Matemática e suas Tecnologias - Matemática Ensino Fundamental, 9º Ano Razões trigonométricas nos triângulos retângulos

MATEMÁTICA, 9º Ano do Ensino Fundamental Razões trigonométricas no triângulo retângulo SITUAÇÃO-PROBLEMA Como calcular a medida da altura do pé-direito dessa sala de aula, sem medi-la diretamente? Atenção: considere a altura como uma medida inacessível. Pé-direito é a distância do piso ao teto de um ambiente. Esta é uma expressão muito utilizada na engenharia e na construção civil. A origem da expressão pé-direito refere-se à distância medida em pés e na posição direita, em ângulo reto, com relação ao plano. Segundo o Regulamento Geral de Edificações Urbanas (REGEU), a altura mínima do teto de um imóvel deve ser de 2,70 m. Pela CLT, todas os estabelecimentos de empresas que tenham empregados são obrigadas a ter no mínimo 3 metros de pé-direito. Um pé-direito baixo seria uma medida próximo a 2,40 m e pé-direito considerado alto é o que vai de 3m até alturas maiores de 6m. Para saber +

Para começo de conversa... MATEMÁTICA, 9º Ano do Ensino Fundamental Razões trigonométricas no triângulo retângulo Para começo de conversa... Temos um desafio para resolver. Vamos seguir a nossa aula e tentar adquirir conhecimentos que nos permitam resolver o problema proposto. Para começar, vamos conhecer a história do famoso detetive Said Essa (IMENES, JAKUBO, LELLIS, 2008).

NAQUELA TARDE EU ESTAVA MATEMÁTICA, 9º Ano do Ensino Fundamental Razões trigonométricas no triângulo retângulo SITUAÇÃO 2 – Said Essa O famoso detetive Said Essa está em ação mais uma vez. Ele investiga a morte da bilionária senhora, proprietária da mansão. ? NAQUELA TARDE EU ESTAVA AO PIANO QUANDO OUVI UM TIRO. VIREI-ME A TEMPO DE VÊ-LA CAINDO, BEM NA FRENTE DA LAREIRA. VI A ARMA EM SUA MÃO. ELA SE SUICIDOU. FOI TERRÍVEL! Com ela morava o sobrinho, um pianista. Ele contou ao detetive como tudo aconteceu... O depoimento pareceu convincente, mas Said Essa foi conferir. Imagens: (a); Charles A Siringo, sitting with cane & gun / Autor Desconhecido / Domínio Publico; (b) Pianist Ivan Ilić / Tibor BBB /  Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported; (c)  Robbie Sproule / Creative CommonsAtribuição 2.0 Genérica e (d) Volodymyr Ivasyuk, Museum of memory in Chernivtsi (Ukraine) / Labberté K.J. / GNU Free Documentation License.

Como é que o detetive chegou a essa conclusão? MATEMÁTICA, 9º Ano do Ensino Fundamental Razões trigonométricas no triângulo retângulo O PIANISTA MENTIU! Como é que o detetive chegou a essa conclusão? Imagens: (a)  Robbie Sproule / Creative CommonsAtribuição 2.0 Genérica e (b) Volodymyr Ivasyuk, Museum of memory in Chernivtsi (Ukraine) / Labberté K.J. / GNU Free Documentation License.

MATEMÁTICA, 9º Ano do Ensino Fundamental Razões trigonométricas no triângulo retângulo SITUAÇÃO 3 Vamos formar grupos e escolher um estudante de cada grupo para medir (do ponto onde está), intuitivamente (sem o uso de instrumentos), o ângulo sob o qual se veem os segmentos e . C A B D

MEDIDA INTUITIVA DO ÂNGULO DE VISÃO DOS SEGMENTOS MATEMÁTICA, 9º Ano do Ensino Fundamental Razões trigonométricas no triângulo retângulo Vamos sistematizar os dados no seguinte quadro: GRUPO MEDIDA INTUITIVA DO ÂNGULO DE VISÃO DOS SEGMENTOS AB CD

MATEMÁTICA, 9º Ano do Ensino Fundamental Razões trigonométricas no triângulo retângulo SITUAÇÃO 4 Vamos construir um teodolito caseiro. Para isso, vamos precisar de uma cópia de um transferidor (180°), dois pedaços de canudo e uma tachinha (como mostra a figura). Canudo Tachinha Imagem: CK-12 Foundation / reative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported

