Professores André Fernando André Cavalieri AJUSTE DE CURVAS Professores André Fernando André Cavalieri

Feita a Calibração...

Ajuste de Curvas Diversos métodos: Diversos tipos de curvas: Método dos mínimos quadrados; Método das médias móveis; Polinômios interpoladores; Diversos tipos de curvas: Polinômios (inclusive o caso linear); Exponencial; Logarítmico; Potência; Etc...

Método dos Mínimos Quadrados: Caso Linear Seja um conjunto de pontos 𝑥,𝑦 𝑖 obtidos experimen-talmente. Deseja-se encontrar a reta 𝑦=𝑎𝑥+𝑏 que torne mínima a seguinte quanti-dade: 𝑆= 𝑖=1 𝑛 𝑦 𝑖 − 𝑎 𝑥 𝑖 +𝑏 2 Tal método é conhecido como Método dos Mínimos Qua-drados.

O Modelo de Regressão Linear Simples Existem parâmetros a, b e 𝜎 2 tais que , para qualquer valor fixo da varável independente x, a variavel dependente está relacionada a x por meio da equação do modelo: 𝑌=𝑎𝑥+𝑏+𝜖 A quantidade ϵ na equação do modelo é uma variável aleatória, considerada normalmente distribuida com 𝐸 𝜖 =0 𝑒 𝑉 𝜖 = 𝜎 2 . Tal variável é chamada de desvio aleatório ou erro aleatório do modelo.

Estimando os Parâmetros do Modelo Os parâmetros do modelos devem ser determinados de forma a minimizar a soma dos quadrados dos erros (SQE) através do Métodos dos Mínimos Quadrados. A dedução dessas formulas foi feita em MAT-27/MAT-22 e complementada por MOQ-13. Obtem-se, assim, as fórmulas mostradas ao lado: â= 𝑛 𝑥 𝑖 𝑦 𝑖 − 𝑥 𝑖 𝑦 𝑖 𝑛 𝑥 𝑖 2 − 𝑥 𝑖 2 = 𝑥 𝑖 − 𝑥 𝑦 𝑖 − 𝑦 𝑥 𝑖 − 𝑥 2 𝑏 = 𝑦 𝑖 𝑥 𝑖 2 − 𝑥 𝑖 𝑦 𝑖 𝑥 𝑖 𝑛 𝑥 𝑖 2 − 𝑥 𝑖 2 = 𝑦 −𝑎 𝑥 𝜎 2 = 1 𝑛−2 𝑎 𝑥 𝑖 +𝑏− 𝑦 𝑖 2

Inferências sobre o Coeficiente Angular Com frequência, o coeficiente angular b é a meta final de toda a análise de regressão (coeficiente de calibração); Pode-se mostrar que (Ver Devore Seção 12,3): â= 𝑥 𝑖 − 𝑥 𝑦 𝑖 − 𝑦 𝑥 𝑖 − 𝑥 2 𝜎 â 2 = 𝜎 2 𝑥 𝑖 − 𝑥 2 Visto que o valor obtido pelo MMQ a partir de uma amostra é apenas uma estimativa do valor do coeficiente angular da reta de regressão populacional, a mesma distribui-se como uma t de Student com n-2 graus de liberdade; Assim, um Intervalo de Confiança de 100 1−𝛼 % para o coeficiente angular a da reta de regressão real é: 𝑎−â ≤ 𝑡 𝛼 2 ,𝑛−2 𝜎 â

Inferências sobre o Coeficiente Linear É exatamente análoga ao que já foi apresentado acerca do coeficiente angular: 𝑏 = 𝑦 𝑖 𝑥 𝑖 2 − 𝑥 𝑖 𝑦 𝑖 𝑥 𝑖 𝑛 𝑥 𝑖 2 − 𝑥 𝑖 2 = 𝑦 −𝑎 𝑥 𝜎 𝑏 2 = 𝜎 2 𝑥 𝑖 2 𝑛 𝑥 𝑖 2 − 𝑥 𝑖 2 A variável distribui-se como uma t de Student com n-2 graus de liberdade. Assim, um Intervalo de Confiança de 100 1−𝛼 % para o coeficiente linear a da reta de regressão real é: 𝑏− 𝑏 ≤ 𝑡 𝛼 2 ,𝑛−2 𝜎 𝑏

