AS PROGRESSÕES Aceite para publicação em 22 de novembro de 2012

AS PROGRESSÕES As progressões constituem o exemplo mais simples do conceito de sucessão. As suas propriedades estudam-se desde os primórdios da história da matemática, e foram aplicadas, sobretudo, no cálculo comercial. O estudo das progressões aritméticas é paralelo ao das progressões geométricas devido às propriedades destas últimas emanarem das primeiras sem mais do que converter: somas em produtos, diferenças em quocientes, e o produto por um número natural numa potência de exponente natural. A origem das progressões, tal como para tantos outros ramos da matemática, é incerta. Não obstante, conservam-se alguns documentos que atestam a presença das progressões vários séculos antes da nossa era, pelo que não se pode atribuir a sua paternidade a nenhum matemático concreto.

AS PROGRESSÕES É conhecido o problema de calcular em quanto tempo se dobraria uma quantidade de dinheiro com um determinado juro composto, proposto pelos babilónios (2000 a.C. - 600 a.C.), o que faz pensar que conheciam de alguma maneira a fórmula do juro composto e, portanto, as progressões geométricas. No livro IX dos Elementos de Euclides aparece escrita uma fórmula, semelhante à atual, da soma dos n primeiros termos consecutivos de uma progressão geométrica. Bhaskara, matemático hindu do século XII, apresenta na sua obra mais conhecida, o Lilavati, diversos problemas sobre progressões aritméticas e geométricas.

AS PROGRESSÕES Exemplos: Considera as seguintes sequências de números: -3, 0, , , 7, , 13, … -1, 3, 7, 11, 15, ... c) 3, 6, 12, 24, 48, ... No primeiro caso a partir da informação disponível, não é clara a existência de uma regularidade nesta sequência numérica que permita escrever o termo seguinte. No segundo, a 15 seguir-se-iam 19, 23, 27... (cada termo é quatro unidades maior que o anterior). No terceiro, ao quinto termo, que é 48, seguir-se-ia 96 (cada termo é o dobro do anterior). A obtenção do termo geral de uma sucessão pode ser de uma enorme dificuldade. Não obstante, vamos a seguir estudar um tipo de sucessões em que determinar o seu termo geral é bastante simples. Para cada uma destas sequências, qual será o termo seguinte? , 4n-5 p.a. , 3 x 2 n-1 p.g.

PROGRESSÕES ARITMÉTICAS Uma progressão aritmética é uma sucessão em que cada elemento se obtém somando ao anterior um número fixo chamado razão, que se representa pela letra r. PROGRESSÕES ARITMÉTICAS Assim, se (an) é uma progressão aritmética, verifica-se que:  (r constante),

PROGRESSÕES ARITMÉTICAS Se a razão é positiva, a progressão é crescente; ou seja, cada termo é maior que o anterior. Se a razão é zero, a progressão é constante, ou seja, tem todos os seus termos iguais. Se a razão é negativa, a progressão é decrescente, ou seja, cada termo é menor que o anterior.

PROGRESSÕES ARITMÉTICAS Termo geral de uma progressão aritmética Para se obter a expressão do termo geral de uma progressão aritmética (an) basta observar que: a2= a1 + r a3 = a2 + r = (a1 + r) + r = a1 + 2.r a4 = a3 + r = (a1 + 2r) + r = a1 + 3.r a5 = a4 + r = (a1 + 3r) + r = a1 + 4.r Note-se que em todos os casos o termo corresponde à soma de duas quantidades: A primeira é sempre a1 A segunda é o produto (n - 1).r Logo, an= a1 +(n-1).r Pode-se também provar facilmente que: an= ak +(n-k).r. Expressão que permite obter a expressão do termo geral a partir de qualquer termo da progressão (não apenas a partir do primeiro).

PROGRESSÕES ARITMÉTICAS Aplicação: Escreve a expressão do termo geral das progressões aritméticas em que: 1) 2) u1 = -5 e r = ½ 3) u10 = 8 e u3 = -6 n un O 1 3 5 7

PROGRESSÕES ARITMÉTICAS Soma dos n primeiros termos consecutivos de uma progressão aritmética É muito conhecida a estória segundo a qual propuseram na escola primária a Carl Frederich Gauss (1777-1855), quando este contava somente dez anos de idade, que somasse os 100 primeiros números naturais. Perante o assombro do professor, mal este tinha acabado de ditar o problema, Gauss deu a solução: 5 050. O que este insigne matemático observou foi que a soma 1+100 era igual a 2+99, igual a 3+98, ... etc. quer dizer, só teve que dar-se conta de que contava com 50 pares de números, sendo a soma de cada par 101. Assim, limitou-se a multiplicar: 50 x 101 = 5 050. Gauss (1777-1855)

PROGRESSÕES ARITMÉTICAS Consideremos a progressão aritmética de termo geral un = 2n-3 e tomemos oito quaisquer termos consecutivos desta sucessão: Por exemplo: 7 9 11 13 15 17 19 21 28 28 28 28 Podemos calcular a soma dos oito termos considerados, fazendo: S8 = 28 x 4 ou seja S8 = (7+21) x 8/2

PROGRESSÕES ARITMÉTICAS Esta propriedade continua a ser válida, se tomarmos um número ímpar de termos. Por exemplo: 9 11 13 15 17 19 21 30 30 30 S7 = (9+21) x 3 + 15 = 90 + 15 = 105 o que equivale a: S7 = (9+21) x 7/2 = 30 x 3,5 = 105

PROGRESSÕES ARITMÉTICAS A soma dos n primeiros termos consecutivos de uma progressão aritmética é dada por Sendo n o número de termos considerados e a1 e an o primeiro e o último desses termos. ou Aplicação: Calcula a soma dos termos compreendidos entre u15 e u41 da progressão aritmética de termo geral

Bibliografia: Novo Espaço Matemática A -11º ano Autores: Belmiro Costa | Ermelinda Rodrigues Infinito 11 Autores: Ana Maria Brito Jorge| Conceição Barroso Alves | Cristina Cruchinho | Gabriela Fonseca | Judite Barbedo | Manuela Simões Material publicado sob Licença Creative Commons da Casa das Ciências Maria José Vaz da Costa