Tópicos de Lógica Proposicional Cláusulas de Horn Resolução Referência: Language, Proof and Logic Jon Barwise e John Etchemendy, 1999 Capítulo: 17

Frases de Horn Forma Normal Conjuntiva- para frases sem quantificadores conjunção de frases cada elemento da conjunção é disjunção de literais literal: frase atómica ou a sua negação Frase Horn frase na Forma Normal Conjuntiva cada disjunção tem no máximo 1 literal positivo

Exemplos Não são Horn ØNaSala(Ana) Ù (NaSala(Rui) Ú Feliz(Luis)) (NaSala(Ana) Ú NaSala(Rui) Ú ØFeliz(Ana)) ÙØFeliz(Luis) NaSala(Ana) Ú NaSala(Rui) Ú ØNaSala(Luis) São Horn ØNaSala(Ana) Ù (NaSala(Rui) Ú ØFeliz(Luis)) NaSala(Ana) Ù NaSala(Rui) Ù ØNaSala(Luis) NaSala(Ana) Ù ØNaSala(Rui) Ù ØNaSala(Luis) NaSala(Ana) Ù NaSala(Rui) Ù (ØNaSala(Rui) Ú ØNaSala(Rui))

Satisfação de frases de Horn Para averiguar satisfação de frases de Horn Tabela de verdade: mecânico mas caro: 2n linhas para n átomos Nas frases Horn basta construir 1 linha. Algoritmo: Átomos que aparecem como elementos da conjunção: V na coluna de referência Usar colunas de referência para preencher colunas da frase e vice-versa Acabar quando não se pode concluir sobre o valor de mais nenhuma coluna Que concluir do algoritmo de satisfação de frases de Horn? Um dos elementos da conjunção toma o valor F a frase é não satisfazível Processo termina sem atribuir F a nenhum elemento da conjunção a frase é satisfazível podem preencher-se as restantes colunas de referência com F

Algoritmo de satisfação de frases Horn Exemplo: NaSala(Ana) Ù ØNaSala(Rui) Ù (NaSala(Rui) Ú ØNaSala(Ana)) A R A Ù ØR Ù (R Ú ØA) V Átomo A é elemento da conjunção, a coluna de referência terá V F A R A Ù ØR Ù (R Ú ØA) Se ØA é F, R terá de ser V V V F ØR tem valor F, e é elemento da conjunção: frase não satisfazível A R A Ù ØR Ù (R Ú ØA) V V F F

Exemplo Exemplo: A fórmula é satisfazível (ØA Ú ØB) Ù (ØB Ú C) Ù B A B C (ØA Ú ØB) Ù (ØB Ú C) Ù B B é elemento da conjunção, tem de ter valor V V F F A B C (ØA Ú ØB) Ù (ØB Ú C) Ù B C tem de ter valor V, e não há mais atribuições V V F F A fórmula é satisfazível se atribuir F a A, a linha resultante da tabela atribui V à fórmula

Formalizar satisfação Tabelas de verdade explicitam circunstâncias em que uma fórmula é verdadeira são informais não são manipuláveis matematicamente Noção formal: atribuição de verdade função h do conjunto de fórmulas atómicas de uma linguagem de 1ª ordem para o conjunto dos valores de verdade {V, F} para cada fórmula atómica A, h(A) é V ou é F cada atribuição de verdade corresponde a uma linha das colunas de referência de uma tabela de verdade

Atribuição de verdade h: atribuição de verdade fórmula arbitrária: o que significa h torná-la verdadeira ou falsa? h’ : definida no conjunto de todas as fórmulas, estende h toma valores no conjunto dos valores de verdade {V, F} na “tabela de verdade da linguagem” h preenche uma só linha, e só as colunas de referência h’ preenche as restantes colunas para todas as fórmulas da linguagem Definição de h’ : de acordo com significado das conectivas h’(ØQ) = V se e só se h’(Q) = F h’(QÙR) = V se e só se h’(Q) = V e h’(R) = V h’(QÚR) = V se e só se h’(Q) = V ou h’(R) = V, ou ambos .

