Professor Antonio Carlos Coelho CONTABILOMETRIA EAC-303 Professor Antonio Carlos Coelho

Modelo de inferência estatística

Especificar um modelo estatístico: fórmula e premissas Passos na Construção de um Modelo Estatístico Especificar um modelo estatístico: fórmula e premissas Se o modelo não for aprovado Estimar os parâmetros do modelo a partir dos dados amostrais Examinar os resíduos e testar a adequação do modelo Usar o modelo para seu propósito pretendido

Modelo de Regressão tipos e técnicas

Regressão TIPOS LINEAR Simples Uma variável independente Múltipla Duas ou mais variáveis NÃO-LINEAR  Curvilínea

Regressão Linear Objetivos Encontrar uma equação matemática que permita Descrever e compreender a relação entre 2 ou mais variáveis aleatórias Projetar ou estimar uma nova observação Ajustar uma reta a partir dos dados amostrais

Utilidades Regressão Linear Predição de valores Busca de relações de Causa e Efeito Predição de valores Economia em custos de projeção Estabelecer explanação sobre uma população a partir de uma amostra A primeira é por razões teóricas A terceira é No caso de 2 variáveis relacionadas, se o custo de medição de 1 variável é muito maior, medimos a variável de menor custo e através da regressão estimamos a outra.

Regressão Linear Simples Na análise de regressão linear simples busca-se encontrar a equação de uma reta que permita    Descrever e compreender a relação entre duas variáveis  Projetar e estimar uma das variáveis em função da outra.

Regressão Linear Simples Supondo uma variável X denominada de independente e uma variável Y, a qual chamada de dependente (de X), diremos que Y = f(X) Relação de causa e efeito: Y depende de X.

Regressão Linear Simples Dado um conjunto de valores observados de x e y, construímos um modelo de regressão linear de y sobre x, baseado numa equação de uma reta do tipo: ýi = a + bxi Fazer revisão de equação da reta

Função Linear f(x) se modifica a uma taxa constante em relação à sua variável independente Gráfico da função linear: reta Em termos algébricos: f(x) = b.x + a a e b são constantes b: coeficiente angular a: coeficiente linear x y

Coeficiente Angular (b) e Linear (a) x y (x1,y1) (x2,y2) x2-x1 = ∆ x y2-y1 = ∆ y b = tg  a → intersecção da reta com o eixo y variação de y variação de x b =

Exercício Determine o coeficiente angular e a interseção da reta 3y + 2x = 6 com o eixo dos y. Construa o respectivo gráfico. Ver solução em Previpeças (planilha dados).

Formas de Equação da Reta Forma Inclinação-Intersecção: y = b.x + a Inclinação: m (coeficiente angular) Intersecção com o eixo dos y é (0,b) Forma Ponto-Inclinação: y – y0 = b (x – x0) Passa pelo ponto (x0,y0) Inclinação: b (coeficiente angular)

Equação da Reta ýi = a + bxi

A Reta de Regressão Equação: ý = a + bx Nesse modelo se verifica que: b = declividade da reta: define o aumento ou diminuição da variável y por unidade de variação de x a = intercepto em y: define o valor médio de y com x=0, isto é, sem a interferência de x Nesse modelo se verifica que: para um valor xi podem existir um ou mais valores de yi amostrados para esse mesmo valor xi haverá um valor projetado ý para cada valor xi existirá um dado desvio di dos valores de ý sempre haverá observações que não são pontos da reta. Lembrar dispersão do slide de correlação.

Método dos Mínimos Quadrados Cálculo de a (coeficiente linear) e b (coeficiente angular). Considera as seguintes condições: Somatória de todos os desvios verticais dos pontos em relação a reta é zero. A soma do quadrado destes desvios é mínima.

Desvio do valor projetado di = yi - ýc yi ý = a + bx ýc xi

Onde: Di = (Yi – Yc)  Di = 0 (Di)2 é mínimo Aqui se referir a Demonstrar pelo livro do Corrar – pg. 149. Começa pela equação das diferenças. Onde: Di = (Yi – Yc)  Di = 0 (Di)2 é mínimo

Diferenciação – O que é? É uma técnica matemática de excepcional força e versatilidade; Derivada de uma função: exprime o coeficiente angular da tangente à curva f(x) em função de um ponto x de tangência Possui grande variedade de aplicações: Traçado de curvas Otimização de Funções Análise de Taxas de Variação

Taxa de Variação Função Linear: Função Não Linear: x f(x) x f(x) Taxa constante x f(x) Taxa variável

Problemas de Otimização Exemplo: Lucro em função do Preço P(x) = 400(15-x)(x-2) x P(x) (preço) (lucro) Coeficiente angular = zero 2 15 Coeficiente angular positivo Coeficiente angular negativo Com coeficiente zero, se está num ponto máximo ou mínimo. Se a derivada segunda for maior que zero será mínimo. Caso contrário, será máximo.

Técnicas de Diferenciação

Regra da Cadeia - Potências Seja y em função de u: f(u) = un Seja u em função de x: u(x)

Regra da Cadeia – Exemplo Calcule f(x) , sendo: Nesse caso, a função f(x) pode ser derivada de três modos distintos: Desenvolver a fatoração e aplicar a regra da soma Aplicar a regra do produto Aplicar a regra da cadeia para potências: Terceira opção: possibilita uma derivação mais simples e um resultado fatorado!

Regressão Linear Simples Calculando os coeficientes a e b a = b =

Regressão Linear Simples Calculando a e b por medidas estatísticas a = y - bx Comparar com as expressões no slide anterior Cov (x,y) b = Var (x)

Regressão Linear Simples Calculando a e b por medidas estatísticas Os coeficientes são função das médias e variâncias das variáveis.

Regressão Linear Simples a e b servem como estimativas dos dois parâmetros populacionais correspondentes a A e B, sendo a equação ýc = a + bx uma estimativa da relação populacional y = A + Bx + e onde e representa a dispersão na população.

Regressão Linear Simples Distribuição Condicional A análise de regressão supõe que, para cada valor de x, há uma distribuição de y’s potenciais que segue a lei normal.

Regressão Linear Simples

Regressão Linear Simples Hipóteses * Existem dados de mensurações tanto para x quanto para y. * A variável independente é aleatória. * Para cada valor de x há uma distribuição condicional de y’s que é normal. * Os desvios padrões de todas as distribuições condicionais são iguais.