Campus de Caraguatatuba Matemática Discreta 2 – MD 2 Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de São Paulo - IFSP Campus de Caraguatatuba Tecnólogo em Análise e Desenvolvimento de Sistemas 20 Semestre de 2013 Matemática Discreta 2 – MD 2 Prof. Lineu Mialaret Aula 4: Combinatória (2)

Introdução (1) Seja o seguinte problema: A última parte de seu número de telefone possui quatro dígitos. Quantos dessas seqüências de quatro dígitos existem, se um mesmo dígito não pode ser repetido? Nesse tipo de problema, a seqüência de dígitos 1259 é diferente da seqüência 5912, já que a ordem dos dígitos é importante. Seja M = {a1,a2,...,am} um conjunto com m elementos. Denomina-se por arranjo dos m elementos, tomados r a r, toda r-upla {a1,a2,a3,... ar}, com r  m, formada com elementos de M, todos distintos. Um arranjo ordenado e distinto de elementos de M é chamado de permutação (observar que não há repetição de elementos).

Introdução (2) n r-uplas de 3 elementos 6 1 1,2,6 4 1,6,2 ... 6,1,2 2 5 3 Arranjo de n elementos tomados r a r Arranjo de 6 elementos tomados 3 a 3

Introdução (3) No caso das seqüências de quatro dígitos do telefone, cada uma delas é uma permutação de 4 objetos distintos escolhidos de um conjunto de 10 objetos distintos (os dígitos). Quantas permutações existem? Lembrando-se do princípio da multiplicação, existem 10 escolhas para o primeiro dígito, 9 escolhas para o segundo e assim por diante, totalizando 10 x 9 x 8 x 7 = 5040 permutações. O número de permutações de r objetos distintos escolhidos entre n objetos distintos é simbolizado por P(n,r). Para o cenário acima, pode-se expressar a solução do problema como P(10,4) = 5040. E para o exemplo da transparência anterior?

Permutação (1) Pode-se estabelecer uma fórmula para P(n,r). Definição: Para isso usa-se a função fatorial. Definição: Para um inteiro positivo n qualquer, n fatorial ou n! é definido como o produto dos termos n(n - 1)(n - 2) ...1. 0! = 1, por definição. (1! também = 1). Da definição de n!, sabe-se que n! = n(n - 1)! = n(n - 1)(n - 2)! = n(n - 1)(n - 2)(n - 3)! = ... 4! = 4(4 - 1)! = 4(3)(4 - 2)! = 4(3)(2)(4 - 3)! = = 4(3)(2)(1) = ?

Permutação (2) Por exemplo, caso se tenha um total de 10 elementos, por ex. S = {1,2,…,10}, uma permutação de três elementos desse conjunto é (2,3,1). Nesse caso, n = 10 e r = 3. Então de quantas maneiras isso pode ser completamente feito? Para o primeiro membro de todas as permutações possíveis se escolhe um elemento de todos os n possíveis. Uma vez já utilizado um dos n elementos, para o segundo membro da permutação há (n − 1) elementos para escolher desse conjunto. O terceiro membro pode ser preenchido de (n − 2) maneiras, devido ao uso dos que o antecederam. Esse padrão continua até que tenham sido utilizados os r membros na permutação. Isso significa que o último membro pode ser preenchido de (n − r + 1) maneiras.

Inserção da última coluna Permutação (3) __ __ __ 3_ __ __ 3_ 7_ __ 3_ 7_ 9_ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 1, 2, 4, 5, 6, 8, 9, 10 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 1, 2, 4, 5, 6, 8, 9, 10 1, 2, 4, 5, 6, 8, 10 n = 10 (n -1) = 9 (n – 2) ou n = 10 r = 3 n – r + 1 = 8 Inserção da última coluna

Permutação (4) Em síntese, se encontra um total de n(n − 1)(n − 2) … (n − r + 1) permutações diferentes dos r objetos, retirados do grupo dos n objetos. Caso se denote esse número por P(n,r) e utilizando a notação fatorial, pode-se escrever = n(n - 1)...(n - r +1) = = n(n - 1)...(n - r +1)(n - r)! = n! (n – r)! (n – r)! = P(n,r)

Permutação (5) Assim, P(n,r) pode ser dado pela fórmula P(n,r) = n!/(n - r)!, para 0  r  n P(n,r) significa permutar n objetos em r objetos. No cenário dos 4 dígitos, usando a fórmula de permutação, tem-se P(10,4) = 10x9x8x7= = 10x9x8x7x6x5x4x3x2x1 = 10! = 10! 6x5x4x3x2x1 = 6! = (10 - 4)! Ex.: P(7,3) = 7!/(7-3)! = 7!/4! = P(7,3) = (7x6x5x4x3x2x1)/(4x3x2x1) = 210.

