Capítulo 2 Vetores de força slide 1 © 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.

Objetivos do capítulo Mostrar como adicionar forças e decompô-las em componentes usando a lei do paralelogramo. Expressar a força e sua posição na forma de um vetor cartesiano e explicar como determinar a intensidade e a direção do vetor. Introduzir o produto escalar para determinar o ângulo entre dois vetores ou a projeção de um vetor sobre outro.

Escalares e vetores Um escalar é qualquer quantidade física positiva ou negativa que pode ser completamente especificada por sua intensidade. Exemplos de quantidades escalares: Comprimento Massa Tempo

Escalares e vetores Um vetor é qualquer quantidade física que requer uma intensidade e uma direção para sua completa descrição. Exemplos de vetores: Força Posição Momento

Operações vetoriais

Operações vetoriais Adição de vetores Todas as quantidades vetoriais obedecem à lei do paralelogramo da adição.

Operações vetoriais Adição de vetores Também podemos somar B a A usando a regra do triângulo:

Operações vetoriais Adição de vetores No caso especial em que os dois vetores A e B são colineares, a lei do paralelogramo reduz-se a uma adição algébrica ou escalar R = A + B:

Subtração de vetores R' = A – B = A + (–B) Operações vetoriais Subtração de vetores R' = A – B = A + (–B)

Determinando uma força resultante Podemos aplicar a lei dos cossenos ou a lei dos senos para o triângulo a fim de obter a intensidade da força resultante e sua direção.

Determinando as componentes de uma força Algumas vezes é necessário decompor uma força em duas componentes para estudar seu efeito de ‘empurrão’ ou ‘puxão’ em duas direções específicas.

Determinando as componentes de uma força As componentes da força Fu e Fv são estabelecidas simplesmente unindo a origem de F com os pontos de interseção nos eixos u e v.

Determinando as componentes de uma força Esse paralelogramo pode então ser reduzido a um triângulo, que representa a regra do triângulo.

Procedimento para análise Problemas que envolvem a soma de duas forças podem ser resolvidos da seguinte maneira: Lei do paralelogramo: Duas forças ‘componentes’, F1 e F2 se somam conforme a lei do paralelogramo, dando uma força resultante FR que forma a diagonal do paralelogramo.

Procedimento para análise Se uma força F precisar ser decomposta em componentes ao longo de dois eixos u e v, então, iniciando na extremidade da força F, construa linhas paralelas aos eixos, formando, assim, o paralelogramo. Os lados do paralelogramo representam as componentes, Fu e Fv.

Procedimento para análise Rotule todas as intensidades das forças conhecidas e desconhecidas e os ângulos no esquema e identifique as duas forças desconhecidas quanto à intensidade e à direção de FR ou às intensidades de suas componentes.

Procedimento para análise Trigonometria Redesenhe metade do paralelogramo para ilustrar a adição triangular ‘extremidade-para-origem’ das componentes. Por esse triângulo, a intensidade da força resultante é determinada pela lei dos cossenos, e sua direção, pela lei dos senos. As intensidades das duas componentes de força são determinadas pela lei dos senos.

Pontos importantes Escalar é um número positivo ou negativo. Vetor é uma quantidade que possui intensidade, direção e sentido. A multiplicação ou divisão de um vetor por um escalar muda a intensidade do vetor. O sentido dele mudará se o escalar for negativo. Como um caso especial, se os vetores forem colineares, a resultante será formada pela adição algébrica ou escalar.

Adição de um sistema de forças coplanares Quando uma força é decomposta em duas componentes ao longo dos eixos x e y, as componentes são, então, chamadas de componentes retangulares. notação escalar. notação de vetor cartesiano.

Notação escalar Como essas componentes formam um triângulo retângulo, suas intensidades podem ser determinadas por:

Notação escalar No entanto, Como esse triângulo e o triângulo maior sombreado são semelhantes, o comprimento proporcional dos lados fornece: e

Notação vetorial cartesiana Também é possível representar as componentes x e y de uma força em termos de vetores cartesianos unitários i e j.

Notação vetorial cartesiana Como a intensidade de cada componente de F é sempre uma quantidade positiva, representada pelos escalares (positivos) Fx e Fy, então, podemos expressar F como um vetor cartesiano.

