O método dos Volumes Finitos. 15ª aula O método dos Volumes Finitos.

Método dos volumes-finitos A equação de onde começámos é: Esta equação resulta do princípio de conservação:

Processos Taxa de acumulação: Fluxos: Advectivo: (porquê o sinal “-”)? Difusivo:

Localização das variáveis no volume de controlo: Fluxos advectivo e difusivo através das faces

Aplicando o princípio de conservação A taxa de acumulação é igual ao que entra menos o que sai, mais o que se produz menos o que se destrói, e admitindo que não há produção nem destruição, obtém-se:

Fazendo convergir o volume para zero No caso unidimensional o volume é o comprimento vezes a área vertical: Se o volume de controlo for constante no tempo e as áreas de todos os volumes forem iguais obtém-se a equação de advecção-difusão dividindo a equação anterior pelo volume e fazendo dx tender para zero: Que é a equação diferencial de Advecção-Difusão no caso 1D, válida num ponto. No caso tridimensional, com fontes e poços, para um constituinte “k” obteríamos: Que representa o princípio de conservação para um ponto.

Caso upwind com Q>0

Condição de estabilidade

Valores médios nas faces =>Diferenças Centrais

Diferenças Centrais explícitas Condições de estabilidade:

Interpretação das diferenças centrais Porque é que as diferenças centrais são instáveis sem difusão? Resp: Violam a propriedade transportiva. Um ponto fica a saber o que está abaixo através da advecção, o que é fisicamente impossível. Porque é que a difusão pode estabilizar as diferenças centrais? Resp: Porque a difusão transporta a informação para montante. No caso de a difusão ser importante a advecção transporta efectivamente para jusante coisas que foram transportadas para montante pela difusão.

Continuação Poderão as diferenças centrais explícitas ser usadas quando a advecção é dominante? Resp: Não. Nesse caso difusão transporta para montante muito menos do que a advecção transporta para jusante (Reynolds da malha) Se a difusão for dominante é preferível usar diferenças centrais ou upwind? Se a difusão for dominante as diferenças centrais são vantajosas porque têm precisão de 2ª ordem e por isso introduzem menos difusão numéricas E se o algoritmo fosse implícito? Seria o algoritmo mais estável? Resp: Sim. Nesse caso a solução seria função dos valores das variáveis no passo de tempo seguinte. Se a advecção tende a criar concentrações negativas, a difusão aumenta automaticamente para porque o gradiente de concentração aumenta. E se o método fosse upwind? Resp: nesse caso as concentração não pode ficar negativa. Em upwind a concentração fica negativa se retirarmos de uma célula mais do que lá existe para sair. Mas como em implícito o que sai é função da nova concentração, se ela ficasse negativa isso significaria que sairia uma quantidade negativa e por isso a concentração cresceria…..

Outros métodos para a advecção Upwind: Passa numa face o que está a montante. Diferenças centrais: Passa numa face a média do que está dos dois lados. E se ajustássemos um polinómio de 2ª ordem a 3 pontos? Obteríamos o método QUICK: (Quadratic Upstream Interpolation for Convective Kinematics): Tem precisão de terceira ordem. Tem mais problemas de estabilidade (em situações particulares, nomeadamente junto às fronteiras. Afinal qual é o melhor método?

Método implícito

Método Semi-implicito (Crank – Nicholson)

Condições Iniciais e de Fronteira Iniciais podem ser importantes ou não Fronteira idem. Como se impõem? Ci Ci-1 Ci+1

Condições de fronteira Difusão: Requer o cálculo dos fluxos nas células de fronteira e por isso a concentração no exterior. Se não for conhecida a melhor solução é normalmente gradiente nulo. Advecção Quando o escoamento entra no domínio transporta as propriedades do exterior. As propriedades têm que ser conhecidas.

Se as propriedades no exterior não forem conhecidas? Poderá o gradiente de concentração ser admitido como nulo? Sim, se as fontes/poços forem dominantes!

Sumário O método dos volumes finitos facilita a compreensão das consequências das hipóteses feitas para o cálculo das concentrações nas faces e para a discretização temporal. Nos métodos explícitos o método é instável quando retiramos de uma célula num passo de tempo mais do que ela contém. As diferenças centrais são equivalentes a assumirmos que na face a concentração é igual à média das concentrações das duas células adjacentes, o que viola a propriedade transportiva. O método QUICK cálcula a concentração na face ajustando um polinómio do terceiro grau a 3 pontos, um dos quais a jusante da face. Não respeita de forma absoluta a propriedade transportiva e por isso pode gerar instabilidades. Dificulta a imposição das condições aos limites. Junto às fronteiras pode ser substituído pelo upwind. O método dos volumes finitos põe em evidência a vantagem de combinar discretizações para resolver a advecção.