LÓGICA MATEMÁTICA OPERAÇÕES LÓGICAS SOBRE PROPOSIÇÕES Prof. Thiago Pereira Rique <thiagorique2011@gmail.com>

Agenda Negação Conjunção Disjunção Disjunção exclusiva Condicional Bicondicional

NEGAÇÃO (~) Definição “não p”: ~p Chama-se negação de uma proposição p a proposição representada por “não p”, cujo valor lógico é a verdade (V) quando p é falsa e a falsidade (F) quando p é verdadeira. “não p”: ~p Valor lógico da negação (tabela-verdade) ~V = F, ~F = V V(~p) = ~V(p)

NEGAÇÃO (~) Exemplos: “Não”, “não é verdade que”, “é falso que”. p: 2 + 3 = 5 (V) e ~p: 2 + 3 ≠ 5 (F) V(~p) = ~V(p) = ~V = F q: Roma é a capital da França (F) e ~q: Roma não é a capital da França (V) V(~r) = ~V(r) = ~F = V “Não”, “não é verdade que”, “é falso que”. q: Carlos é mecânico. ~q: Não é verdade que Carlos é mecânico. ~q: É falso que Carlos é mecânico. ~q: Carlos não é mecânico.

NEGAÇÃO (~) “Todos os homens são elegantes” “Nenhum homem é elegante” Negação: “Nem todos os homens são elegantes” “Nenhum homem é elegante” Negação: “Algum homem é elegante”

CONJUNÇÃO (˄) Definição “p e q”: “p ˄ q” Chama-se conjunção de duas proposições p e q a proposição representada por “p e q”, cujo valor lógico é a verdade (V) quando as proposições p e q são ambas verdadeiras e a falsidade (F) nos demais casos. “p e q”: “p ˄ q” Valor lógico da conjunção (tabela-verdade) V ˄ V = V, V ˄ F = F, F ˄ V = F, F ˄ F = F V(p ˄ q) = V(p) ˄ V(q)

CONJUNÇÃO (˄) Exemplos: p: A neve é branca (V) q: 2 < 5 (V) p ˄ q: A neve é branca e 2 < 5 (V) V(p ˄ q) = V(p) ˄ V(q) = V ˄ V = V p: O enxofre é verde (F) q: 7 é um número primo (V) p ˄ q: O enxofre é verde e 7 é um número primo (F) V(p ˄ q) = V(p) ˄ V(q) = F ˄ V = F p: Π > 4 (F) q: senΠ/2 = 0 (F) p ˄ q: Π > 4 e senΠ/2 = 0 (F) V(p ˄ q) = V(p) ˄ V(q) = F ˄ F = F

DISJUNÇÃO (˅) Definição “p ou q”: “p ˅ q” Chama-se disjunção de duas proposições p e q a proposição representada por “p ou q”, cujo valor lógico é a verdade (V) quando ao menos uma das proposições p e q é verdadeira e a falsidade (F) quando as proposições p e q são ambas falsas. “p ou q”: “p ˅ q” Valor lógico da disjunção (tabela-verdade) V ˅ V = V, V ˅ F = V, F ˅ V = V, F ˅ F = F V(p ˅ q) = V(p) ˅ V(q)

DISJUNÇÃO (˅) Exemplos: p: Paris é a capital da França (V) q: 9 – 4 = 5 (V) p ˅ q: Paris é a capital da França ou 9 – 4 = 5 (V) V(p ˅ q) = V(p) ˅ V(q) = V ˅ V = V p: Camões escreveu os Lusíadas (V) q: Π = 3 (F) p ˅ q: Camões escreveu os Lusíadas ou Π = 3 (V) V(p ˅ q) = V(p) ˅ V(q) = V ˅ F = V

DISJUNÇÃO EXCLUSIVA ( ˅ ) Definição Chama-se disjunção exclusiva de duas proposições p e q a proposição representada simbolicamente por “p ˅ q”, que se lê: “ou p ou q” ou “p ou q, mas não ambos”, cujo valor lógico é a verdade (V) somente quando p é verdadeira ou q é verdadeira, mas não quando p e q são ambas verdadeiras, e a falsidade (F) quando p e q são ambas verdadeiras ou ambas falsas. Valor lógico da disjunção exclusiva (tabela- verdade) V ˅ V = F, V ˅ F = V, F ˅ V = V, F ˅ F = F V(p ˅ q) = V(p) ˅ V(q)

Condicional ( → ) Definição “se p então q”: “p → q” p = antecedente Chama-se proposição condicional uma proposição representada por “se p então q”, cujo valor lógico é a falsidade (F) no caso em que p é verdadeira e q é falsa e a verdade (V) nos demais casos. “se p então q”: “p → q” p = antecedente q = consequente → = símbolo de implicação Valor lógico da condicional (tabela-verdade) V → V = V, V → F = F, F → V = V, F → F = V V(p → q) = V(p) → V(q)

Condicional ( → ) Ex: NOTA: p: 2 + 3 = 5 (V) q: Π é um número real (V) p → q: Se 2 + 3 = 5, então Π é um número real (V) V(p → q) = V(p) → V(q) = V → V = V p: O mês de maio tem 31 dias (V) q: A Terra é plana (F) p → q: Se o mês de maio tem 31 dias, então a Terra é plana (F) V(p → q) = V(p) → V(q) = V → F = F NOTA: Uma condicional p → q não afirma que o consequente q se deduz ou é consequência do antecedente p.

Bicondicional ( ↔ ) Definição “p se e somente se q”: “p ↔ q” Chama-se proposição bicondicional uma proposição representada por “p se e somente se q”, cujo valor lógico é a verdade (V) quando p e q são ambas verdadeiras ou ambas falsas, e a falsidade (F) nos demais casos. “p se e somente se q”: “p ↔ q” Valor lógico da bicondicional (tabela-verdade) V ↔ V = V, V ↔ F = F, F ↔ V = F, F ↔ F = V V(p ↔ q) = V(p) ↔ V(q) Uma bicondicional é verdadeira somente quando também são verdadeiras as duas condicionais: p→q e q→p.

Bicondicional ( ↔ ) Ex: p: Roma fica na Europa (V) q: A neve é branca (V) p ↔ q: Roma fica na Europa se e somente se a neve é branca (V) V(p ↔ q) = V(p) ↔ V(q) = V ↔ V = V p: A Terra é plana (F) q: 2.5 é um número inteiro (F) p ↔ q: A Terra é plana se e somente se 2.5 é um número inteiro (V) V(p ↔ q) = V(p) ↔ V(q) = F ↔ F = V