MATEMÁTICA, 9º Ano do Ensino Fundamental Razões trigonométricas no triângulo retângulo SITUAÇÃO 5 O estudante que apresentou a medida intuitiva dos ângulos de visão dos segmentos e é o que deve medir novamente o ângulo destes segmentos. Agora, com o uso do teodolito que acabamos de construir. C A B D

MEDIDA DO ÂNGULO DE VISÃO DOS SEGMENTOS MATEMÁTICA, 9º Ano do Ensino Fundamental Razões trigonométricas no triângulo retângulo Vamos atualizar o nosso quadro: GRUPO MEDIDA DO ÂNGULO DE VISÃO DOS SEGMENTOS MEDIDA INTUITIVA MEDIDA COM TEODOLITO AB CD

DE OLHO NOS RESULTADOS APRESENTADOS MATEMÁTICA, 9º Ano do Ensino Fundamental Razões trigonométricas no triângulo retângulo DE OLHO NOS RESULTADOS APRESENTADOS Observando o quadro, vamos responder: Que grupo teve o resultado intuitivo mais próximo do resultado obtido com o teodolito? E qual o grupo que mais se distanciou? Que grupo está mais próximo dos segmentos AB e CD (quadro de projeção)? E qual está mais distante? Existe alguma relação entre a medida do ângulo de visão e a distância do ponto/segmento observado? Qual?

MATEMÁTICA, 9º Ano do Ensino Fundamental Razões trigonométricas no triângulo retângulo SITUAÇÃO 6 a) Utilizando uma régua, desenhe três ângulos quaisquer. Agora, determine a medida destes ângulos, utilizando o transferidor. b) Desenhe ângulos com as seguintes medidas: 30°, 45°, 60°, 90° e 120°. exemplos

MATEMÁTICA, 9º Ano do Ensino Fundamental Razões trigonométricas no triângulo retângulo SITUAÇÃO 7 Desenhe um ângulo de 35° de vértice O cujos lados são as semirretas e . Marque na reta r o ponto A, distinto de O. Determine na semirreta o ponto A’, de modo que AA’ seja perpendicular a . c) Do mesmo modo, marque os pontos B e B’, C e C’, e assim sucessivamente.

SITUAÇÃO 7 d) Calcule as razões entre os segmentos: MATEMÁTICA, 9º Ano do Ensino Fundamental Razões trigonométricas no triângulo retângulo SITUAÇÃO 7 d) Calcule as razões entre os segmentos: s C B A α r O A’ B’ C’

MEDIDA DO ÂNGULO DE VISÃO DOS SEGMENTOS MATEMÁTICA, 9º Ano do Ensino Fundamental Razões trigonométricas no triângulo retângulo Atualizando o quadro: GRUPO MEDIDA DO ÂNGULO DE VISÃO DOS SEGMENTOS RAZÃO DOS SEGMENTOS MEDIDA INTUITIVA MEDIDA COM TEODOLITO AB CD

DE OLHO NOS RESULTADOS APRESENTADOS MATEMÁTICA, 9º Ano do Ensino Fundamental Razões trigonométricas no triângulo retângulo DE OLHO NOS RESULTADOS APRESENTADOS Mais uma vez, de acordo com os dados do quadro, vamos responder: As razões obtidas em cada grupo foram iguais ou aproximadas? Comparando os resultados de cada um dos grupos, o que podemos observar (resultados próximos ou distantes)?

MATEMÁTICA, 9º Ano do Ensino Fundamental Razões trigonométricas no triângulo retângulo SITUAÇÃO 8 a) Se repetíssemos o processo anterior para o ângulo 63°, as razões seriam as mesmas do ângulo cuja medida é 35°? b) E os resultados das três razões de cada grupo seriam iguais entre si? Por quê?

SISTEMATIZAÇÃO DO CONCEITO MATEMÁTICA, 9º Ano do Ensino Fundamental Razões trigonométricas no triângulo retângulo SISTEMATIZAÇÃO DO CONCEITO Como acabamos de verificar, para um mesmo ângulo agudo, que as razões entre as medidas dos segmentos opostos e adjacentes são sempre constantes. Hoje, essa razão é chamada de TANGENTE.

