ALGORITMOS NA ENGENHARIA DE PROCESSOS (EQE 489)

MÉTODO DA BISSEÇÃO

Estabelecer xi, xs,  (tolerância) Calcular fi em xi Calcular fs em xs BISS f (x) f(x) ALGORITMO Estabelecer xi, xs,  (tolerância) fs Calcular fi em xi Calcular fs em xs xi REPETIR x x = (xi + xs)/2 fi f xs x Calcular f em x Se Sinal (f) = Sinal (fi): Então atualizar : xi = x : fi = f Senão atualizar : xs = x : fs = f ATÉ xs - xi   f(x) xs fs SE ABS(fi) < ABS(fs) ENTÃO Solução = xi SENÃO Solução = xs x f xi fi x

Exemplo: x1 x2* + ln x1 = 0 f = x1 x2* + ln x1 Se Sinal (f) = Sinal (fi): Então atualizar : xi = x : fi = f Estabelecer xi, xs,  (tolerância) Calcular fi em xi Calcular fs em xs REPETIR x = (xi + xs)/2 Calcular f em x Senão atualizar : xs = x : fs = f ATÉ xs - xi   Exemplo: x1 x2* + ln x1 = 0 f = x1 x2* + ln x1 x2* = 2 : xi = 0 : xs = 1:  = 0,1 xi fi x f xs fs  0,00005 -11,51 1 2 1 0,5 0,307 0,00005 -11,51 0,25 -0,88 0,5 0,307 0,5 0,25 -0,88 0,375 -0,231 0,5 0,307 0,25 0,375 -0,231 0,4375 0,048 0,5 0,307 0,125 0,375 -0,231 0,4375 0,048 0,0625 Solução para  = 0,1 : x = 0,4375 f = 0,048

EFICIÊNCIA DO MÉTODO Nm : número de cálculos da função, no meio do intervalo, necessário para alcançar o intervalo  Nt : número total de cálculos da função para alcançar o intervalo  Como o método se inicia com o cálculo da função nos limites inferior e superior, então: Nt = Nm + 2

 = 0,5Nm ln  = Nm ln 0,5 Nt = 2 + ln  / ln 0,5 Nt = 2 – 1,4 ln  10% :  = 0,1 N = 5,3  Nt = 6 1% :  = 0,01 N = 8,6  Nt = 9 xi fi x f xs fs  0,00005 -11,51 1 2 1 0,5 0,307 0,00005 -11,51 0,25 -0,88 0,5 0,307 0,5 0,25 -0,88 0,375 -0,231 0,5 0,307 0,25 0,375 -0,231 0,4375 0,048 0,5 0,307 0,125 0,375 -0,231 0,4375 0,048 0,0625 Solução para  = 0,1 : x = 0,4375 f = 0,048

MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO DIRETA

Método da Substituição Direta Um método típico Método da Substituição Direta Se a incógnita aparecer em mais de termo da equação, ela é explicitada parcialmente: f(xi ) = 0  xi = F(xi) Exemplo F(x1) x1 = - (1/ x2*) ln x1 f(x1) x1 x2* + ln x1 = 0 F(x1) x1 = e - x1 x2*

A solução é o valor de xi em que F(xi) = xi . f(xi ) = 0  xi = F(xi) A solução é o valor de xi em que F(xi) = xi . F(x) x 0,2 0,2

F(x1) = e - x1 x2* (x2* = 2 : x1 inicial = 0,5) x F  0,5 0,367 0,264 0,5 0,367 0,264 0,367 0,479 0,302 0,479 0,383 0,199 0,383 0,464 0,210 0,464 0,395 0,149 x 1 3 2 F(x) Solução: x = 0,4263

Estabelecer xinicial,  (tolerância) ALGORITMO Estabelecer xinicial,  (tolerância) F = xinicial REPETIR x = F Calcular a Função F em x ATÉ Convergir xsolução = F Convergir = |(F-x)/x| <  (erro relativo) Como dar a partida ?

ALGORITMO DE ORDENAÇÃO DE EQUAÇÕES

Algoritmo de Ordenação de Equações Enquanto houver equações com incógnita única (a) atribuir (vincular) essa incógnita à respectiva equação. (b) colocar a equação no primeira posição disponível na Sequencia de Cálculo. (c) remover a variável (X na vertical). Enquanto houver equações Enquanto houver variáveis de frequência unitária (a) atribuir (vincular) essa variável à respectiva equação. (b) colocar a equação no última posição disponível na Seqüência de Cálculo. (c) remover a equação (X na horizontal). Se ainda houver equações (ciclo!) (a) selecionar uma equação que contenha pelo menos uma variável de freqüência igual à menor freqüência dentre todas as variáveis (Final). (b) colocar essa equação na última posição disponível na Seqüência de Cálculo. (c ) remover equação (X na horizontal).

SIMULAÇÃO DE PROCESSOS COMPLEXOS

Corrente 1: única conhecida Processos Complexos Corrente 1: única conhecida 1 2 3 4 5 6 7 8 1* 9 10 11 12 13 14 Abrir C3 REPETIR Simular E3 (C4,C5) Simular E1 (C2) Abrir C8 REPETIR Simular E6 (C10,C11) Simular E4 (C6,C7 ) Simular E7 (C9, C12) Simular E5 (C8) ATÉ Convergir C8 Simular E8 (C13, C14) Simular E2 (C3) ATÉ Convergir C3

ALGORITMO DA SEÇÃO ÁUREA

Algoritmo da Seção Áurea Iniciar Repetir Eliminar Região Atualizar Delta Se Convergiu Então Finalizar Colocar Novo Ponto Convergiu Delta  Tolerância

ALGORITMO DE HOOKE & JEEVES

ALGORITMO Estabelecer um incremento e uma tolerância para cada variável Escolher uma Base Repetir Explorar a vizinhança da Base (em busca da direção provável do ótimo) Se houve Sucesso em alguma direção Então: Progredir (na direção provável) até haver um Insucesso Senão (proximidade do ótimo): Senão: reduzir os incrementos Se Chegou ao Ótimo Então: Finalizar

MÉTODO HEURÍSTICO PARA SÍNTESE DE REDES DE TROCADORES DE CALOR CRITÉRIO RPS PARA A SELAÇÃO DAS CORRENTES

Se TSQ - TEF* < DTmin então limitar TSQ = TEF* + DTmin ALGORITMO Enquanto houver trocas viáveis, ou seja: To(Q) > To(F) Selecionar um par de correntes (QMTO x FMTO ou QmTO x FmTO) Fixar TEQ* = To(Q) e TEF* = To(F); Metas provisórias (temperaturas de destino) : TSQ = Td(Q) e TSF = Td(F) TEQ* = ToQ TEF*=ToF TSF = TdF ? TSQ = TdQ? Se TEQ* - TSF < DTmin então limitar TSF = TEQ* - DTmin Se TSQ - TEF* < DTmin então limitar TSQ = TEF* + DTmin TEQ* TEF* TSF = TEQ* - 10 TSQ? TEQ* TEF* TSF TSQ = TEF* + 10

Calcular Oferta e Demanda Com as metas ajustadas TEQ* TEF* TSF = TEQ* - 10 TSQ? TSF TSQ = TEF* + 10 Calcular Oferta e Demanda Adotar a troca máxima: Q = Min (Oferta, Demanda). Se Q = Oferta então confirmar TSQ e calcular TSF. Se Q = Demanda, então confirmar TSF e calcular TSQ. TEQ* TEF* TSF TSQ calcular TEQ* TEF* TSF calcular TSQ Atualizar a Tabela