Introdução à Lógica Matemática Lógica e Sistemas Difusos (Fuzzy) João Marques Salomão Curso de Engenharia Elétrica Coordenadoria de Eletrotécnica CEFET-ES Introdução a Lógica Matemática - 2007/1 – p. 1/24

Histórico e Introdução à lógica Fuzzy Loft A. Zadeh (Univ. Berkeley - Califórnia) em 1965 introduziu elementos de uma teoria chamado-os de “Conjuntos Fuzzy”. Na década de 70 Zadeh iniciou a extensão de seus elementos teóricos para o que passou a chamar “lógica fuzzy”. A “lógica fuzzy” apresentou um grande avanço nos anos 80, em especial no Japão. É uma técnica baseada em graus de verdade: - os valores 0 (F) e 1(V) ficam nas extremidades. - inclui os vários niveis/estados de verdade entre 0 e 1. A Teoria de conjuntos Fuzzy permite especificar quão bem um objeto satisfaz uma descrição vaga.

Características da Lógica Fuzzy 1/2 Lógica convencional: sim ou não, verdadeiro ou falso, tudo ou nada. Lógica Fuzzy (difusa ou nebulosa): Refletem o que as pessoas pensam Tenta modelar o nosso senso de palavras, tomada de decisão ou senso comum. Trabalha com uma grande variedade de informações vagas e incertas, as quais podem ser traduzidas por expressões do tipo: a maioria, mais ou menos, talvez, etc.

Características da Lógica Fuzzy 2/2 Antes do surgimento da lógica fuzzy informações vagas não tinham como ser processadas A lógica fuzzy contém como casos especiais não só os sistemas lógicos binários, como também os multi-valorados A lógica fuzzy vem sendo aplicada em diversas áreas, tais como: Análise de dados; Construção de sistemas especialistas; Controle e otimização de processos; Reconhecimento de padrões, etc. Ela á baseada em um conjunto de princípios matemáticos para a representação do conhecimento baseado no grau de pertinência dos termos

Conjuntos Fuzzy (1/4) Um conjunto fuzzy permite a representação de conceitos qualitativos definidos por fronteiras difusas, como as que surgem na linguagem natural. Conjuntos difusos (fuzzy) permitem a passagem da pertinência de um elemento para a não-pertinência de forma gradual, em contraposição à forma abrupta dos conjuntos usuais. Um conjunto fuzzy (Af) é entendido como uma função de pertinência (fA) de domínio V (universo de discurso), no intervalo de números reais [0,1]. fA (x) associa a cada xV um número real no intervalo [0,1] cujo valor indica o grau de pertinência de x em V.

Conjuntos Fuzzy (2/4) Conceitos Iniciais: Um conjunto fuzzy (Af) é determinado por uma função, então ele é representado por um conjunto de pares ordenados onde o primeiro elemento pertence a V (universo de discurso), e o segundo indica seu grau pertinência em Af: Exemplo: Seja: V = {x | x são pessoas com idade entre 0 e 100 anos. Af = conjunto das idades de pessoas jovens. então o grau pertinência pode ser da forma:

Conjuntos Fuzzy (3/4) Conjunto Clássico Conjunto Fuzzy Um conjunto fuzzy é totalmente caracterizado por sua função de pertinência (MF). A função de pertinência: Reflete o conhecimento que se tem em relação a intensidade com que o objeto pertence ao conjunto fuzzy. Métodos para adquirir esse conhecimento do especialista Ex: Perguntar ao especialista se vários elementos pertencem a um conjunto Conjuntos com limites imprecisos Exemplo: A = Conjunto de pessoas altas Altura(m) 1.75 1.0 Conjunto Clássico Função de pertinência Altura (m) 1.60 .5 .9 Conjunto Fuzzy .8 1.70

Conjuntos Fuzzy (4/4) Conceitos Básicos (pag. 193): Sejam dois conjuntos fuzzy Af e Bf em V, então: 1. Eles são iguais (Af =f Bf) se: (x  V) fA (x) = fB (x). 2. Bf é um subconjunto de Af (Bf está contido em Af ou Bf f Af ) se: (x  V) fB (x) ≤ fA (x). 3. O conjunto fuzzy vazio (ou zero) é dado pela função constante zero: f = 0f =def f(x) = 0, (x  V). O conjunto fuzzy universo (ou unidade) é dado pela função constante um: 1f = V =def fV(x) = 1, (x  V) . Grau de Pertinência 0.2 0.4 0.6 0.8 1 B está contido em A A B