SITUAÇÃO 9 Calcule a tg α e tg β, indicadas nos triângulos abaixo: MATEMÁTICA, 9º Ano do Ensino Fundamental Razões trigonométricas no triângulo retângulo SITUAÇÃO 9 Calcule a tg α e tg β, indicadas nos triângulos abaixo: β β β 3 cm 5 cm 4 cm α α α 4 cm 4 cm 4 cm

RETOMANDO A SITUAÇÃO-PROBLEMA MATEMÁTICA, 9º Ano do Ensino Fundamental Razões trigonométricas no triângulo retângulo RETOMANDO A SITUAÇÃO-PROBLEMA E agora, você já sabe como calcular a medida da altura do pé direito dessa sala de aula, sem medi-la diretamente? Queremos ver qual grupo mais se aproxima da medida real. Em seguida, faremos a verificação com a trena.

HISTÓRIA DA MATEMÁTICA MATEMÁTICA, 9º Ano do Ensino Fundamental Razões trigonométricas no triângulo retângulo HISTÓRIA DA MATEMÁTICA A razão tangente era conhecida como razão sombra, porque tinha ideias associadas a sombras projetadas por uma vara colocada na horizontal. A variação na elevação do Sol causava uma variação no ângulo que os raios solares formavam com a vara e, portanto, modificava o tamanho da sombra. SOL vara sombra

HISTÓRIA DA MATEMÁTICA MATEMÁTICA, 9º Ano do Ensino Fundamental Razões trigonométricas no triângulo retângulo HISTÓRIA DA MATEMÁTICA As primeiras tabelas de sombras conhecidas foram produzidas pelos árabes por volta do ano 860. O nome tangente foi primeiro usado por Thomas Fincke, em 1583. Tales usou os comprimentos das sombras para calcular as alturas das pirâmides a partir da semelhança de triângulos. Faça uma pesquisa sobre Tales de Mileto. Procure saber as principais descobertas dele e porque ele era chamado assim.

CALCULANDO OUTRAS RAZÕES MATEMÁTICA, 9º Ano do Ensino Fundamental Razões trigonométricas no triângulo retângulo SITUAÇÃO 10 CALCULANDO OUTRAS RAZÕES a) Agora, calcule as razões entre os segmentos: s O que os resultados indicam? C B A α r O A’ B’ C’

SISTEMATIZAÇÃO DO CONCEITO MATEMÁTICA, 9º Ano do Ensino Fundamental Razões trigonométricas no triângulo retângulo SISTEMATIZAÇÃO DO CONCEITO Como acabamos de verificar, para um mesmo ângulo agudo, as razões entre as medidas do segmento oposto e a medida da hipotenusa é sempre constante. Essa razão é chamada de SENO do ângulo agudo considerado.

CALCULANDO OUTRAS RAZÕES MATEMÁTICA, 9º Ano do Ensino Fundamental Razões trigonométricas no triângulo retângulo CALCULANDO OUTRAS RAZÕES SITUAÇÃO 11 b) Encontre as razões entre os segmentos: s E, dessa vez, o que acontece com os resultados ? C B A α r O A’ B’ C’

SISTEMATIZAÇÃO DO CONCEITO MATEMÁTICA, 9º Ano do Ensino Fundamental Razões trigonométricas no triângulo retângulo SISTEMATIZAÇÃO DO CONCEITO Como acabamos de verificar, para um mesmo ângulo agudo, as razões entre as medidas dos segmentos adjacentes e a medida da hipotenusa são sempre constantes. Essa razão é chamada de COSSENO do ângulo agudo considerado.

RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO MATEMÁTICA, 9º Ano do Ensino Fundamental Razões trigonométricas no triângulo retângulo RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO Com o que já aprendemos até aqui, podemos sistematizar, para um triângulo retângulo qualquer, as razões SENO, COSSENO e TANGENTE. Sendo um ângulo agudo de medida , pelo que já aprendemos e verificamos, podemos estabelecer razões:

NO TRIÂNGULO RETÂNGULO MATEMÁTICA, 9º Ano do Ensino Fundamental Razões trigonométricas no triângulo retângulo SENO NO TRIÂNGULO RETÂNGULO B B1 A A1 C Em todo triângulo retângulo, o seno de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto oposto a esse ângulo e a medida da hipotenusa.