Inferências sobre valores o valor da função de calibração Da mesma forma que o erro associados aos parâmetros da melhor reta recai sobre uma distribuição t de Student, a previsão de valores futuros de y a partir da melhor reta também obedece a mesma distribuição com os mesmos n-2 graus de liberdade; Visto que o processo de amostragem é finito, a forma como os pontos de calibração são escolhidos influencia o resultado final; Após algum algebrismo (Ver Seção 12.4 do Devore) obtém-se a seguinte expressão para o erro do valor de 𝑓( 𝑥 ∗ ) estimada: 𝜎 𝑦 = 𝜎 1 𝑛 + 𝑥 ∗ − 𝑥 2 𝑥 𝑖 − 𝑥 2 Assim, um Intervalo de Confiança de 100 1−𝛼 % para um valor de y estimado a partir de uma reta de regressão real é: 𝑦−(â 𝑥 ∗ + 𝑏 ) ≤ 𝑡 𝛼 2 ,𝑛−2 𝜎 𝑦

Inferências sobre valores futuros de y É razoável esperar que os pontos experimentais estejam dispersos em torno dessa melhor reta. Essa dispersão é maior do que a dispersão da reta em si. Assim, após algum algebrismo (Ver Seção 12.4 do Devore) obtém-se a seguinte expressão para o erro da variável y estimada: 𝜎 𝑦 = 𝜎 1+ 1 𝑛 + 𝑥 ∗ − 𝑥 2 𝑥 𝑖 − 𝑥 2 Uma aplicação importante dessa equação é na aplicação do critério de Chauvenet.

Verificando a Viabilidade do Modelo IMPORTANTE!!!! Antes de continuar a análise dos dados, é importante verificar se o modelo probabilístico linear é plausível ; Se os pontos não tenderem a se agrupar ao redor de uma reta com aproximadamente o mesmo grau de dispersão para todo x, devem ser investigados outros modelos; Uma forma analítica de verificar a compatibilidade dos dados com o modelo linear (ou qualquer outro modelo, com a devida adaptação) é através do Coeficiente de Determinação ( 𝑟 2 ). Uma forma de verificar a dispersão dos pontos é usando um gráfico de resíduos padronizado.

Resíduos padronizados Analisa a dispersão dos pontos em torno da curva ajustada 𝑒 𝑖 ∗ = 𝑦 𝑖 − 𝑦 𝑖 𝑠 1− 1 𝑛 − 𝑥 𝑖 − 𝑥 2 𝑆 𝑥𝑥

O Coeficiente de Determinação Qual porção da variabilidade de y pode ser atribuida ao fato de que x e y estão relacionados linearmente? Quão bem o meu modelo é capaz de explicar a variabilidade de y a partir do modelo linear proposto? A soma dos quadrados dos erros SQE pode ser interpretada como uma medida da quantidade de variação em y deixada inexplicada pelo modelo, ou seja, que não pode ser atribuido a uma relação linear. Uma medida quantitativa da quantidade total de variação nos valores observados de y é dada pela soma total dos quadrados (SQT). 𝑆𝑄𝐸= 𝑦 𝑖 − 𝑎 𝑥 𝑖 +𝑏 2 𝑆𝑄𝑇= 𝑦 𝑖 − 𝑦 2

O Coeficiente de Determinação Por fim, o Coeficiente de Correlação 𝑟 2 é interpretado como a proporção da variação de y observada que pode ser explicada pelo modelo de regressão proposto. A saber: 𝑟 2 =1− 𝑆𝑄𝐸 𝑆𝑄𝑇 Quanto mais próximo de 1, melhor a aproximação alcançada pelo modelo. Se o coeficiente for muito pequeno é aconselhável buscar modelos que melhor se adaptem aos resultados. Uma variação importante desse coeficiente é o coeficiente 𝑟 2 ajustado (frequentemente representado com uma barra). A correção proposta tenta levar em consideração o numero de parâmetros estimados pelo modelo de forma que, diferentemente de 𝑟 2 , seu valor ajustados só cresça se a introdução de um novo parâmetro aprimorar o modelo mais do que o que seria esperado por “sorte”. É uma parâmetro muito importante de comparação entre modelos. 𝑟 2 =1− 1− 𝑟 2 𝑛−1 𝑛−𝑝 n é o número de pontos amostrados e p o número de parâmetros calculados pelo modelo.