Pequena introdução à obra de Iannis Xenakis Henrique Iwao graduação em música modalidade composição IA Unicamp

1. Iannis Xenakis e a música grega antiga  “O conceito pitagórico dos números dizia que as coisas são números, ou que as coisas continham números, ou que as coisas são similares a números. Essa tese (e isso em particular interessa ao músico) desenvolveu-se a partir do estudo dos intervalos musicais para obtenção da catarse órfica, porque, de acordo com Aristoxenos, os pitagóricos usavam a música para purificar a alma assim como a medicina para purificar o corpo” [1]

““““(...) Nós somos todos pitagóricos.” [1] Pitagóricos Música grega Música bizantina... Xenakis Canto gregoriano...

Gregorio Panigua - Anakrousis (contemporânea) Dhipli Zyia (1952) Procession aux Eaux Claires (1953) Concret Ph (1958) Premier Hymne Delphique (c.138 A.C.) Les Emenides (1966) Jonchaies (1977) Tracées (1987) Aristophane - Aeonaoi Nefelai ( A.C.) Gendy3 (1991) A la Memoire de Witold Lutolawski (1994) Mésomède de Crète - Hymne à la Muse (c.130 D.C.)

2. Análise macro-composicional de Achorripsis.

 Achorripsis, grego para “jatos sonoros”, foi composta em  Xenakis coloca o seguinte problema: supondo que M pontos possam aparecer com a única condição de que eles obedeçam a uma lei aleatória sem memória (isto é, cujo resultado observado até um instante dado não influencia os resultados futuros).  Admitindo que existem poucos pontos distribuídos num plano - superfície (baixa densidade), a lei (variável aleatória com distribuição) de Poisson é aplicável.  Usando essa lei, diz Xenakis, é possível obter um máximo de assimetria com um mínimo de regras.

Fases fundamentais de uma obra musical segundo o capítulo I do livro “Formalized music: thought and mathematics in composition”, de Iannis Xenakis: 1111. concepções iniciais (intuição). 2222. definição de entidades sônicas (material sonoro). 3333. definição das transformações (macro- composição). 4444. micro-composição. 5555. seqüenciamento (esquema da obra como um todo). 6666. implementação de cálculos e correções. 7777. resultado simbólico final (notação musical). 8888. realização sônica (execução da obra).

O esquema macro-composicional de Achorripsis.  Hipóteses iniciais:  “1. Num determinado espaço existem homens e instrumentos musicais. 2. Há meios de contato entre esses homens e os instrumentos que permitem a emissão de eventos sônicos raros*” [2]  *isto é: fragmentos melódicos, células musicais, aglomerações, etc, também controlados por leis aleatórias, sob a condição de que eles não ocorrem freqüentemente (com freqüência alta) durante a música (eventos sonoros esparsos no tempo).

As variáveis da matriz de vetores (esquema de macro-composição):  1. A Variável Aleatória de Poisson.  2. O parâmetro (média*) λ.  3. O número de células, colunas e linhas.  * a média é o valor esperado da função, mas não necessariamente o que mais ocorre. Ela é entendida como centro de massa – gravidade; isto é, ponto de equilíbrio da variável aleatória.  Exemplo: espera-se que, para um jogo de cara ou coroa, cara valendo 0 e coroa valendo 1, o resultado seja 0.5, ou seja, a média desse jogo é 0.5 (e no entanto 0.5 não é cara nem coroa: não é nem um resultado possível de uma jogada!).

 Colunas: intervalos de tempo (cada uma com 6.5 tempos).  Linhas: tipos de eventos sonoros.  Matriz com 28 colunas e 7 linhas; 28x7 = 196 células.  X~Poi(λ)P(X=k) = λ k e -k /k!  λ = 0.6 eventos/célula.  k = 0; 1; 2; 3; 4; 5.  e = 2,71828…  5! = 5x4x3x2x1. 0! = 1.  Poisson é usada para estimar número de eventos em determinada quantidade de tempo, especialmente quando a ocorrência desses eventos é rara (de freqüência baixa).  Xenakis calcula então a probabilidade de que exista, em uma determinada célula, um evento sonoro com densidade 0, 1, 2, 3, 4 ou 5. Ele despreza a possibilidade de valores acima de 5 porque tem probabilidade muito baixa.

 Resultados:  k=0 P(X=0) =  k=1p 1 =  k=2p 2 =  k=3p 3 =  k=4p 4 =  k=5p 5 =  Problema:  Na década de 90 a simulação de variáveis aleatórias é bastante utilizada, isto é, hoje em dia podemos simular para as 196 células quais seriam suas densidades sonoras; o resultado da simulação seria aproximadamente proporcional aos valores das probabilidades obtidos acima.  Mas Xenakis escreveu a peça em 1957! Assim foi obrigado a utilizar os valores das probabilidades como se fossem proporções fixas, isto é, teve de multiplicar cada valor de probabilidade por 196.