Operações com Conjuntos Fuzzy (1/5) União (pag. 194): a união entre dois conjuntos fuzzy A e B é um outro conjunto fuzzy A f B, tal que, para cada x  V, o seu grau de pertinência no conjunto união é o valor máximo (supremo) entre fA (x) e fB (x). Isto é: Exemplo: Sejam - V = um conjunto de pontos (conjunto universo) - A e B conjuntos contidos em V fA fB A f B

Operações com Conjuntos Fuzzy (2/5) A Intersecção entre dois conjuntos fuzzy A e B é um outro conjunto fuzzy A f B, tal que, para cada x  V, o seu grau de pertinência é o valor mínimo (ínfimo) entre fA (x) e fB (x). Isto é: Exemplo: Sejam - V = um conjunto de pontos (conjunto universo) - A e B conjuntos contidos em V fB fA A f B

Operações com Conjuntos Fuzzy (3/5) Exemplos (União/Interseção, pag. 194): 1 -Sejam V = {x1, x2, x3, x4} A = { (x1, 0.1); (x2, 1); (x3, 0.8); (x4, 0)} B = { (x1, 0.7); (x2, 0.4); (x3, 0.9); (x4, 0.1)} União Fuzzy: A f B = { (x1, 0.7); (x2, 1); (x3, 0.9); (x4, 0.1)} Interseção Fuzzy: A f B = { (x1, 0.1); (x2, 0.4), (x3, 0.8), (x4, 0)} 2 –Outra forma de representar: Sejam V = {a, b, c, d, e} A = {1/a, 0.7/b, 0.3/c, 0/d, 0.9/e} B = {0.2/a, 0.9/b, 0.4/c, 1/d, 0.4/e} União Fuzzy: A f B = {1/a, 0.9/b, 0.4/c, 1/d, 0.9/e} Interseção Fuzzy: A f B = {0.2/a, 0.7/b, 0.3/c, 0/d, 0.4/e}

Operações com Conjuntos Fuzzy (4/5) fA ~A O complemento (pag. 195/196): de um conjunto fuzzy A (~A) no domínio V é determinado por: A diferença entre dois conjuntos fuzzy A e B (A –f B) no domínio V é definida por: Exemplo: Sejam V = {x1, x2, x3, x4}; A = { (x1, 0.1); (x2, 1), (x3, 0.8), (x4, 0)} e B = { (x1, 0.7); (x2, 0.4), (x3, 0.9), (x4, 0.1)} Complemento: ~A = { (x1, 0.9); (x2, 0), (x3, 0.2), (x4, 1)}; ~B = { (x1, 0.3); (x2, 0.6), (x3, 0.1), (x4, 0.9)} Diferença: A -f B = { (x1, 0); (x2, 0.6), (x3, 0), (x4, 0)}

Operações com Conjuntos Fuzzy (5/5) Resumo das operações: (a) Conjuntos Fuzzy A e B (b) Conjunto Fuzzy ~A (não “A”) 0.2 0.4 0.6 0.8 1 A B (c) Conjunto Fuzzy A f B ("A ou B“) (d) Conjunto Fuzzy A f B ("A e B“)

Álgebra dos conjuntos Fuzzy (1/4) As propriedades padrões Reflexiva, Comutativa, Idempotência Associativa, Distributiva, etc. são também válidas para os conjuntos fuzzy (ver demonstrações na pag. 197): Reflexiva: A f A, pois fAf A = fA fA = fA Anti-simétrica: se A f B e B f A  fA= fB Transitiva: se A f B e B f C A f C Princípio da dualidade: “todo resultado obtido dos axiomas anteriores são válidos se trocarmos f por f e os elementos f por V e vice-versa”. Idempotência: A f A = A e A f A = A Comutativa: A f B = B f A e A f B = B f A

Álgebra dos conjuntos Fuzzy (2/4) Associativa: A f (B f C) = (A f B) f C = A f B f C A f (B f C) = (A f B) f C = A f B f C Absorção: A f (A f B) = A e A f (A  f C)=A Distributiva: A f (B f C) = (A f B) f (A f C) A f (B f C) = (A f B) f (A f C) Exceção: ~A f A  f e ~A f A  X (ver demonstrações na pag. 198).