Resultante de forças coplanares Qualquer um dos dois métodos descritos pode ser usado para determinar a resultante de várias forças coplanares. Por exemplo:

Resultante de forças coplanares Usando a notação vetorial cartesiana, cada força é representada como um vetor cartesiano, ou seja, F1 = F1xi + F1yj F2 = – F2xi + F2yj F3 = F3xi – F3yj O vetor resultante é, portanto, FR = F1 + F2 + F3 = F1xi + F1yj – F2xi + F2yj + F3xi – F3yj = (F1x – F2x + F3x) i + (F1y + F2y – F3y) j = (FRx) i + (FR y) j

Resultante de forças coplanares Se for usada a notação escalar, temos então (→ + ) FRx = F1x – F2x + F3x (+ ↑) FRy = F1y + F2y – F3y As componentes da força resultante de qualquer número de forças coplanares podem ser representadas simbolicamente pela soma algébrica das componentes x e y de todas as forças, ou seja,

Resultante de forças coplanares Uma vez que estas componentes são determinadas, elas podem ser esquematizadas ao longo dos eixos x e y com seus sentidos de direção apropriados, e a força resultante pode ser determinada pela adição vetorial.

Resultante de forças coplanares Pelo esquema, a intensidade de FR é determinada pelo teorema de Pitágoras, ou seja, Além disso, o ângulo θ, que especifica a direção da força resultante, é determinado através da trigonometria:

Pontos importantes A resultante de várias forças coplanares pode ser determinada facilmente se for estabelecido um sistema de coordenadas x e y e as forças forem decompostas ao longo dos eixos. A direção de cada força é especificada pelo ângulo que sua linha de ação forma com um dos eixos, ou por um triângulo da inclinação. A orientação dos eixos x e y é arbitrária e sua direção positiva pode ser especificada pelos vetores cartesianos unitários i e j.

Pontos importantes As componentes x e y da força resultante são simplesmente a soma algébrica das componentes de todas as forças coplanares. A intensidade da força resultante é determinada pelo teorema de Pitágoras e, quando as componentes são esquematizadas nos eixos x e y, a direção é determinada por meio da trigonometria.

Vetores cartesianos As operações da álgebra vetorial, quando aplicadas para resolver problemas em três dimensões, são enormemente simplificadas se os vetores forem primeiro representados na forma de um vetor cartesiano. Sistema de coordenadas destro Dizemos que um sistema de coordenadas retangular é destro desde que o polegar da mão direita aponte na direção positiva do eixo z, quando os dedos da mão direita estão curvados em relação a esse eixo e direcionados do eixo x positivo para o eixo y positivo.

Vetores cartesianos

Componentes retangulares de um vetor Em geral, quando A está direcionado dentro de um octante do sistema x, y, z:

Componentes retangulares de um vetor Com duas aplicações sucessivas da lei do paralelogramo pode-se decompô-lo em componentes, como: A = A’ + Az e depois A’ = Ax + Ay. Combinando essas equações, para eliminar A', A é representado pela soma vetorial de suas três componentes retangulares, A = Ax + Ay + Az

Vetores cartesianos unitários Os vetores cartesianos unitários são mostrados na figura abaixo:

Representação de um vetor cartesiano A = Axi + Ayj + Azk Separando-se a intensidade e a direção de cada vetor componente, simplificam-se as operações da álgebra vetorial, particularmente em três dimensões.

Intensidade de um vetor cartesiano É sempre possível obter a intensidade de A, desde que ele seja expresso sob a forma de um vetor cartesiano. temos:

Direção de um vetor cartesiano A direção de A é definida pelos ângulos de direção coordenados α (alfa), β (beta) e γ (gama), medidos entre a origem de A e os eixos x, y, z positivos, desde que estejam localizados na origem de A.

Direção de um vetor cartesiano Para determinarmos α, β e γ, vamos considerar as projeções de A sobre os eixos x, y, z.

Direção de um vetor cartesiano Com referência aos triângulos sombreados de cinza claros mostrados em cada figura, temos:

Direção de um vetor cartesiano Um modo fácil de obter os cossenos diretores é criar um vetor unitário uA na direção de A.

Direção de um vetor cartesiano Se A for expresso sob a forma de um vetor cartesiano, A = Axi + Ayj + Azk, então uA terá uma intensidade de um e será adimensional, desde que A seja dividido pela sua intensidade, ou seja, vemos que as componentes i, j, k de uA representam os cossenos diretores de A, ou seja, uA = cos αi + cos βj + cos γk

Direção de um vetor cartesiano Pode-se estabelecer uma relação importante entre os cossenos diretores como: cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1 A pode ser expresso sob a forma de vetor cartesiano como: A = AuA A = A cos α i + A cos β j + A cos γ k A = Axi + Ayj + Azk

Direção de um vetor cartesiano Algumas vezes, a direção de A pode ser especificada usando dois ângulos, θ e ϕ (fi),

A adição de vetores cartesianos A força resultante poderá ser escrita como: FR = ΣF = ΣFxi + ΣFyj + ΣFzk