NO TRIÂNGULO RETÂNGULO MATEMÁTICA, 9º Ano do Ensino Fundamental Razões trigonométricas no triângulo retângulo COSSENO NO TRIÂNGULO RETÂNGULO B B1 A A1 C Em todo triângulo retângulo, o cosseno de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto adjacente a esse ângulo e a medida da hipotenusa.

NO TRIÂNGULO RETÂNGULO MATEMÁTICA, 9º Ano do Ensino Fundamental Razões trigonométricas no triângulo retângulo TANGENTE NO TRIÂNGULO RETÂNGULO B B1 A A1 C Em todo triângulo retângulo, a tangente de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto oposto e a do adjacente a esse ângulo.

CONSTRUINDO A TABELA TRIGONOMÉTRICA MATEMÁTICA, 9º Ano do Ensino Fundamental Razões trigonométricas no triângulo retângulo SITUAÇÃO 12 CONSTRUINDO A TABELA TRIGONOMÉTRICA Construa uma tabela com os valores do seno, do cosseno e da tangente de diversos ângulos. Utilize instrumentos de desenho e calculadora. O Professor vai indicar a medida do ângulo para cada estudante. Lembre-se do começo da nossa aula, quando desenhamos ângulos, medimos segmentos e calculamos razões. Ângulo Sen Cos Tg 5 10 15 20 25 30 35 40 45 ...

MATEMÁTICA, 9º Ano do Ensino Fundamental Razões trigonométricas no triângulo retângulo SITUAÇÃO 13 (PUC-SP) Para determinar a altura de um edifício, um observador coloca-se a 30 m de distância e assim o observa, segundo um ângulo de 30°, conforme a figura. Calcule a altura do edifício, medida a partir do solo. Dados 30° 3m Reprodução 30m Imagem: Ccupload / Homem / Public Domain Resposta:

MATEMÁTICA, 9º Ano do Ensino Fundamental Razões trigonométricas no triângulo retângulo SITUAÇÃO 14 (UNISINOS-RS) Do alto de uma torre de 25 metros, instalada numa colina de 300 metros de altura, um guarda florestal avista um foco de incêndio, sob um ângulo de 18° com a horizontal. A distância F, distância aproximada do foco de incêndio à base da colina em que está o guarda florestal, é de: 10 000 m 1 083 m 105,6 m 1 km 13 km 18° Reprodução Resposta: d. F

MATEMÁTICA, 9º Ano do Ensino Fundamental Razões trigonométricas no triângulo retângulo SITUAÇÃO 15 Em cada caso, calcule o valor da medida desconhecida, indicada pela letra d: a) b) d 60° 6 30° d Resposta: d = 12.

MATEMÁTICA, 9º Ano do Ensino Fundamental Razões trigonométricas no triângulo retângulo SITUAÇÃO 16 Em um triângulo retângulo, a altura relativa à hipotenusa determina sobre ela segmentos de 4 cm e 9 cm (projeções dos catetos sobre a hipotenusa). Determine a medida aproximada do ângulo formado pela altura e pelo cateto menor desse triângulo. Resposta: Aproximadamente 33,5°.

MATEMÁTICA, 9º Ano do Ensino Fundamental Razões trigonométricas no triângulo retângulo SITUAÇÃO 17 (DANTE, 2010) Um avião decola do aeroporto (A) e sobe segundo um ângulo constante de 15º em relação à horizontal. Na direção do percurso do avião, a 2 km do aeroporto, existe uma torre transmissora de televisão de 40 m de altura. Verifique se existe a possibilidade de o avião se chocar com a torre. (Neste caso, ele deveria desviar-se da rota). 15° 2km = 2000m A h d Resposta Não, h = 536 m, 536 > 40 Imagem: (a) Steelpillow / Avião / Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported ; (b) en user Burgundavia / Torre / GNU Free Documentation License