Permutação (6) Há três casos especiais no cálculo de P(n,r): P(n,n). Para P(n,0): P(n,0) = n!/(n - 0)! = n!/n! = 1. Existe apenas um arranjo ordenado de zero objetos, o conjunto . Para P(n,1): P(n,1) = n!/(n - 1)! = n. Existem n arranjos ordenados de um objeto.

Permutação (7) Para P(n,n): P(n,1) = n!/(n - n)! = n!/0! = n!. Existem n! arranjos ordenados de n objetos.

Permutação (8) Exemplo 1: Qual o número de permutações de três elementos obtidas com o conjunto S = {a,b,c}? O número de permutações de 3 objetos, a, b, e c é dado por P(3,3) = 3! = 6. As permutações são: abc, acb, bac, bca, cab, cba.

Permutação (9) Exemplo 2: Quantas palavras de 3 letras (que podem não fazer sentido) são formadas a partir da palavra “compilar”, se nenhuma letra pode ser repetida? Neste caso, a ordem das letras importa, e se deseja saber o número de permutações de 3 objetos distintos retirados de um conjunto de 8 objetos. P(n,r) = P(8,3) = 8!/(8 - 3)! = 8!/5!= 336. Obs.: Poderia ter sido usado o princípio da multiplicação para a solução desse problema. Qual a solução usando esse princípio?

Permutação (10) Exercício 1: Dez atletas competem num evento olímpico. São dadas medalhas de ouro, prata e bronze. De quantas maneiras podem ser dadas as medalhas aos atletas?

Permutação (11) Exercício 1: Dez atletas competem num evento olímpico. São dadas medalha de ouro, prata e bronze. De quantas maneiras podem ser dadas as medalhas aos atletas? Resposta: Neste tipo de problema, a ordem é importante, ou seja, a dado 3 atletas, A, B e C, a premiação A(ouro), B(prata) e C(bronze) é diferente da premiação C(ouro), A(prata) e B(bronze). Se quer então o número de arranjos ordenados de 3 objetos de um conjunto de 10 objetos, ou seja, P(10,3). P(10,3) = 10!/(10 - 3)! = 10!/7! = 7!(8 x 9 x 10)/7! = 720.

Permutação (12) Exercício 2: De quantas maneiras se pode selecionar um presidente e um vice-presidente de um grupo de 20 pessoas?

Permutação (13) Exercício 2: De quantas maneiras se pode selecionar um presidente e um vice-presidente de um grupo de 20 pessoas? Resposta: Neste problema deseja-se selecionar 2 pessoas distintas de um conjunto de 20 pessoas. Deseja-se saber o valor de P(20,2). P(20,2) = 20!/(20 – 2)! = 20!/18! = (19 X 20)18!/18! = 380.

Permutação (14) Exercício 3: De quantas maneiras seis pessoas podem se sentar em uma fileira de seis cadeiras?

Permutação (15) Exercício 3: De quantas maneiras seis pessoas podem se sentar em uma fileira de seis cadeiras? Resposta:?

Combinação (1) Em certas ocasiões deseja-se selecionar r objetos de um conjunto de n objetos, mas sem considerar a ordem da sequência gerada, ou seja, a sequência 123 é a mesma que 321. Neste caso está-se contando o número de combinações de r objetos distintos escolhidos entre n objetos distintos, ou seja, o número de subconjuntos de r elementos de um conjunto de n elementos. Lembrando-se do princípio da multiplicação, o número de permutações de r objetos distintos escolhidos num conjunto de n objetos distintos P(n,r) é o produto do número de escolhas possíveis de r objetos (combinações), simbolizado aqui por C(n,r), pelo número de maneiras de ordenar os objetos escolhidos (permutações de r objetos em r), simbolizado aqui por r!.

