Ciências da Natureza e suas Energia potencial gravitacional Tecnologias - Física Ensino Médio, 1º Ano Energia potencial gravitacional

Sumário 1. Introdução 2. Energia potencial gravitacional 3. Aplicações FÍSICA, 10 Ano do Ensino Médio Energia potencial gravitacional Sumário 1. Introdução 2. Energia potencial gravitacional 3. Aplicações 3.1 Velocidade de escape 3.2 Marés 4. É hora de exercitar...

FÍSICA, 10 Ano do Ensino Médio Energia potencial gravitacional 1. Introdução Na parte inicial do curso de mecânica, vimos como determinar a expressão da energia potencial gravitacional de uma partícula devido à sua interação com a terra. Vamos relembrar: Considere um bloco de massa m que está suspenso por um fio preso ao teto. A distância do bloco ao solo vale h, e a distância até uma mesa que está logo abaixo vale d. A mesa tem uma altura h0 em relação ao solo. Vejamos a ilustração...

FÍSICA, 10 Ano do Ensino Médio Energia potencial gravitacional p d h0 h O bloco tem capacidade de realizar trabalho, ou seja, tem energia armazenada devida à sua posição em relação à mesa e ao solo.

FÍSICA, 10 Ano do Ensino Médio Energia potencial gravitacional Vamos calcular o trabalho que o peso do bloco pode realizar ao cair, ao longo do deslocamento, cujo módulo será medido pela altura h. Se a origem do referencial for a superfície da mesa, o módulo do deslocamento será d = h – h0. Sendo o módulo da força F = P = mg, com mesma direção e sentido do deslocamento, o trabalho do peso do corpo medido em relação à mesa é:

Se a origem for o solo, o módulo do deslocamento será FÍSICA, 10 Ano do Ensino Médio Energia potencial gravitacional Se a origem for o solo, o módulo do deslocamento será d = h. , portanto o trabalho do peso será: Se essas expressões medem o trabalho que o peso do bloco pode realizar, elas também nos permitem medir a energia potencial gravitacional EP desse bloco. Como sabemos, a força gravitacional é conservativa, logo, é possível transformar energia potencial em energia cinética e vice-versa desde que não haja forças de dissipação. Assim, o trabalho realizado pela força peso é igual à energia potencial gravitacional que estava armazenada.

FÍSICA, 10 Ano do Ensino Médio Energia potencial gravitacional Portanto, a energia potencial do bloco em relação à mesa e ao solo, respectivamente, será: e É importante notar que, nessas condições, o valor de g é considerado constante ao longo do deslocamento, pelo fato de o corpo estar próximo à superfície da terra. Definimos arbitrariamente a energia potencial do sistema corpo-terra como zero na superfície (solo).

2. Energia potencial gravitacional FÍSICA, 10 Ano do Ensino Médio Energia potencial gravitacional 2. Energia potencial gravitacional Vamos agora considerar uma situação mais geral, em que duas partículas, de massas m e M, separadas por uma distância r, interagem gravitacionalmente. Para sermos mais concretos, vamos supor M como a massa da terra e m como a de uma bola de tênis, mas nossas conclusões serão mais gerais, não importando as massas relativas das partículas. Tomaremos como nula a energia potencial no caso em que a distância r entre as massas é infinita.

FÍSICA, 10 Ano do Ensino Médio Energia potencial gravitacional M r m A energia potencial gravitacional do sistema de duas partículas é (1)

A origem dessa expressão vem da lei da gravitação de Newton: FÍSICA, 10 Ano do Ensino Médio Energia potencial gravitacional De acordo com essa equação, ao fazer r = infinito, a energia potencial será nula de acordo com nossa hipótese inicial. A origem dessa expressão vem da lei da gravitação de Newton: , onde A equação (1) é obtida se calcularmos o trabalho necessário para trazer o corpo m do infinito (onde EP=0), realizado pela força de atração gravitacional entre M e m, até o ponto em que a distância entre as partículas é r. No entanto, são necessárias ferramentas matemáticas mais avançadas que não abordaremos.

FÍSICA, 10 Ano do Ensino Médio Energia potencial gravitacional A energia potencial dada pela equação (1) é uma propriedade de um sistema de duas partículas. É impossível dividir essa energia e dizer que uma parte pertence a uma partícula e o restante à outra. Se M >> m como certamente é o caso da terra e da bola de tênis, quando a bola se move nas vizinhanças da terra, mudanças na energia potencial do sistema terra-bola se manifestam, quase na totalidade, como alterações na energia cinética da bola. Isso vem da 2ª lei de Newton, pois, se a força gravitacional é a mesma para a terra e a bola, a aceleração maior se dá no corpo de menor massa (bola), sendo praticamente nula na terra (sua massa é infinitamente maior que a bola).