Satisfação de fórmulas Fórmula S é satisfazível existe atribuição de verdade h tal que h’(S) = V Fórmula S é logicamente verdadeira para toda a atribuição de verdade h, h’(S) = V Noção central: consequência lógica Fórmula S é consequência lógica de um conjunto de fórmulas T sse toda a atribuição de verdade que torna todas a fórmulas de T verdadeiras também torna S verdadeira T È {ØS} elementos são todas as fórmulas em T e mais ØS Proposição: S é consequência lógica de um conjunto de fórmulas T se e só se o conjunto T È {ØS} não é satisfazível

Algoritmo de satisfação de frases Horn Teorema 2: O algoritmo classifica como satisfazíveis exactamente as fórmulas de Horn satisfazíveis Refraseando: uma fórmula Horn é satisfazível se e só se é classificada como satisfazível pelo algoritmo Fórmula S é satisfazível ® algoritmo classifica S como satisfazível Se S é classificada como não satisfazível: não existe atribuição de valores de verdade que a satisfaça S é não satisfazível sendo S satisfazível S é classificada como satisfazível (SÓ SE)

Algoritmo de satisfação de frases Horn Teorema 2 (cont.) Fórmula S é classificada como satisfazível: fórmula é satisfazível S é conjunção de disjunção de literais cada disjunção tem no máximo 1 literal positivo S verdadeira na atribuição h’: cada elemento da conjunção verdadeiro em h’ um literal em cada disjunção tem valor V Em cada disjunção se tem só um literal positivo: foi posto a V pelo algoritmo se tem alguns literais negativos e 1 positivo: se todos os literais negativos foram postos a F: o literal positivo foi posto a V se o processo termina: as frases atómicas restantes são postas a F fazendo algum dos literais negativos ficar com V se tem só literais negativos: nem todos foram postos a F, senão S resultaria não satisfazível algum se torna V quando as frases atómicas restantes são postas a F (SE)

Frases com dependências Algoritmo de satisfação de frases Horn: assume frases atómicas independentes Se as frases não são independentes a “linha de tabela” que se constrói pode ser espúria não se pode concluir sobre a satisfação Exemplo Small(b) Ù (ØSmall(b) Ú Cube(b)) Ù (ØCube((b) Ú Tet(b)) aplicando o algoritmo: frase é satisfazível num mundo que a satisfaça: b tem de ser pequeno, cubo e tetraedro Para resolver: modificar algoritmo atribuição de F às frases atómicas restantes: testar se produz linha espúria se linha é espúria, procurar alternativa (não há procedimento sistemático)

Automatizar demonstração Problema: descobrir se uma frase é consequência lógica de outra Usando intuição Se é consequência: demonstra-se usando métodos de prova Se não é: procura-se um contraexemplo: atribuição que torna as premissas verdadeiras e a conclusão falsa Como automatizar? Usando tabelas de verdade: grande ineficiência Algoritmo de satisfação para frases Horn: eficiente Resolução: aplicável a frases em forma normal conjuntiva eficiente generaliza para frases quantificadas

Cláusulas Conjuntos de cláusulas Cláusula: conjunto finito de literais C1= {ØSmall(a), Cube(a), Backof(b,a)} C2= {Small(a), Cube(b)} Cláusula vazia: Cláusula é satisfeita por uma atribuição de verdade h: pelo menos um dos literais da cláusula tem o valor V em h não é satisfeita por qualquer atribuição C ⁄ : h satisfaz C sse a disjunção das frases em C tem o valor V em h’ Satisfação de um conjunto S de cláusulas S é satisfeito por h desde que cada cláusula de S seja satisfeita por h A fórmula (CNF) obtida pela conjunção das disjunções correspondentes às fórmulas de S é satisfeita por h’