MATEMÁTICA, 9º Ano do Ensino Fundamental Razões trigonométricas no triângulo retângulo SITUAÇÃO 18 Elabore um problema cuja solução utilize pelo menos duas das razões indicadas abaixo: sen 30° cos 45º tg 60º

Indicações de Páginas Eletrônicas (internet) MATEMÁTICA, 9º Ano do Ensino Fundamental Razões trigonométricas no triângulo retângulo Indicações de Páginas Eletrônicas (internet) Banco de Aulas da Secretaria de Educação de PE - http://bit.ly/vencedorespa Domínio Público - http://www.dominiopublico.gov.br Revista EM TEIA|UFPE – http://www.gente.eti.br/edumatec/index.php?option=com_content&view=article&id=9&Itemid=12 TV Escola - http://tvescola.mec.gov.br/ SBEM - http://www.sbem.com.br/index.php Escola do Futuro – http://futuro.usp.br Matemática UOL - http://educacao.uol.com.br/matematica Coleção Explorando o Ensino da Matemática (Portal do professor) - http://portal.mec.gov.br Companhia dos Números - http://www.ciadosnumeros.com.br/ Site do ENEM - http://www.enem.inep.gov.br LEM-Laboratório do Ensino da Matemática - http://www.ime.unicamp.br/lem/ Associação de Professores de Matemática|Portugal – Revista Mova Escola - http://revistaescola.abril.com.br/ Só Matemática - http://www.somatematica.com.br/ Revista Brasileira de História da Matemática - http://www.sbhmat.com.br/

Sugestão de leitura/projeto para o/a professor/a MATEMÁTICA, 9º Ano do Ensino Fundamental Razões trigonométricas no triângulo retângulo Sugestão de leitura/projeto para o/a professor/a Artigo com proposta de trabalho utilizando o Geogebra (software livre de geometria dinâmica) A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE DISTÂNCIAS INACESSÍVES COM O USO DO GEOGEBRA POR CRIANÇAS DO 8° ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL. Publicado e disponível gratuitamente em http://www.sbempb.com.br/anais/arquivos/trabalhos/CC-14188545.pdf

Referências: MATEMÁTICA, 9º Ano do Ensino Fundamental Razões trigonométricas no triângulo retângulo Referências: DANTE, Luiz Roberto. Tudo é Matemática. 2.ed. 8ª série. São Paulo: Ática, 2010. BIGODE, Antônio José Lopes. Matemática Hoje é Feita Assim. São Paulo: FTD, 2000. DANTE, Luiz Roberto. Formulação e Resolução de Problemas de Matemática. São Paulo: Ática, 2010. BERTON, Ivani da Cunha Borges; ITACARAMBI, Ruth Ribas. Números, Brincadeiras e Jogos. São Paulo: Livraria da Física, 2009. PERNAMBUCO. Base Curricular Comum para as redes públicas de ensino: matemática. Recife: SE, 2008. PERNAMBUCO. Orientações teórico-metodológicas. Matemática. Ensino Médio. Recife: SE, 2008.

Tabela de Imagens n° do slide direito da imagem como está ao lado da foto link do site onde se consegiu a informação Data do Acesso   4a Charles A Siringo, sitting with cane & gun / Autor Desconhecido / Domínio Publico http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Charles_A_Siringo.jpg 10/10/2012 4b Pianist Ivan Ilić / Tibor BBB /  Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Pianist_Ivan_Ili%C4%87.jpg 4c Robbie Sproule / Creative CommonsAtribuição 2.0 Genérica http://commons.wikimedia.org/wiki/File:The_fireplace-RS.jpg?uselang=pt-br 4d Volodymyr Ivasyuk, Museum of memory in Chernivtsi (Ukraine) / Labberté K.J. / GNU Free Documentation License http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Volodymyr_Ivasyuk_09.jpg 5a 5b 8 CK-12 Foundation / Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Measuring_Rotation_Solution_2.png 06/09/2012 32 Ccupload / Public Domain http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Kea0005_person_und_gegenueber2.PNG

Tabela de Imagens n° do slide direito da imagem como está ao lado da foto link do site onde se consegiu a informação Data do Acesso   36.a Steelpillow / Avião / Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Tail_plane_flying.svg 06/09/2012 36.b en user Burgundavia / Torre / GNU Free Documentation License http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Wireless_tower.svg