Maneiras de se ordenar 3 elementos em um subconjunto de 3 elementos Combinação (2) n r-uplas de 3 elementos 6 1 1,2,6 4 2,6,1 ... 2 6,1,2 5 3 Número de permutações de r (03) objetos distintos escolhidos num conjunto de n (06) objetos distintos P(n,r) = Combinações de 3 elementos entre si (não importa a ordem dos elementos) multiplicado pelas Maneiras de se ordenar 3 elementos em um subconjunto de 3 elementos

P(6,3) = 6!/(6-3)! = 6!/3! = 4x5x6=120 permutações Combinação (3) n r-uplas de 3 elementos 6 1 1,2,6 4 2,6,1 ... 2 6,1,2 5 3 Número de permutações de r (03) objetos distintos escolhidos num conjunto de n (06) objetos distintos P(n,r) = P(6,3) = 6!/(6-3)! = 6!/3! = 4x5x6=120 permutações

Maneiras de se ordenar 3 elementos em um subconjunto de 3 elementos Combinação (4) n r-uplas de 3 elementos 6 1 1,2,6 4 2,6,1 ... 2 6,1,2 5 3 Maneiras de se ordenar 3 elementos em um subconjunto de 3 elementos 3 2 1 = 6 maneiras

Maneiras de se ordenar 3 elementos em um subconjunto de 3 elementos Combinação (5) n r-uplas de 3 elementos 6 1 1,2,6 4 2,6,1 ... 2 6,1,2 5 3 Número de permutações de r (03) objetos distintos escolhidos num conjunto de n (06) objetos distintos P(n,r) 120 = Combinações de 3 elementos entre si (não importa a ordem dos elementos) x multiplicado pelas Maneiras de se ordenar 3 elementos em um subconjunto de 3 elementos 6

Combinação (6) Dessa forma, tem-se que: P(n,r) = C(n,r) x r! ou C(n,r) = P(n,r)/r! = n!/(r!(n - r)!), para 0  r  n. C(n,r) significa combinar n objetos em r objetos. C(n,r) representa o número de subconjuntos de tamanho r que podem ser obtidos de um conjunto de n elementos. Outras notações utilizadas para C(n,r): nCr, Crn, Ex.:O valor de C(7,3) é C(7,3) = 7!/(3!(7 - 3)!) = 7!/(3! x 4!) = 35.

Combinação (7) Casos especiais para C(n,r): Para C(n,0): Para C(n,1): C(n,n). Para C(n,0): C(n,0) = n!/(0!(n - 0)!) = n!/(1(n)!) = 1. Isso reflete o fato de que há uma única maneira de escolher zero objetos entre n objetos, escolher o conjunto . Para C(n,1): C(n,1) = n!/(1!(n - 1)!) = n(n - 1)!/(n - 1)! = n. Isso reflete o fato de que há n maneiras de selecionar um objeto entre n objetos.

Combinação (8) Para C(n,n): C(n,n) = n!/(n!(n - n)!) = n!/(n!(0!)) = 1. Isso reflete o fato de que há uma única maneira de escolher n objetos entre n objetos, escolher todos os objetos.

Combinação (9) Exemplo 3: Quantas mãos de pôquer, com 5 cartas cada, podem ser distribuídas com um baralho de 52 cartas? Neste caso a ordem não é importante, já que o se deseja saber é quais cartas ficaram em cada mão. Quer se calcular o número de maneiras de escolher 5 objetos dentre 52, ou seja, C(52,5). C(52,5) = 52!/5!(52 - 5)! = 52!/5!47! = 2598960.

Combinação (10) Exemplo 4: Dez atletas competem em um evento olímpico, e três deles serão declarados vencedores. De quantas maneiras podem ser escolhidos os vencedores? Neste caso, a ordem de escolha dos atletas não é importante, de modo que se deve escolher simplesmente 3 objetos dentre um conjunto de 10 objetos, ou seja, C(10,3). C(10,3) = 10!/3!(10 - 3)! = 10!/3!7! = 120.

Combinação (11) Exercício 4: De quantas maneiras pode-se escolher uma comissão de 3 pessoas de um grupo de 12 pessoas?