Resolução Método: provar que a frase S (em CNF) não é satisfazível Para mostrar que um conjunto S de cláusulas não é satisfazível: mostrar que um conjunto maior S’ obtido do primeiro também não o é válido desde que S e S’ sejam satisfeitos exactamente pelas mesmas atribuições Método: provar que a frase S (em CNF) não é satisfazível transformar S num conjunto de cláusulas disjunções de literais passam a cláusulas com os mesmos literais conjunção passa a conjunto de cláusulas adicionar sistematicamente novas cláusulas - resolventes novas são tais que o conjunto é satisfeito pelas mesmas atribuições se chegarmos a um conjunto que contém , a frase inicial não é satisfazível

Resolventes Exemplo1 Exemplo2 C1= {ØSmall(a), Cube(a), Backof(b,a)} C2= {Small(a), Cube(b)} Para satisfazer {C1, C2} é preciso atribuir V a pelo menos 1 de Cube(a) Backof(b,a) Cube(b) C3 = {Cube(a), Cube(b), Backof(b,a)} é um resolvente de C1 e C2 {C1, C2, C3} é satisfeito pelas mesmas atribuições que {C1, C2} Exemplo2 C1= {NaSala(Rui), NaSala(Ana)} C2= {ØNaSala(Rui)} C3= {ØNaSala(Ana)} Uma atribuição que satisfaz {C1, C2, C3} satisfaz C4 = {NaSala(Rui)} {C1, C2, C3, C4} não é satisfazível

Resolvente Definição: (resolvente) Exemplos R é uma resolvente das cláusulas C1 e C2 se existe uma fórmula atómica numa delas e a sua negação na outra, sendo R o conjunto de todos os restantes literais de ambas. Exemplos {A,D} {ØA} {D} {A, ØA} {A} {A} {D} {ØD} { } {B,C} {ØB, ØD} {C, ØD}

Correcção da resolução Teorema: Sendo S um conjunto não satisfazível de cláusulas numa linguagem com frases atómicas independentes, é sempre possível, por resolução sucessiva, chegar a . Exemplo ØA Ù (B Ú C Ú B) Ù (ØC Ú ØD) Ù (A Ú D) Ù (ØB Ú ØD) Conversão em conjunto de cláusulas {ØA}, {B, C}, {ØC, ØD}, {A, D}, {ØB, ØD} Usar resolução para mostrar que o conjunto não é satisfazível {B,C} {ØC, ØD} {B, ØD} {A,D} {ØA} {D} {ØB, ØD} {ØD}

Consequência lógica Provar consequência lógica usando resolução Para mostrar que C é consequência lógica de P1, P2, …, Pn Usar resolução para provar que P1 Ù P2 Ù … Ù Pn Ù ØC não é satisfazível reduzir a forma normal conjuntiva converter em conjunto de cláusulas aplicar resolução

Forma condicional Em geral Casos particulares (NaSala(Ana) Ù NaSala(Rui)) ® Feliz(Luis) Substituindo o condicional pela sua definição em termos de Ø e Ú ØNaSala(Ana) Ú ØNaSala(Rui) Ú Feliz(Luis) obtém-se uma disjunção com um só literal positivo Em geral frase de Horn é conjunção de frases cada frase da conjunção é disjunção com 1 literal positivo e vários negativos ØA1 Ú ØA2 Ú … Ú ØAn Ú B pode ser reescrita como (A1 Ù A2 Ù … Ù An) ® B Casos particulares Disjunção sem literal positivo: (A1 Ù A2 Ù … Ù An) ® False Disjunção sem literais negativos: True ® B

Forma condicional de frase de Horn Uma frase de Horn em lógica proposicional é logicamente equivalente a uma conjunção de afirmações condicionais de uma das três formas seguintes (A1 Ù A2 Ù … Ù An) ® B (A1 Ù A2 Ù … Ù An) ® False True ® B Resolução: proposto e desenvolvido por Alan Robinson (1965) apropriado para a demonstração automática de teoremas problemas formulados como séries de condicionais e bicondicionais: a transformação em CNF é imediata