Pontos importantes A análise vetorial cartesiana é usada frequentemente para resolver problemas em três dimensões. As direções positivas dos eixos x, y, z são definidas pelos vetores cartesianos unitários i, j, k, respectivamente. A intensidade de um vetor cartesiano é dada por

Pontos importantes A direção de um vetor cartesiano é definida pelos ângulos de direção coordenados α, β, γ que a origem do vetor forma com os eixos x, y, z positivos, respectivamente. As componentes do vetor unitário uA = A/A representam os cossenos diretores de α, β, γ. Apenas dois dos ângulos α, β, γ precisam ser especificados. O terceiro ângulo é calculado pela relação: cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1. Algumas vezes, a direção de um vetor é definida usando os dois ângulos θ e ϕ. Nesse caso, as componentes vetoriais são obtidas por decomposição vetorial usando trigonometria. Para determinar a resultante de um sistema de forças concorrentes, expresse cada força como um vetor cartesiano e adicione as componentes i, j, k de todas as forças do sistema.

Vetores padrão Coordenadas x, y, z As coordenadas do ponto A são obtidas a partir de O e medindo-se xA = +4 m ao longo do eixo x, depois yA = +2 m ao longo do eixo y e, finalmente, zA = –6 m ao longo do eixo z. Portanto, A (4 m, 2 m, –6 m). De modo semelhante, medidas ao longo dos eixos x, y, z de O para B resulta nas coordenadas de B, ou seja, B (6 m, –1 m, 4 m).

Vetor posição Se r estende-se da origem de coordenadas, O, para o ponto P (x, y, z), então r pode ser expresso na forma de um vetor cartesiano como:

Vetor posição Observe como a adição vetorial ‘extremidade para origem’ das três componentes produz o vetor r.

Vetor posição Na maioria dos casos, o vetor posição podem ser direcionado de um ponto A para um ponto B no espaço. Também podemos formar essas componentes diretamente.

Vetor de força orientado ao longo de uma reta Muitas vezes, em problemas de estática tridimensionais, a direção de uma força é definida por dois pontos pelos quais passa sua linha de ação.

Pontos importantes Um vetor posição localiza um ponto no espaço em relação a outro ponto. A maneira mais simples de definir as componentes de um vetor posição é determinar a distância e a direção que devem ser percorridas ao longo das direções x, y, z, indo da origem para a extremidade do vetor. Uma força F que atua na direção de um vetor posição r pode ser representada na forma cartesiana se o vetor unitário u do vetor posição for determinado e multiplicado pela intensidade da força, ou seja, F = Fu = F(r/r).

Produto escalar O produto escalar dos vetores A e B, escrito A ∙ B e lido ‘A escalar B’, é definido como o produto das intensidades de A e B e do cosseno do ângulo θ entre suas origens. Expresso na forma de equação, A ∙ B = AB cos θ

a(A ∙ B) = (aA) ∙ B = A ∙ (aB) Leis das operações 1. Lei comutativa: A ∙ B = B ∙ A 2. Multiplicação por escalar: a(A ∙ B) = (aA) ∙ B = A ∙ (aB) 3. Lei distributiva: A ∙ (B + D) = (A ∙ B) + (A ∙ D)

Formulação do vetor cartesiano Se quisermos determinar o produto escalar de dois vetores A e B expressos na forma de um vetor cartesiano, teremos: A ∙ B = (Axi + Ayj + Azk) ∙ (Bxi + Byj + Bzk) = AxBx(i ∙ i) + AxBy(i ∙ j) + AxBz(i ∙ k) + AyBx(j ∙ i) + AyBy(j ∙ j) + AyBz(j ∙ k) + AzBx(k ∙ i) + AzBy(k ∙ j) + AzBz(k ∙ k) Efetuando as operações do produto escalar, obtemos o resultado final: A ∙ B = AxBx + AyBy + AzBz

Aplicações O produto escalar tem duas aplicações importantes na mecânica. O ângulo formado entre dois vetores ou linhas que se interceptam. As componentes de um vetor paralelo e perpendicular a uma linha. Aa = A cos θ = A ∙ ua

Pontos importantes O produto escalar é usado para determinar o ângulo entre dois vetores ou a projeção de um vetor em uma direção especificada. Se os vetores A e B são expressos na forma de vetores cartesianos, o produto escalar será determinado multiplicando-se as respectivas componentes escalares x, y, z e adicionando-se algebricamente os resultados, ou seja, A ∙ B = AxBx + AyBy + AzBz. Da definição do produto escalar, o ângulo formado entre as origens dos vetores A e B é θ = cos–1 (A ∙ B/AB). A intensidade da projeção do vetor A ao longo de uma linha aa, cuja direção é especificada por ua, é determinada pelo produto escalar Aa = A ∙ ua.