2.5 INFERÊNCIAS SOBRE A DIFERENÇA NAS MÉDIAS, COMPARAÇÕES EMPARELHADAS

2.5.1 O problema da comparação emparelhada/pareada Exemplo: Considere uma máquina de teste de resistência que pressiona uma vareta com uma ponta fina em um metal com uma força conhecida. Medindo o comprimento da depressão causada pela vareta, a resistência do metal é determinada. Dois tipos de vareta estão disponíveis para a máquina e, apesar da variabilidade das medidas feitas pelos dois tipos de vareta parecerem ser a mesma, suspeita-se que uma vareta produz leituras de resistência média diferente da outra.

2.5.1 O problema da comparação emparelhada Um experimento pode ser realizado da seguinte forma: SELECIONE aleatoriamente n peças do metal. TESTE metade dessas peças com a vareta tipo 1 e, a outra metade, com a vareta tipo 2. Designe cada peça a uma vareta de forma aleatória. Esse é um planejamento completamente aleatorizado. Portanto, a resistência média das duas amostras pode ser comparada via teste-t para duas amostras.

2.5.1 O problema da comparação emparelhada Uma pequena reflexão revelará uma séria desvantagem do experimento completamente aleatorizado para esse problema. Suponha que as espécies de metal não são exatamente homogêneas e os resultados da análise poderão ser afetados por essa fonte de variação (ruído) que não é de interesse no estudo. Essa falta de homogeneidade contribuirá para a variabilidade das medidas de resistência e tenderá a inflacionar a variância do erro experimental, tornando assim mais difícil detectar uma real diferença entre as resistências às varetas.

2.5.1 O problema da comparação emparelhada plano experimental alternativo Suponha que cada peça é grande o suficiente tal que duas determinações de resistência sejam possíveis. O plano alternativo consiste em dividir cada peça em duas partes, e então, aleatoriamente, designar uma vareta para cada uma das partes. A ordem na qual as varetas seriam testadas para uma particular peça, também seria aleatória.

Exemplo: Dados de resistência peça Vareta_1 Vareta_2 1 7 6 2 3 5 4 8 9 10 Suponha a realização desse experimento com 10 peças. (dados na tabela ao lado). O modelo que descreve esses dados pode ser escrito na forma:

Exemplo: Dados de resistência - modelo

Exemplo: Dados de resistência - modelo Observe que se calculamos as diferenças emparelhadas o valor esperado dessa diferença é: Ou seja, podemos fazer inferência sobre a diferença na média das leituras de resistência das duas varetas μ1- μ2 fazendo inferência sobre a média das diferenças μd . Observe que o efeito adicional das peças se anula quando as observações estão emparelhadas dessa forma.

Exemplo: Dados de resistência - teste Observe que aqui o teste da hipótese de que as médias são iguais é equivalente ao teste da hipótese de que Ou seja, nesse caso, caímos no problema de um teste t para uma amostra, se olhamos as diferenças individuais como as observações independentes.

Exemplo: Dados de resistência - teste Nesse caso calculamos a média e variância amostrais dos dados, para depois calcular o valor da estatística t. Sob a hipótese nula, a estatística de teste tem distribuição t-de-Student com n-1 graus de liberdade tal que a região crítica do teste bilateral é dada por

Exemplo: Dados de resistência - teste O p-valor também pode ser facilmente obtido, calculando-se Exemplo de saída do R: One Sample t-test t= 0.2641, df = 9, p-value = 0.7976 alternative hypothesis: true mean is not equal to 0 95 percent confidence interval: -0.7564389 0.9564389 sample estimates: mean of x 0.1

Vantagens do plano de comparação emparelhada Esse tipo de plano ilustra o princípio de blocagem. De fato, ele é um caso especial de um experimento mais geral chamado experimento em blocos aleatorizado. O termo bloco refere-se a unidades experimentais relativamente homogêneas. (Nesse exemplo, as peças de metal são os blocos). Os blocos representam uma restrição sobre aleatorização completa, porque as combinações de tratamento somente são aleatorizadas dentro de cada bloco. (Cap. 4) Apesar de terem sido feitas 2n observações, somente n-1 graus de liberdade estão disponiveis para a estatistica t. (A medida que cresce o número de graus de liberdade, o teste t torna-se mais sensível.)

Vantagens do plano de comparação emparelhada Com blocagem ou pareamento, efetivamente “perde-se” n-1 graus de liberdade, mas espera-se um ganho num conhecimento melhor da situação, eliminando-se fonte de variabilidade adicional ( a diferença entre espécies nesse caso.) Podemos obter uma medida da qualidade da informação produzida do planejamento emparelhado comparando-se o desvio-padrão das diferenças (Sd) com o desvio padrão combinado, sob a hipótese de variâncias iguais (Sp). Nesse exemplo, Sd=1,20 e Sp=2,32.

Vantagens do plano de comparação emparelhada Geralmente, se não introduzimos a estratégia de blocos ou pareamento quando isso é necessário Sp2 será maior que Sd2 . Se pareamos as observações, é fácil mostrar que Sd2 é um estimador não viesado da variancia das diferenças djsob o modelo considerado. Porém, se não fazemos isso e tratamos as observações como duas amostras independentes, Sp2 será um estimador viesado da variância.

Vantagens do plano de comparação emparelhada De fato, supondo que ambas as variâncias são iguais, é possível mostrar que Ou seja, os efeitos de bloco, βj ‘s, inflacionam a estimativa da variância. Isso explica porque a blocagem é uma técnica de planejamento que visa a redução do ruído.

Intervalos de confiança para a diferença 1-2 Usando dados pareados tem-se Usando a análise supondo duas amostras independentes tem-se:

O intervalo de confiança sob observações pareadas é muito mais estreito que o sob amostras independentes. Blocagem nem sempre é a melhor estratégia de planejamento. Se a variabilidade dentro dos blocos é a mesma variabilidade entre blocos, a variância da diferença das médias amostrais será a mesma sem olhar a estratégia usada. De fato, blocagem sob essas condições seria uma escolha ruim de planejamento, pois resultaria na perda de n-1 graus de liberdade e acabaria levando a um intervalo mais largo. (Capítulo 4)

2.6 Inferência sobre variâncias na normal - revisão Do teorema fundamental da Inferência na normal, temos que

2.6 Inferência sobre variâncias na normal - revisão Assim, se a hipótese nula for verdadeira, segue que: e a região crítica do teste de nível de significância pode ser dada por

2.6 Inferência sobre variâncias na normal - revisão Um intervalo de confiança de 100(1-α)% para 2 é dado por

2.6 Comparação de variâncias Sob a hipótese nula, a razão das variâncias amostrais tem distribuição F com n1 -1 e n2 -1 graus de liberdade e uma região crítica para o teste de nível α de significância é dada por

Exercícios sugeridos do Capítulo 2 3,4,6,7,10,19,22,25,27,31,32,33,39 e 40 (sétima edição)