Relações: Produto Cartesiano Matemática Aplicada Relações: Produto Cartesiano

A importância da Matemática na Administração A administração requer muito planejamento, organização e controle. Portanto, é indispensável que o administrador tenha habilidade em lidar com números. Muitas vezes ele deverá preparar orçamentos para projetos, planejar e controlar pesquisas, além de resolver situações que envolvam cálculos estatísticos. O trabalho do administrador está diretamente ligado com a exatidão dos números, e por isso ele precisa ter domínio da matemática para ser bem sucedido. http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_153_g_2_t_1.html?open=instructions&from=topic_t_1.html

Aplicações das relações no cotidiano Ao lermos um jornal ou uma revista, diariamente nos deparamos com gráficos, tabelas e ilustrações. Estes, são instrumentos muito utilizados nos meios de comunicação. Um texto com ilustrações, é muito mais interessante, chamativo, agradável e de fácil compreensão. Não é só nos jornais ou revistas que encontramos gráficos. Os gráficos estão presentes nos exames laboratoriais, nos rótulos de produtos alimentícios, nas informações de composição química de cosméticos, nas bulas de remédios, enfim em todos os lugares. Ao interpretarmos estes gráficos, verificamos a necessidade dos conceitos de plano cartesiano. O Sistema ABO dos grupos sanguíneos é explicado pela recombinação genética dos alelos (a,b,o) e este é um bom exemplo de uma aplicação do conceito de produto cartesiano. Uma aplicação prática do conceito de relação é a discussão sobre a interação de neurônios (células nervosas do cérebro). http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_153_g_2_t_1.html?open=instructions&from=topic_t_1.html

Aplicações das relações no cotidiano (cont.) Ao relacionarmos espaço em função do tempo, número do sapato em função do tamanho dos pés, intensidade da fotossíntese realizada por uma planta em função da intensidade de luz a que ela é exposta ou pessoa em função da impressão digital, percebemos quão importantes são os conceitos de funções para compreendermos as relações entre os fenômenos físicos, biológicos, sociais... Observamos então que as aplicações de plano cartesiano, produto cartesiano, relações e funções estão presentes no nosso cotidiano. http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_153_g_2_t_1.html?open=instructions&from=topic_t_1.html

Aplicações das relações no cotidiano (cont.) Valores assumidos por uma ação numa Bolsa de Valores http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_153_g_2_t_1.html?open=instructions&from=topic_t_1.html

O Plano Cartesiano Referência histórica: Os nomes Plano Cartesiano e Produto Cartesiano são homenagens ao seu criador René Descartes (1596-1650), filósofo e matemático francês. O nome de Descartes em Latim, era Cartesius, daí vem o nome cartesiano. O plano cartesiano ortogonal é constituído por dois eixos x e y perpendiculares entre si que se cruzam na origem. O eixo horizontal é o eixo das abscissas (eixo OX) e o eixo vertical é o eixo das ordenadas (eixo OY). Associando a cada um dos eixos o conjunto de todos os números reais, obtém-se o plano cartesiano ortogonal. http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_153_g_2_t_1.html?open=instructions&from=topic_t_1.html

O Plano Cartesiano (cont.) Cada ponto P=(a,b) do plano cartesiano é formado por um par ordenado de números, indicados entre parênteses, a abscissa e a ordenada respectivamente. Este par ordenado representa as coordenadas de um ponto. O primeiro número indica a medida do deslocamento a partir da origem para a direita (se positivo) ou para a esquerda (se negativo). http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_153_g_2_t_1.html?open=instructions&from=topic_t_1.html

O Plano Cartesiano (cont.) O segundo número indica o deslocamento a partir da origem para cima (se positivo) ou para baixo (se negativo). Observe no desenho que: (a,b)≠(b,a) se a≠b. Os dois eixos dividem o plano em quatro regiões denominadas quadrantes sendo que tais eixos são retas concorrentes na origem do sistema formando um ângulo reto (90 graus). http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_153_g_2_t_1.html?open=instructions&from=topic_t_1.html