FÍSICA, 10 Ano do Ensino Médio Energia potencial gravitacional Isso explica o fato de sentirmos muito mais os efeitos gravitacionais da terra que ela de nós. Se nosso sistema contém mais de duas partículas, consideramos um par de cada vez, calculando a energia potencial gravitacional deste par, usando a equação (1) como se as outras partículas não existissem e, depois, somamos os resultados. Consideremos, por exemplo, um sistema de três partículas como ilustra a figura a seguir:

m1 r12 r13 m2 r23 A energia potencial deste sistema será, portanto: FÍSICA, 10 Ano do Ensino Médio Energia potencial gravitacional m1 r12 r13 m2 m3 r23 A energia potencial deste sistema será, portanto:

FÍSICA, 10 Ano do Ensino Médio Energia potencial gravitacional Assim, os índices representam os pares de partículas consideradas. Em termos das distâncias e das massas, teremos: Ou seja, se tivermos um sistema de n partículas, cada contribuição de pares deve ser somado à energia potencial total.

FÍSICA, 10 Ano do Ensino Médio Energia potencial gravitacional Um aglomerado globular na constelação de Sagitário é um bom exemplo natural de um sistema de partículas. Esse contém dezenas de milhares de estrelas, que sugerem uma enorme quantidade de energia potencial, gravitacional, armazenada no universo. Imagem: Aglomerado globular na constelação de Sagitário / ESA/Hubble & NASA / Creative Commons Attribution 3.0 Unported.

3. Aplicações 3.1 Velocidade de escape FÍSICA, 10 Ano do Ensino Médio Energia potencial gravitacional 3. Aplicações 3.1 Velocidade de escape Se você jogar um objeto para cima, normalmente, ele perderá velocidade até parar por um instante e retornar à terra. Há, no entanto, uma certa velocidade inicial que o fará subir para sempre, atingindo o repouso, teoricamente, só no infinito. Essa velocidade inicial é chamada Velocidade de escape.

FÍSICA, 10 Ano do Ensino Médio Energia potencial gravitacional Considere um foguete de massa m, deixando a superfície da terra com velocidade de escape v. A energia mecânica do foguete (cinética + potencial) no início do lançamento será: O M é a massa da terra e rt o raio da terra. (2) Imagem: Apollo 15 / NASA / Public Domain.

FÍSICA, 10 Ano do Ensino Médio Energia potencial gravitacional Quando o foguete atinge o infinito, para. Logo, não tem energia cinética. Também não tem energia potencial, pois, nesse ponto, consideramos que a energia potencial é zero (como vimos). Assim, no infinito sua energia mecânica é nula. Pelo princípio da conservação da energia, concluímos que a energia mecânica do foguete no momento do lançamento deve ser igual no momento em que ele atinge o infinito. Portanto, da equação (2) teremos: Velocidade de escape

FÍSICA, 10 Ano do Ensino Médio Energia potencial gravitacional Apesar de usarmos a terra como exemplo, essa expressão vale para qualquer planeta ou corpo celeste, basta saber sua massa e seu raio. 3.2 Marés As marés, na terra, constituem um fenômeno resultante da atração gravitacional (e, consequentemente, o acúmulo de grande energia potencial gravitacional) exercida pela Lua sobre a terra e, em menor escala, do Sol sobre a terra. A ideia básica da maré, provocada pela Lua, é que a atração gravitacional sentida por cada ponto da terra, devido à Lua, depende da distância do ponto dela mesma.

FÍSICA, 10 Ano do Ensino Médio Energia potencial gravitacional A atração gravitacional sentida do lado da terra que está mais próximo à Lua é maior que a sentida no centro da terra. Logicamente, no lado que está mais distante, a atração gravitacional é menor. Portanto, em relação ao centro da terra, um lado está sendo puxado na direção da Lua e outro lado está sendo puxado na direção contrária (este último por causa da rotação da terra). Como a água flui mais facilmente, ela se “empilha” nos dois lados da terra (na direção da Lua e na direção contrária).