 Número de células com densidade k:  n 0 = x196 = 107 células com densidade 0  n 1 = x196 = 65  n 2 = x196 = 19  n 3 = x196 = 4  n 4 = x196 = 1  n 5 = x196 = 0  Para que sua peça fosse assimétrica, Xenakis deveria arrumar um jeito de tornar a disposição dos eventos sonoros (cada um com uma densidades específica) na matriz parecida com o que hoje seria o resultado de uma simulação computacional.  Ou seja, a distribuição de Poisson não deveria ser usada meramente como geradora de proporções de eventos e densidades relacionadas.  Xenakis resolve então reaplicar a distribuição de Poisson para as colunas e as linhas.

 Se existem 28 colunas e m células com densidade k, então a média de células com densidade k por coluna é igual a λ k = m/28.  É necessário reaplicar a distribuição de Poisson para cada uma das 5 densidades possíveis de eventos sonoros.  Ex: λ 1 = 65/28 = 2,32.  A probabilidade de que existam k eventos de densidade sonora 1 numa coluna é então calculada. Multiplicando o resultado por 28 temos que 3 colunas não tem evento com densidade 1, 6 colunas tem um evento com densidade 1, 7 colunas tem dois eventos de densidade 1 cada, etc...  E assim temos mais cálculos!

 Se existem 7 linhas e m células com densidade k, então a média de células com densidade k por coluna é igual a λ k = m/7.  É necessário reaplicar a distribuição de Poisson para cada uma das 5 densidades possíveis de eventos sonoros.  Ex: λ 1 = 65/7 = 9,3.  A probabilidade de que existam k eventos de densidade sonora 1 numa linha é então calculada. Multiplicando o resultado por 7 temos que 0,57 linhas tem 0 eventos de densidade 1, 0,76 linhas tem 1 evento de densidade 1, 0,89 linhas tem dois eventos de densidade 1, etc...  Aqui é interessante notar que os arredondamentos desses valores são feitos de maneira totalmente arbitrária por Xenakis.

O jogo.  Agora Xenakis deve seguir sua rede de proporções...  Ex: para eventos com densidade 3; 4 linhas não os têm, 2 linhas têm um evento, 1 linha tem dois eventos. 24 colunas não os têm, 3 colunas têm 1 evento.  Mas o quanto isso é distante dos resultados obtidos através de uma simulação computacional?  E quando é melhor usar um cálculo proporcional ao invés de uma simulação?  (temos sempre que considerar a quantidade de eventos sonoros...)

 Xenakis não segue rigorosamente os valores por ele obtidos através dos cálculos... (além de interferir nos arredondamentos)  1. “Os valores colocados na matriz não são sempre rigorosamente definidos. Dada uma média λ, eles dependem do número de linhas e colunas da matriz.Quanto maior o número de linhas e colunas, mais rigorosa será a definição. Essa é a Lei dos Grandes Números*”.  2. Certas indeterminações permitem maior liberdade artística, uma das portas que se abrem ao subjetivismo do compositor.  * na verdade, esse não é o enunciado da Lei dos Grandes Números; ocorre que, para uma matriz com mais células, são necessários menos arredondamentos nos cálculos, o que torna os resultados mais rigorosos e livres de intervenção humana.

No infinito...  Mais importante que explicar a Lei dos Grandes Números é perceber como Xenakis utiliza os valores de probabilidade que ele recebeu e os transforma em proporções. De fato, no infinito os valores de probabilidade se estabilizam em valores fixos; por exemplo, se fosse possível jogar uma moeda balanceada infinitas vezes teríamos a certeza de que metade dos resultados seria cara e metade seria coroa...  Em todo experimento real só podemos observar finitos valores assumidos por nossa variável aleatória. Quanto maior o número de observações, mais podemos dizer sobre sua natureza, e menos desvios (valores estranhos) ao nosso modelo probabilístico (uma distribuição, por exemplo) teremos.  Quanto nós críamos sons podemos querer que esses desvios se manifestem mais ou menos!

A Matriz – Esquema Macro-composicional.

3. Bibliografia.  [1] XENAKIS, I. Formalized Music: thought and mathematics in composition. New York, Pendragon Press, 1992 (pag. 202)  [2] XENAKIS, I. Formalized Music: thought and mathematics in composition. New York, Pendragon Press, 1992 (pag. 24)  [3] PANIAGUA, G. "Ancient Greek Music - notas de programa do CD Musique de la GRÈCE ANTIQUE“. Harmonia Mundi,  [4] ARSENAULT, L. "Iannis Xenakis’s Achorripsis: the Matrix Game” Computer Music Journal, M.I.T. Press, Cambridge, 26:1, (58,72),  [5] CHILDS, E. “Achorripsis: a sonification of probability distributions” Proceedings of the 2002 International Conference on Auditory Display, Kyoto, Japan, July 2-5,  [6] MOOD, A.; GRAYBILL,F.; BOES, D. Introduction to the theory os statistics. New York. McGraw-Hill inc