Produto Cartesiano Dados dois conjuntos A e B não vazios, definimos o produto cartesiano entre A e B, denotado por A x B, como o conjunto de todos os pares ordenados da forma (x,y) onde x pertence ao primeiro conjunto A e y pertence ao segundo conjunto B. A x B = { (x,y): xЄA e yЄB } Observe que A x B ≠ B x A, se A é não vazio ou B é não vazio. Se A=Ø ou B=Ø, por definição: A x Ø=Ø=Ø x B. Se A possui m elementos e B possui n elementos, então A x B possui m x n elementos. http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_153_g_2_t_1.html?open=instructions&from=topic_t_1.html

Produto Cartesiano (cont.) Exemplo: Dados A={a,b,c,d} e B={1,2,3}, o produto cartesiano A x B, terá 12 pares ordenados e será dado por: A x B = {(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3),(c,1),(c,2), (c,3),(d,1), (d,2),(d,3)} http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_153_g_2_t_1.html?open=instructions&from=topic_t_1.html

Relações no Plano Cartesiano Sejam A e B conjuntos não vazios. Uma relação em A x B é qualquer subconjunto R de A x B. A relação mostrada na figura ao lado é: R = { (a,3), (b,3), (c,2), (c,3), (d,2), (d,3) } Uma relação R de A em B pode ser denotada por R : A→B. http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_153_g_2_t_1.html?open=instructions&from=topic_t_1.html

Relações no Plano Cartesiano (cont.) Exemplo: Se A={1,2} e B={3,4}, o produto cartesiano é A x B={(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)} e neste caso, temos algumas relações em A x B: R1={(1,3),(1,4)} R2={(2,3),(2,4)} http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_153_g_2_t_1.html?open=instructions&from=topic_t_1.html

Domínio e Contradomínio de uma Relação As relações mais importantes são aquelas definidas sobre conjuntos de números reais e nem sempre uma relação está definida sobre todo o conjunto dos números reais. Para evitar problemas como estes, costuma-se definir uma relação R:A→B, onde A e B são subconjuntos de R, da seguinte forma: O conjunto A é o domínio da relação R, denotado por Dom(R) e B é o contradomínio da relação, denotado por CoDom(R). Dom(R) = { x Є A: existe y em B tal que (x,y) Є R} Im(R)={y Є B: existe x Є A tal que (x,y) Є R} http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_153_g_2_t_1.html?open=instructions&from=topic_t_1.html

Conjunto Imagem Em matemática, o conjunto imagem (conhecido também como campo de valores) de uma função é um subconjunto do contradomínio formado pelos valores que uma função pode chegar a tomar. É representado por f(X), Im(f), Imf ou If e é definida por: Em uma função qualquer, se o seu contradomínio é igual ao seu conjunto imagem, diz-se que esta função é sobrejetora. http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_153_g_2_t_1.html?open=instructions&from=topic_t_1.html

Diagrama de Venn Para expressar fórmulas referentes à operação correspondente entre conjuntos temos: Complementação ( ’ ), Intersecção ( ) , União ( U ). Podemos expressar, as operações entre conjuntos através dos DIAGRAMAS DE EULER-VENN (John Venn 1834-1923) que são úteis na verificação de propriedades de operações entre conjuntos, mas não devem ser considerados instrumentos de prova matemática rigorosa. http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_153_g_2_t_1.html?open=instructions&from=topic_t_1.html

Diagrama de Venn O diagrama de Venn acima pode ser interpretado como "a relação entre o conjunto A e o conjunto B no qual pode haver alguns (mas não todos) elementos em comum". A região onde os grupos se intersectam se chama intersecção. O diagrama de Euler acima pode ser interpretado como "conjunto A é um subconjunto próprio do conjunto B, mas o conjunto C não possui elementos em comum com o conjunto B nem com A. http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_153_g_2_t_1.html?open=instructions&from=topic_t_1.html

Diagrama de Venn Exercícios online: http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_153_g_2_t_1.html?open =instructions&from=topic_t_1.html http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_153_g_2_t_1.html?open=instructions&from=topic_t_1.html