FÍSICA, 10 Ano do Ensino Médio Energia potencial gravitacional Abaixo ilustraremos esse efeito. A parte em azul claro representa as águas dos oceanos. Enquanto a terra gira no seu movimento diário, o bojo de água sempre aponta na direção da Lua. Lua Terra A parte da terra mais próxima da Lua e a parte oposta estão em maré alta, enquanto os pontos mais próximos do centro estão em maré baixa.

FÍSICA, 10 Ano do Ensino Médio Energia potencial gravitacional Seis horas mais tarde, a rotação da terra levará essa parte onde a maré estava alta a 90º da Lua e, assim, ela terá maré baixa. Note que estamos usando o referencial da terra, ou seja, na figura anterior, giramos 90º no sentido anti-horário acompanhando a terra. Não estamos analisando a translação da Lua em torno da terra (que dura 27 dias), mas sim a rotação da terra no seu próprio eixo (24h). Lua Terra

FÍSICA, 10 Ano do Ensino Médio Energia potencial gravitacional Dali a mais seis horas, essa mesma parte estará a 180º da Lua e terá maré alta novamente. Portanto, as marés acontecem duas vezes a cada dia! Lua Terra Existe um link de um vídeo no YouTube que ilustra um pouco esse fenômeno abordado aqui: http://www.youtube.com/watch?v=jm235LzAez0&feature=related

4. É hora de exercitar... Questão 1 FÍSICA, 10 Ano do Ensino Médio Energia potencial gravitacional 4. É hora de exercitar... Questão 1 Calcule a energia potencial gravitacional entre a Terra e a Lua, sabendo que a distância entre eles é de 384000 km e considerando-os como partículas pontuais devido à grande distância. Dados: Mterra = 5,97.1024 kg, MLua = 7,35.1022 kg. Resolução: Usando a expressão da energia potencial gravitacional de um par de massas, teremos:

FÍSICA, 10 Ano do Ensino Médio Energia potencial gravitacional O sinal negativo serve apenas para indicar que a variação da energia potencial sempre é oposta à variação do trabalho (energia cinética).

FÍSICA, 10 Ano do Ensino Médio Energia potencial gravitacional Questão 2 Três partículas pontuais de massas m1 = 2kg, m2 = 3kg e m3 = 4kg estão dispostas conforme a figura abaixo: m1 Calcule a energia potencial do sistema, sabendo que r13 = 3m e r23 = 4m. r12 r13 m2 m3 r23 m3

FÍSICA, 10 Ano do Ensino Médio Energia potencial gravitacional Resolução: Primeiro vamos encontrar o valor de r12 , usando o teorema de Pitágoras: Assim, usando a expressão da energia potencial gravitacional de um sistema de três partículas, teremos:

FÍSICA, 10 Ano do Ensino Médio Energia potencial gravitacional Podemos colocar G em evidência. Assim, substituindo os valores, obtemos:

FÍSICA, 10 Ano do Ensino Médio Energia potencial gravitacional Questão 3 Calcule a velocidade inicial que um foguete deve ter para sair totalmente da atração gravitacional da Terra com direção ao espaço infinito. Qual seria esse valor na Lua? Dados: raio da Terra: 6370km, raio da Lua: 1738km. Resolução O que nós queremos nada mais é que a velocidade de escape. Para a terra, teremos:

FÍSICA, 10 Ano do Ensino Médio Energia potencial gravitacional Logo, para o foguete escapar da gravidade terrestre, seus motores devem desenvolver uma velocidade inicial de 11,1km/s! Analogamente, usando a massa e o raio da Lua na mesma expressão, encontramos a velocidade de escape do foguete na Lua. Fica como verificação! O valor encontrado deve ser aproximadamente:

FIM FÍSICA, 10 Ano do Ensino Médio Energia potencial gravitacional Imagem: Estrela V838 Monocerotis / NASA, ESA and H.E. Bond (STScI) / Public Domain.

Tabela de Imagens n° do slide direito da imagem como está ao lado da foto link do site onde se conseguiu a informação Data do Acesso   15 Aglomerado globular na constelação de Sagitário / ESA/Hubble & NASA / Creative Commons Attribution 3.0 Unported http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Messier_54_HST.jpg 23/08/2012 17 Apollo 15 / NASA / Public Domain. http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Apollo_15_launch.jpg 31 Estrela V838 Monocerotis / NASA, ESA and H.E. Bond (STScI) / Public Domain. http://commons.wikimedia.org/wiki/File:V838_Mon_HST.jpg