Álgebra dos conjuntos Fuzzy (3/4) Leis de De Morgan: 1) (A f B)’ = A’ f B’. (pág. 200) 2) (A f B)’ = A’ f B’ . O produto algébrico de dois conjuntos fuzzy A e B (A.B) é definido pelas funçoes de pertinências de ambos como: fAB = fA .fB A soma algébrica fuzzy (A+B) é definida pelas funçoes de pertinências de ambos como: fA+B = fA + fB- fAB A diferença absoluta fuzzy |A-B| é definida pelas funçoes de pertinências de ambos como: f|A-B| = |fB- fA | Ex: Dados: A = { (x1, 0.9); (x2, 0.3); (x3, 0.1)} e B = { (x1, 1); (x2, 0.5); (x3, 0.8)}, determine A.B, A+B e |A-B| (ver demonstrações na pag. 200/2001).

Relações com conjuntos Fuzzy 1/2 O produto cartesiano fuzzy entre o conjunto A com domínio U e o conjunto B com domínio V é definido por: Ex: Sejam U = {a, b} e V = {1, 2, 3} os domínios dos conjuntos fuzzy A = { (a, 0.5); (b, 0.8))} e B = { (1, 0.2); (2, 1); (3, 0.6)}, determine A Xf B. Sol: A Xf B = { ((a, 1), 0.2); ((a, 2), 0.5); ((a, 3), 0.5); ((b, 1), 0.2); ((b, 2), 0.8); ((b,3), 0.6)}. (ver pag. 202).

Relações com conjuntos Fuzzy 2/2 Relação Fuzzy Rf de A em B é um subconjunto de A Xf B onde um fR associa a cada par (x,y) o seu grau de pertinência fR(x,y) em Rf. Assim, fR(x,y) ≤ fA (x) fB (x). Suporte de A é o conjunto dado por: Domínio da relação Rf : Imagem da relação Rf : Exemplo da pag. 203.

Variáveis Lingüísticas (1/2) Uma variável lingüística possui valores que não são números, mas sim palavras ou frases na linguagem natural. Ela é caracterizada por uma quíntupla (N, Gr, V, T(N), S(N)), onde: N é o nome da variável; Gr é uma regra sintática que permite gerar valores lingüísticos; U é o universo de discurso; T(N) é o conjunto dos termos em N; S(N) é uma regra semântica que associa a cada termo x de N gerado por V o seu significado S(x) dentro do intervalo [0, 1]. Exemplo: T(idade) = {muito jovem, jovem, meia idade, velho, muito velho...} e V = [0, 100] em anos.

Variáveis Lingüísticas (2/2) No exemplo anterior, as funções de pertinência (ver gráfico da página 208) poderiam ser:

Modificadores (Hedges) Termos que são usados para modificar a forma dos conjuntos fuzzy Muito, algo mais ou menos, um pouco São universais Compostos de nome e fórmula Muito: Extremamente Muito muito Um pouco Mais ou menos Indeed (exatamente)

Regras Fuzzy (1/2) As variáveis ligüísticas permitem que a linguagem da modelagem fuzzy expresse a semântica usada por especialistas. Exemplo: If projeto.duração is não muito LONGO then risco is ligeiramente reduzido. Consistem de: Um conjunto de condições IF (usando conectivos and, or ou not) uma conclusão THEN uma conclusão opcional ELSE Exemplo: Velocidade [0,220] Baixa, Média e alta Se velocidade > 100 Então DPP é 30 metros Se velocidade < 40 Então DPP é 10 metros Se velocidade é alta Então DPP é longa Se velocidade é baixa Então DPP é curta

Regras Fuzzy (2/2) E o raciocínio como deve ser encadeado? Avaliar o(s) antecedente(s) Aplicar o resultado ao conseqüente As regras são ativadas parcialmente, dependendo do antecedente Exemplo: Se a altura é alta, o peso é pesado (altura =1.85, peso = ?) 1.85 .5 .75 .1 Alto 90 Pesado

FIM