLCULO DA MEDIANA – DADOS AGRUPADOS 1º PASSO: CALCULA-SE A ORDEM n/2. 2º PASSO: PELA Fac IDENTIFICA-SE A CLASSE QUE CONTÉM A MEDIANA (CLASSE Md). 3º PASSO: UTILIZA-SE A FÓRMULA:
QUARTIS OS QUARTIS DIVIDEM UM CONJUNTO DE DADOS EM QUATRO PARTES IGUAIS . ASSIM: 0% 25% 50% 75% 100% Q1 Q2 Q3 Q1= 1º QUARTIL, DEIXA 25% DOS ELEMENTOS. Q2 = 2º QUARTIL, COINCIDE COM A MEDIANA, DEIXA 50% DOS ELEMENTOS. Q3 = 3º QUARTIL, DEIXA 75% DOS ELEMENTOS.
CÁLCULO DO 1º E 3º QUATIS PARA DADOS AGRUPADOS.
DECIS DECIS SÃO OS VALORES QUE DIVIDEM A SÉRIE EM 10 PARTES IGUAIS.
O CÁLCULO DOS DECIS É DADO POR
PERCENTIS SÃO MEDIDAS QUE DIVIDEM A AMOSTRA EM 100 PARTES IGUAIS. ASSIM:
AMPLITUDE – VARIÂNCIA – DESVIO PADRÃO - COEFICIENTE DE VARIÂNCIA MEDIDAS DE DISPERSÃO AMPLITUDE – VARIÂNCIA – DESVIO PADRÃO - COEFICIENTE DE VARIÂNCIA
MEDIDAS DE DISPERSÃO AMPLITUDE TOTAL , VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO. EXEMPLO:
VARIÂNCIA PARA DADOS NÃO AGRUPADOS MEDE AS VARIAÇÕES OCORRIDAS. É CALCULADA A PARTIR DA DIFERENÇA ENTRE CADA DADO xi e a MÉDIA DO GRUPO. PARA DADOS NÃO AGRUPADOS
xi= É O PONTO MÉDIO DE CADA CLASSE PARA DADOS AGRUPADOS xi= É O PONTO MÉDIO DE CADA CLASSE
EXEMPLO (discrepância)
DESVIO PADRÃO
Caso os dados sejam de uma amostra a fórmula da VARIÂNCIA passa a ser:
... E o DESVIO PADRÃO:
COEFICIENTE DE VARIAÇÃO MEDIDA DE DISPERSÃO ÚTIL PARA COMPARAÇÃO DO GRAU DE CONCENTRAÇÃO DE DADOS EM TORNO DA MÉDIA DE SÉRIES DISTINTAS. É EXPRESSO EM PORCENTAGEM.
Exemplo: Numa empresa, o salário médio dos homens é de 4000,00 com σ= 1500,00, e o das mulheres é em média de 3000,00, com σ= 1200,00. Qual o grupo com maior dispersão salarial?
ATIVIDADE DE SALA Calcule a média aritmética das distribuições de freqüência abaixo, a variância e o desvio padrão. a) b)
Coeficiente de Pearson Coeficiente de Bowley
Exemplos Mo =2 É uma distribuição assimétrica positiva fraca Classifique, quanto a assimetria, a distribuição abaixo, segundo o coeficiente de Pearson. Mo =2 Xi fi 1 2 10 3 6 4 5 Coeficiente de Pearson É uma distribuição assimétrica positiva fraca
É uma distribuição assimétrica negativa 2) Classifique, quanto a assimetria a distribuição abaixo segundo o coeficiente de Bowley. Xi fi 0├2 2 2├4 5 4├6 12 6├8 15 8├10 1 Total=35 Q1=4,29 Q3=6,97 Md=5,75 Coeficiente de Bowley É uma distribuição assimétrica negativa
Atividade: Usando as medidas de posição: Usando o coeficiente de Bowley Classifique, quanto a simetria, a distribuição abaixo. 2) Classifique, quanto a curtose, a distribuição abaixo. Xi fi 3├5 1 5├7 2 7├9 13 9├11 3 11├13 Total=20
1) Considere o seguinte conjunto de dados: 40, 52, 55, 60,70,75,85,90,90,92,94,94,95,98,100,115,125,125. Faça o Box plots da distribuição. 2) Traçar o box plot e identificar a presença de outliers nos dados a seguir: 5,3 8,2 13,8 74,1 85,3 88,0 90,2 91,5 92,4 92,9 93,6, 94,3 94,8 94,9 95,5 95,9 96,6 97,7 98,1 99,0 101,4 103,7 106,0 113,5
Representação gráfica Distribuição de freqüências Dados ordenados Representação gráfica Distribuição de freqüências Medidas 2D 3D Outras medidas Medidas de dispersão Medidas de posição central