Propriedades dos métodos numéricos. 14ª aula Propriedades dos métodos numéricos.

Qual é o melhor método? Se o erro de truncatura fosse o único indicador seria Crank-Nicholson, com diferenças centrais! Mas não é o único. Temos também que ver a consistência com os processos que estamos a estudar. Como se faz fisicamente a Advecção (propriedade transportiva) e a Difusão? O método upwind respeita transportividade.

Difusão numérica e estabilidade de um método numérico Difusão numérica e estabilidade de um método numérico. Ilustração das hipóteses físicas violadas no cálculo.

Problema unidimensional Ci Ci-1 Ci+1

Explícito, Upwind, Cr = 1, Dif=0 Cr=(Espaço percorrido num intervalo de tempo)/(passo espacial) Cr=1, implica uma célula por passo => a aolução é exacta

Explícito, Upwind, Cr= 0.5, Dif=0 Temos difusão numérica. A mancha espalha-se. Porquê? Porque violámos a definição de concentração. Como se resolve?

O que aconteceu? t0 1 t0+Δt 0.5 t0+2Δt 0.25 t0+3Δt 0.125 0.375 1 t0+Δt 0.5 t0+2Δt 0.25 t0+3Δt 0.125 0.375 O modelo é estável: os erros que aparecem diminuem no tempo. O modelo tem difusão numérica: a concentração vai baixando apesar de a difusão física ser nula.

Explícito, Upwind, Cr=2 t0 1 t0+Δt -1 2 t0+2Δt +1 -4 4 t0+3Δt 10 -16 8 1 t0+Δt -1 2 t0+2Δt +1 -4 4 t0+3Δt 10 -16 8 Temos um modelo instável: os erros aparecem e crescem. Porquê? Num modelo explícito Cr≤1. Os coeficientes têm que ser positivos.

As instabilidades são consequências da violação de princípios físicos Quando as propriedades aumentam num instante, nos instantes seguintes também só podem aumentar. Quando Cr>1 o coeficiente de Ci fica negativo e por isso quanto maior for a concentração no instante t menor vai ser em t+dt, o que iria contra a afirmação anterior. Neste caso, durante um intervalo de tempo o volume que sai de uma célula é maior do que o que lá estava no início (Usando volumes finitos é fácil ver que isso é a causa do problema). (ver Patankar, Fluid Flow)

1D explicit central differences Courant=1 Modelo Instável. Porquê? Há um dos coeficientes que é sempre negativo. Propriedade transportiva violada. Como se resolve?

Porque é instável? Por advecção (ou por difusão) quando as propriedades aumentam num ponto, nos pontos vizinhos só podem aumentar também. Isso implica que os coeficientes que multiplicam as concentrações nos pontos vizinhos têm que ser positivos. Só adicionando difusão é que isso pode acontecer….

Condição de estabilidade para diferenças centrais explícitas Porque é que adicionando difusão o método fica estável? Porque é que excesso de difusão torna o modelo instável?

Sumário Séries de Taylor e erro de truncatura, Estabilidade e crescimento do erro, Positividade dos coeficientes, Nº de Courant e Nº de difusão. Difusão numérica, e Passo Espacial Propriedade Transportiva e Upwind, Diferenças Centrais e Reynolds da Malha, Conservação da massa. Métodos implícitos e explícitos. Será isto suficiente para percebermos o que estamos a fazer?