Combinação (12) Exercício 4: De quantas maneiras pode-se escolher uma comissão de 3 pessoas de um grupo de 12 pessoas? Resposta:?

Combinação (13) Exercício 5: Uma comissão de 8 alunos deve ser escolhida em um grupo contendo 19 alunos do primeiro ano e 34 alunos do segundo ano. De quantas maneiras pode-se selecionar 3 alunos do primeiro ano e 5 alunos do segundo ano? De quantas maneiras pode-se selecionar uma comissão contendo exatamente um aluno do primeiro ano?

Combinação (14) Exercício 5: Uma comissão de 8 alunos deve ser escolhida em um grupo contendo 19 alunos do primeiro ano e 34 alunos do segundo ano. De quantas maneiras pode-se selecionar 3 alunos do primeiro ano e 5 alunos do segundo ano? De quantas maneiras pode-se selecionar uma comissão contendo exatamente um aluno do primeiro ano? Resposta a): Como a ordem dos indivíduos escolhidos é irrelevante, esse é um problema de combinação. Há uma seqüência de duas tarefas: selecionar alunos do primeiro ano e depois escolher alunos do segundo ano. Deve-se usar o princípio da multiplicação.

Combinação (15) Resposta b): ? Como existem C(19,3) modos de se escolher um aluno do primeiro ano e C(34,5) maneiras de escolher um aluno do segundo ano, a resposta é C(19,3) x C(34,5) = (19!/3!16!) x (34!/5!29!) = 969 x 278256. Resposta b): ?

Combinação (16) Exercício 6: A Lotofácil é um tipo de loteria onde o jogador escolhe 15 dezenas entre 25 dezenas possíveis. De quantas maneiras pode-se escolher as 15 dezenas?

Combinação (17) Exercício 6: A Lotofácil é um tipo de loteria onde o jogador escolhe 15 dezenas entre 25 dezenas possíveis. De quantas maneiras pode-se escolher as 15 dezenas? Resposta: Como a ordem das dezenas escolhidas é irrelevante, esse é um problema de combinação. Existem C(25,15) maneiras de escolher 15 dezenas num conjunto de 25 dezenas. C(25,15) = 25!/(25-15)!15! = 3.268.760 combinações de 15 dezenas. As chances de acertar as 15 dezenas são 1/ 3.268.760 = ?

Combinação (18) Exercício 7: A Lotofácil também premia com 14 dezenas que o jogador escolhe dentre as 25 dezenas possíveis (lembrando que as 14 dezenas são na realidade obtidas das 15 dezenas premiadas). De quantas maneiras pode-se escolher as 14 dezenas premiadas? E quais são as chances de se acertar 14 pontos? Resposta: Como a ordem das dezenas escolhidas é irrelevante, esse é um problema de combinação. Existem C(15,14) maneiras de escolher 14 dezenas premiadas num conjunto de 15 dezenas premiadas. C(15,14) = 15!/(15-14)!14! = 15 combinações de 14 dezenas.

Combinação (19) Como se tem 14 dezenas premiadas, mas se joga com 15 dezenas, temos que escolher a dezena não premiada das 10 dezenas não premiadas que sobram (quando se escolhe as 15 dezenas das 25 para se jogar). Logo, se tem 15 combinações de 14 dezenas multiplicadas por C(10,1) = 15 x 10!/(10-1)!1! = 15 X 10 = 150 combinações premiadas de 14 dezenas. Para se saber as chances, é só dividir o número de combinações de 14 dezenas premiadas pelo total de combinações de 15 dezenas. Logo, as chances de se ganhar um sub-prêmio de 14 dezenas são 150/ 3.268.760 = 1/21791.

Combinação (20) Exercício 7: A Lotofácil também premia com 11 dezenas que o jogador escolhe dentre as 25 dezenas possíveis (lembrando que as 11 dezenas são na realidade obtidas das 15 dezenas premiadas). De quantas maneiras pode-se escolher as 11 dezenas premiadas? E quais são as chances de se acertar 11 pontos? Resposta:

Permitindo Repetição (1) Há cenários onde deve-se tratar com permutações e combinações envolvendo objetos repetidos. Por exemplo, seja a palavra MISSISSIPI. Nessa palavra há 4 objetos (letras) repetidos, ou seja, tem-se MIS1S2IS3S4IPI, onde S1, S2, S3 e S4 referem-se ao mesmo objeto (letra). Caso se deseje calcular o número de permutações distintas que podem ser feitas com as letras que formam a palavra MISSISSIPI, a resposta não será 10!, pois os 10 caracteres da palavra não são distintos. Isso significa que o número 10! conta alguns arranjos mais de uma vez (MIS1S2IS3S4IPI e MIS2S1IS3S4IPI, por exemplo.)

