O Problema da Alocação de Tarefas UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE O Problema da Alocação de Tarefas Álgebra Linear Por: Viviane Liria Professora: Ana Isabel

O Problema da Alocação de Tarefas O que é alocação de tarefas? Problema de distribuição de um número n de instalações para um número n de tarefas, buscando um custo mínimo. Para este problema há exatamente n! maneiras diferentes de alocar as tarefas. Uma alocação com custo mínimo é denominada alocação ótima. Custo – unidade utilizada para definir a tarefa a ser otimizada. Pode ser reais, quilômetros, horas, etc. Cij – custo de alocar a i-ésima tarefa à j-ésima instalação. C11 C12 ... C1n C21 C22 C2n Cn1 Cn2 Cnn C = Matriz-custo

O Problema da Alocação de Tarefas Exemplo1 Uma faculdade pretende instalar ar-condicionado em três de seus prédios num período de uma semana e convida três firmas para submeter orçamentos para cada um dos prédios. Na tabela 1 aparecem os orçamentos em unidades de 1000 reais. Prédio 1 Prédio 2 Prédio 3 Firma 1 53 96 37 Firma 2 47 87 41 Firma 3 60 92 36

O Problema da Alocação de Tarefas Exemplo1 A matriz custo para este problema é a matriz 3x3: 53 96 37 47 87 41 60 92 36 C = Matriz-custo Como só há seis (3!) alocações possíveis, podemos resolver este problema calculando o custo de cada uma delas e calculamos sua soma:

O Problema da Alocação de Tarefas 53 96 37 47 87 41 60 92 36 53 + 87 + 36 = 176 53 + 92 + 41 = 186 47 + 96 + 36 = 179 47 + 92 + 37 = 176 60 + 96 + 41 = 197 60 + 87 + 37 = 184 O resultado nos dá duas opções de alocação de tarefas com custo mínimo.

Suponhamos que a matriz custo de um problema seja: Alocação de Tarefas O Método Húngaro No exemplo anterior conseguimos rapidamente encontrar uma solução, pois a matriz-custo só permitia 6 formas diferentes de alocação. Porém, quando encontramos um problema mais complexo, o método utilizado torna-se impraticável. Vamos descrever, agora um método mais prático para resolução de problemas maiores: Suponhamos que a matriz custo de um problema seja: 5 3 4 2 6 7 9 Note que todas as entradas são não-negativas e que ela contém muitos zeros. Nesta matriz é possível encontrar facilmente uma alocação composta apenas por zero. Esta alocação deve ser ótima, pois seu custo é zero.

Alocação de Tarefas O Método Húngaro Teorema: Se um número é somado ou subtraído de todas as entradas de uma linha ou coluna de uma matriz-custo, então uma alocação de tarefas ótima para a matriz-custo resultante também é uma alocação ótima para a matriz-custo original.

Alocação de Tarefas O Método Húngaro Exemplo 2: Matriz-custo: 90 75 80 35 85 55 65 125 95 105 45 110 115

Alocação de Tarefas O Método Húngaro 90 75 80 35 85 55 65 125 95 105 45 110 115 Passo 1: Subtraímos a menor entrada de cada linha 15 5 50 20 30 35 65 70 Passo 2: As três primeiras colunas da matriz já contém entradas zero, portanto, só precisamos subtrair da quarta coluna.

Alocação de Tarefas O Método Húngaro 15 50 20 25 35 5 10 65 35 5 30 55 50 20 25 35 5 10 65 Passo 3: Riscamos as entradas zero utilizando um número mínimos de traços. 35 5 30 55 10 45 Passo 4: Como o número de traços ainda é inferior a 4, subtraímos a menor entrada da matriz de todas as entradas não riscadas e somamos a todas as entradas riscadas por 2. Passo 5: Repetiremos o passo 3.

Encontramos, portanto, duas opções para alocação de tarefas. O Método Húngaro 35 5 30 55 10 45 Passo 3: Como as entradas zero não podem ser riscadas com menos de 4 traços, a matriz encontrada deve conter uma alocação ótima de zeros. Encontramos, portanto, duas opções para alocação de tarefas.

Alocação de Tarefas O Método Húngaro Restrições para resolução através do método húngaro: O problema deve ser de minimização de custo; A matriz custo deve ser quadrada

O Problema de Alocação de Tarefas de Carlos Alberto Parreira Kaká Renato Adriano Juninho P. Cicinho Zé Roberto Roque Jr. Lúcio Marcos Ronaldo G. Robinho ? Emerson

1 4 2 5 3 Roque Jr. Lúcio Marcos Ronaldo G. Robinho Kaká Renato Adriano Juninho P. Cicinho Zé Roberto Emerson

15 7 21 14 18 8 23 16 9 20 19 13 17 5 Posição 1 Posição 2 Posição 3 Quantos gols fez a seleção nos últimos dez jogos em que cada um desses jogadores jogou nessas posições? Kaká Renato Adriano Juninho P. Cicinho Zé Roberto Posição 1 15 7 21 14 Posição 2 18 8 23 16 Posição 3 9 20 19 Posição 4 13 Posição 5 17 5 Posição 6

Alocação de Tarefas 15 7 21 14 18 8 23 16 9 20 19 13 17 5 Como temos 6 jogadores e apenas cinco posições, vamos inserir uma linha com todas as entradas zero que representará o banco de reservas. -15 -7 -21 -14 -18 -8 -23 -16 -9 -20 -19 -13 -17 -5 Para transformar o problema de maximização em um problema de minimização, multiplicaremos todas as entradas por (-1).

Alocação de Tarefas -15 -7 -21 -14 -18 -8 -23 -16 -9 -20 -19 -13 -17 -5 Nessa matriz, subtrai-se a menor entrada de cada linha. 6 14 7 5 15 16 12 1 2 4 Na matriz obtida, não é preciso subtrair a menor entrada nas colunas pois já temos pelo menos uma entrada zero em cada.

Alocação de Tarefas 6 14 7 5 15 16 12 1 2 4 Agora, temos que riscar todas as entradas zero utilizando o menor número de traços possível. Como o número de traços utilizados foi menor do que 6, devemos subtrair a menor entrada de todas as entradas não riscadas e somar a menor entrada a todas as entradas riscadas por 2 traços. 4 12 5 3 13 14 10 1 16 2 Na matriz obtida, vamos repetir os passos anteriores.

Alocação de Tarefas 1 9 2 5 10 14 7 4 13 3 Como não é possível riscar todas as entradas zero com menos de 6 traços, essa matriz deve conter uma alocação ótima de zeros. Obtivemos, portanto o resultado do problema.

As entradas zero representam o melhor desempenho de cada jogador. Alocação de Tarefas As entradas zero representam o melhor desempenho de cada jogador. Kaká Renato Adriano Juninho P. Cicinho Zé Roberto Posição 1 1 9 2 5 Posição 2 10 14 Posição 3 7 Posição 4 4 Posição 5 13 3 Posição 6

Alocação de Tarefas X X X X X X X X X Posição 1 Posição 2 Posição 3 Quantos gols fez a seleção nos últimos dez jogos em que cada um desses jogadores jogou nessas posições? Kaká Renato Adriano Juninho P. Cicinho Zé Roberto Posição 1 Posição 2 Posição 3 Posição 4 Posição 5 Posição 6 X Adriano Zé Roberto X X Kaká Adriano Zé Roberto X Cicinho Zé Roberto X X X Kaká Adriano Juninho P. Zé Roberto Cicinho X X Kaká Renato Juninho P.

Alocação de Tarefas Posição 1 Posição 2 Posição 3 Posição 4 Posição 5 Quantos gols fez a seleção nos últimos dez jogos em que cada um desses jogadores jogou nessas posições? Kaká Renato Adriano Juninho P. Cicinho Zé Roberto Posição 1 Posição 2 Posição 3 Posição 4 Posição 5 Posição 6 Adriano Kaká Zé Roberto Juninho P. Cicinho Renato

Renato Adriano Juninho P. Roque Jr. Robinho Marcos Kaká Emerson Lúcio Ronaldo G. Cicinho Zé Roberto