Laudo Barbosa (07 de Novembro, 2006) Centro Brasileiro de Pesquisas Físicas (CBPF) Minicurso – Cristalografia e Difração de Raios-X Segunda aula: Interações de Raios-x com a Matéria Laudo Barbosa (07 de Novembro, 2006)

Plano de apresentação Espalhamento Thomson, Efeito Compton, Efeito Fotoelétrico Espalhamento de raios-x por uma, duas e n partículas Difração de raios-x por um arranjo linear de partículas (Condições de Laue, Lei de Bragg) Difração por um cristal

Espalhamento Uma possibilidade Outra possibilidade p1 p2 p1 p2 Há diversas possibilidades de interação entre partículas (colisão elástica, colisão inelástica, fusão, fissão, desintegração... ) Cada interação tem uma probabilidade de ocorrência A probabilidade depende, em geral, da energia e das características de cada partícula envolvida na interação A probabilidade específica para uma interação é chamada Seção de Choque O resultado efetivo das interações é naturalmente relacionado com a Seção de Choque NOTA: na descrição física mais rigorosa, não se fala mais em campos, pois o próprio campo é composto por partículas. Também não se calculam valores exatos, somente probabilidades

Raios-X (interação de fóton com elétron) Espalhamento Thomson ( = “clássico”) Ef  E Processo análogo Ef E O campo elétromagnético (fóton) leva o elétron a oscilar em sua órbita A oscilação implica aceleração/desaceleração Elétrons acelerados emitem radiação A radiação emitida tem a mesma frequência da incidente (coerente)

Raios-X (interação de fóton com elétron) Espalhamento Compton Ef >> E λ2 > λ1 Ef E λ1 A energia do fóton é muito maior que a energia de ligação do elétron Portanto, é como se o elétron estivesse “livre” Ocorre colisão inelástica O elétron adquire energia, o fóton perde energia

Raios-X (interação de fóton com elétron) Efeito fotoelétrico Ef > E Ef E A energia do fóton é apenas maior que a energia de ligação do elétron O elétron adquire (absorve) a energia do fóton Com o excesso de energia, o elétron se desprende do átomo O fóton desaparece

Produção de Par elétron-pósitron Produção de pares Produção de Par elétron-pósitron Ef > mec2 (512keV) Ef A energia do fóton é suficiente para “materializar” um elétron e um pósitron O núcleo do átomo adquire momento de recuo O fóton desaparece (aniquilação)

Interação de fótons com a matéria Resumo Compartivo das seções de choque http://physics.nist.gov/PhysRefData/Xcom/Text/XCOM.html Para a difração de raios-x, o efeito relevante é o espalhamento coerente (Thomson)

Espalhamento (coerente) por uma partícula Conforme já foi mostrado, o campo elétrico se exprime como uma soma infinita (integral) de termos: Cada um dos termos se refere a um comprimento de onda específico, e contribui com amplitude F = F(k,) Consideremos o caso de uma onda monocromática, de amplitude constante Podemos calcular o espalhamento da onda Yo por uma partícula carregada (elétron)

Espalhamento (coerente) por uma partícula Pergunta-se: qual é a amplitude Y da onda espalhada devido à incidência de Yo sobre um elétron ? 2 So ^ S D O P Encontra-se: A amplitude da onda espalhada depende do ângulo e cai com 1/D A intensidade [  |Y|2 ] da onda espalhada cai com 1/D2 A onda espalhada chega ao ponto P depois de um intervalo de tempo D/c A onda espalhada é defasada por um fator αs relativamente à onda incidente

Diferença de caminho óptico: Espalhamento (coerente) por duas partículas Pergunta-se: qual é a amplitude Y da onda espalhada devido à incidência de Yo sobre dois elétrons ? 2 So ^ S D O2 P O1 O2 O1 So ^ r S So ^ S O2 O1 Diferença de caminho óptico: Encontra-se: Como r << D  O ângulo de espalhamento é o mesmo para as duas partículas

Espalhamento (coerente) por n partículas Por extensão deste raciocínio, podemos calcular o espalhamento devido a várias partículas, não necessariamente idênticas. O único que muda é o termo referente à amplitude de espalhamento para cada partícula, . As contribuições individuais de cada partícula se somam: A intensidade do espalhamento é o que efetivamente se mede. Nesta medida estão “embutidas” as informações sobre estrutura rj. Idealmente, uma medida complementar deveria prover a informação sobre a fase, para se chegar à disposição espacial das partículas (“problema da fase”)

Difração por um arranjo linear de partículas Porquê “Difração” ? Como o espalhamento é coerente, cada centro espalhador (elétron, partícula) atua como re-emissor da onda incidente. Num dado ponto de observação, as contribuições de cada centro re-emissor se somam (interferem) A interferência pode ser construtiva ou destrutiva O fenômeno é chamado de difração, em alusão ao que ocorre com as ondas.

n partículas regularmente espaçadas 1 n 2  So S n.a << D Tomamos a expressão genérica, para o espalhamento de n partículas, com rj = j.a Os termos do somatório estão em progressão geométrica, de razão e2ias

n partículas regularmente espaçadas A intensidade do espalhamento numa dada direção é dada por: Para um número muito grande de partículas, fn(x) só é significativa quando x é um número inteiro

Condição de Laue A condição para que a intensidade difratada seja significativa é: Intensidade x (*) Lembra a Lei de Bragg

Difração por um cristal Um cristal é, por definição, uma rede de centros espalhadores, distribuídos regularmente num arranjo periódico sobre as três direções espaciais Portanto, a posição de cada um dos centros espalhadores de um cristal pode ser especificada por: A mesma análise usada no caso unidimensional se aplica, estendida a três dimensões. Chegamos a uma expressão que envolve o produto de três somatórios:

Difração por um cristal Em vez de apenas uma, temos, para o cristal, três “Condições de Laue”: Existe um vetor que, substituindo s, satisfaz simultaneamente as três condições Portanto, as condições de Laue se reduzem a:

Difração por um cristal Verifica-se que o vetor de rede recíproca é normal ao plano hu+kv+lw=1 Verifica-se que o módulo deste vetor é 1/dhkl, onde dhkl é a distância entre o plano e a origem dhkl é também a distância entre planos paralelos a este e adjacentes: hu+kv+lw=n, n inteiro u w v 1/w 1/u 1/v dhkl Tomando o valor absoluto dos dois vetores, obtemos: 2 S/λ So /λ s Lei de Bragg

Outra maneira de se deduzir a Lei de Bragg Família de planos d  A diferença de caminho óptico para o feixe refletido é: 2dsen Nas direções em que a diferença de caminho óptico é múltiplo de λ tem-se interferência construtiva