Permitindo Repetição (2) Seja uma seqüência (arranjo) qualquer das letras da palavra MISSISSIPI. Os quatro caracteres S ocupam determinadas posições na seqüência. Rearrumando esses caracteres S nessas posições obtém-se a mesma cadeia, logo a seqüência tem 4! cadeias de caracteres iguais. Para evitar contar a mesma cadeia mais de uma vez, deve-se dividir 10! por 4!, para se retirar todas as maneiras de se permutar os caracteres S na mesma posição. De modo análogo, tem que se dividir também por 4! por causa das letras I. Logo, o número de permutações distintas desses n objetos é 10!/4!4! = 5x6x7x8x9x10/4!

Permitindo Repetição (3) Definição: Supondo que há n objetos dos quais um conjunto de n1 são indistinguíveis entre si (são repetidos), um outro conjunto de n2 objetos são também indistinguíveis entre si, e assim por diante até um conjunto de nk objetos que também são indistinguíveis entre si. O número de permutações distintas desses n objetos é n!/(n1! x n2! x ... x nk!).

Permitindo Repetição (4) Exercício 6: Quantas permutações distintas das letras da palavra MONGOOSES existem?

Permitindo Repetição (5) Exercício 6: Quantas permutações distintas das letras da palavra MONGOOSES existem? Resposta:?

Permitindo Repetição (6) As fórmulas apresentadas para permutação, P(n,r), e combinação, C(n,r) supõem que se seleciona r objetos dentre n objetos disponíveis, usando-se cada objeto uma só vez. Logo r  n. Entretanto, pode-se supor que os n objetos estão disponíveis para se usar quantas vezes forem necessárias, ou seja, que há repetição na escolha de objetos. Pode-se construir palavras usando as 26 letras do alfabeto, e as palavras podem ter qualquer tamanho, usando repetidamente as letras. Ou pode-se falar em permutações e combinações de r objetos entre n objetos, mas com a possibilidade de repetição, o valor de r pode ser maior que n, ou seja, r  n.

Permitindo Repetição (7) Contar o número de permutações com repetições de r objetos entre n objetos distintos é fácil. Tem-se n escolhas para o primeiro objeto, e como se permite repetição, n escolhas para o segundo objeto, n escolhas para o terceiro e assim por diante. Logo o número de permutações com repetições de r objetos escolhidos dentre n objetos distintos é nr.

Permitindo Repetição (8) Exercício 7: Quantas palavras de 3 letras pode-se formar com as 26 letras do alfabeto, sendo permitida a repetição de letras? Resposta:?

Permitindo Repetição (9) Para se contar o número de combinações com repetições de r objetos entre n objetos distintos, usa-se a fórmula C(r + n -1,r). C(r + n - 1,r) = (r + n - 1)/(r!(r + n -1 – r)!) = = (r + n - 1)!/(r!(n - 1)!).

Permitindo Repetição (10) Exemplo 5: Um joalheiro, ao projetar um broche, decidiu usar cinco pedras preciosas escolhidas entre diamantes, rubis e esmeraldas. De quantas maneiras diferentes podem ser escolhidas as pedras, admitindo-se que há repetição de pedras. Este é um exemplo de combinação com repetição. Logo, tem-se r = 5 (número de objetos repetidos escolhidos) e n = 3 (número de objetos distintos) C(r + n - 1,r) = (r + n - 1)!/(r!(n - 1)!) = (5 + 3 -1)!/(5!2!) = 7!/(5!2!)

Permitindo Repetição (11) Exercício 8: Seis crianças escolhem um pirulito cada entre uma seleção de pirulitos vermelhos, amarelos e verdes. De quantas maneiras isso pode ser feito? Resposta:?

Permitindo Repetição (12) Sintetizando: