Método dos Elementos de Fronteira e Métodos Híbridos Vitor Maló Machado I. S. T., Maio de 2011

Equações do tipo elíptico – Formulação diferencial Considere-se a equação diferencial linear não homogénea (1) em que L é um operador linear do tipo elíptico (2) Esta equação tem a forma da equação de difusão (a=1/m, g = jws e g =- Js) ou a d’Alembert no domínio da frequência (esta última chamada de equação de Helmoltz) (a=1, g=-(k2-b2) e g=0). No caso em que g=0 obtem-se a chamada equação de Poisson (caso estacionário): em problemas do campo magnético, a=1/m, g=-J, em problemas do campo eléctrico, em meios dieléctricos, a=e, g=-r, em meios condutores, a=s, g=0. Teorema da unicidade de solução: A solução de (1) existe e é única se e só se as condições de fronteira forem do tipo de Dirichlet ou de Neumann, mas não conjuntamente as duas, ou uma sua combinação linear, em todos os pontos da fronteira SV do domínio V.

Equações Elípticas – Formulação Integral Teorema de Green Tendo em conta que e obtem-se subtraindo membro a membro e aplicando o teorema da divergência:

Função de Green, G, é a solução da equação Obtem-se assim o resultado

Função de Green A função G pode ser interpretada como o potencial do ponto de observação criado por uma distribuição pontual (filiforme para um problema a duas dimensões) da fonte do campo. Caso de meios homogéneos no espaço aberto não dispersivos (equação de Poisson) Formulação integral em volume (meios homogéneos no espaço aberto – caso de problemas a 3D)

Solução da equação homogénea, formulação integral em superfície No caso da equação ser homogénea (ausência de fontes, g=0), então a solução é potencial de uma dupla camada potencial de uma distribuição superficial de cargas

Método dos elementos de fronteira – regiões de fontes nulas (g=0) No método dos elementos de fronteira, a discretização é feita em superfície. A particularização que se apresenta é para casos de domínios V onde não existem fontes do campo – as fontes do campo estão nas regiões exteriores ao domínio. A equação anterior vai ser aplicada aos pontos da fronteira SV. Logo estamos perante o caso em que para cada ponto de observação existirá sempre um ponto de integração (o próprio ponto) coincidente com o ponto de observação e portanto onde as funções nucleares (Kernel) são singulares. Mas o integral é regular! O resultado obtem-se deformando a fronteira em torno do ponto de singularidade através de uma semi-esfera de raio r0, centrada no ponto de singularidade, e subtraindo a contribuição desta semi-esfera para o limite em que r0 tende para zero. Essa contribuição é metade do potencial do ponto de observação.

Verificação para problemas 3D do tipo de Poisson Seja S0 a semi-esfera de raio r0. A contribuição dessa semi-esfera para o potencial no seu centro será então dada por: pois a direcção normal em S0 é a direcção radial. Tendo em conta a forma da função de Green G (problemas 3D de Poisson), obtem-se

Formulação do BEM A formulação para o método dos elementos de fronteira (BEM) vem assim Consideremos agora a fronteira discretizada em ES elementos (elementos de fronteira) e NS nodos de modo que a função potencial seja decomposta num desenvolvimento em termos das funções de base em cada elemento e, tal como se fez para o FEM Consideremos que é constante em cada elemento.

A equação anterior pode assim escrever-se na forma matricial Para elementos triangulares, tomando interpolações de 1ª ordem, a matriz [A], de dimensão NSxNS, é dada por

A matriz [B], de dimensão NSxES, ordem é dada por Os integrais que constam em apk e bpe podem ser calculados analíticamente tendo em conta a função de Green, a sua derivada na direcção normal e as funções de base tomadas. Estes integrais podem igualmente ser calculados por técnicas numéricas como por exemplo técnicas de integração por quadratura. A derivada normal da função de Green é dada por

Problemas de 1ª espécie Problemas de 2ª espécie Para problemas de 1ª espécie em que se conhecem os potencias nos NS nodos da discretização da fronteira SV, a solução do problema pode ser obtida, tendo em conta o resultado de Gauss para problemas sobre-determinados A matriz [B]T[B] é uma matriz definida positiva e portanto não singular se as colunas de [B] forem linearmente independentes. Problemas de 2ª espécie Para problemas de 2ª espécie em que se conhecem os valores das derivadas normais da função potencial em cada elemento da discretização da fronteira SV, a solução do problema pode ser obtida por

Métodos híbridos Métodos híbridos são aqueles que resultam da combinação de métodos diferentes para a resolução das equações fundamentais do campo. O FEM é apropriado para a resolução de problemas de “fronteiras fechadas”. Para problemas de “fronteiras abertas”, o uso do FEM obriga à adopção de adaptações apropriadas do método já anteriormente referidas. A adopção de métodos híbridos são uma possibilidade. O caso mais frequente consiste na combinação do FEM com o BEM, de modo a aproveitar-se as vantagens de cada método. O FEM é adequado para tratamento de regiões contendo as fontes do campo, não homogéneas, não lineares ou anisotrópicas com fronteiras de configuração irregular. O BEM é adequado para tratamento de regiões abertas e, em geral, homogéneas. Assim, é natural a consideração de uma superfície fictícia Sf dividindo o espaço numa região interior de volume V limitada por Sf contendo as heterogeneidades, as fronteiras irregulares e as fontes campo, e numa região exterior ilimitada e homogénea. Na região interior, a aproximação do campo é descrita pela formulação do FEM. Na região exterior a formulação é decorrente do BEM.

Formulação do método híbrido FEM/BEM A formulação do método dos elementos finitos corresponde em que a matrizes [M] e (H) são as definidas anteriormente quando se introduziu o FEM. O índice i diz respeito aos nodos interiores não pertencentes à fronteira fictícia Sf, o índice S diz respeito aos nodos de Sf e o índice e diz respeito aos elementos de superfície de Sf . A matriz [U] é de dimensão NSxES

Assim, combinando o FEM com o BEM, obtem-se a equação matricial As matrizes A e B são as referidas para o BEM (com os sinais trocados pois a normal n do domínio V limitado por Sf tem o sentido contrário da normal ao domínio exterior de V). A ordem matricial é N+ES. A matriz principal deixou, todavia de ser simétrica e de banda, embora seja esparsa.

Método híbrido FEM/FA (forma analítica) problemas 2D Considere-se para o espaço exterior, homogéneo, a uma superfície cilíndrica de raio r0 (DFT) Na forma matricial, vem em que

Pelo que, em consequência de [W] ser matriz unitária Se fizermos então as linhas e colunas das matrizes [W] e [Q] variam l, n=1, ..., M, M+1, M+2, ..., 2M+1=NS. Por fim, pode obter-se a matriz dos valores em cada elemento da superfície fictícia, adequada para problemas 2D em que [S] é a matriz de incidências, de dimensão ESxNS, da variável definida nodo a nodo da fronteira fictícia. (se a superfície fictícia for fechada ES=NS) Finalmente, obtem-se em que [E] é a matriz identidade de dimensão ESxES. A matriz [G] tem dimensão ESxNS.

Combinando-se com o FEM, obtem-se

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