Integração Numérica – Áreas e Equações Pedro Barahona DI/FCT/UNL Introdução aos Computadores e à Programação 2º Semestre 2005/2006 6 Abril 2006 Integração Numérica - Áreas e Equações

Áreas e Integração Como é sabido a superfície delimitada pelo gráfico de uma função pode ser obtida através de uma integração. Com efeito, denotando por A(x) a área da função f desde o ponto x= x0 até ao ponto x temos dA = A(x+h) – A(x)  f(x)  h x0 x x + h A dA f(x) 6 Abril 2006 Integração Numérica - Áreas e Equações

Integração Numérica - Áreas e Equações Áreas e Integração Naturalmente, o erro só é eliminado na passagem ao limite, isto é, quando h  0. Assim de A(x+h) – A(x)  f(x)  h obtemos x0 x x + h A dA f(x) 6 Abril 2006 Integração Numérica - Áreas e Equações

Integração Numérica - Áreas e Equações Áreas e Integração Ora se a função f é a derivada em ordem a x da função A (área), temos inversamente que a função A é a primitiva de f em ordem a x Desta forma, para determinar a área debaixo da função f, basta-nos determinar a primitiva de f e subtrair os seus valores nos limites de x, o que se denota habitualmente por A a b 6 Abril 2006 Integração Numérica - Áreas e Equações

Integração Numérica - Áreas e Equações Áreas e Integração Exemplo: Para determinarmos a área abaixo da curva y = f(x) = 3x entre x = 1 e x = 5, obtemos primeiro e portanto 15 3 1 3 5 A = 4*(3+15)/2 = 36 6 Abril 2006 Integração Numérica - Áreas e Equações

Integração Numérica - Áreas e Equações Áreas e Integração Infelizmente, todo este processo depende de se conseguir obter uma forma analítica para a função F(x), primitiva de f(x). Num conjunto significativo de situações tal não é possível, pelo que a integração se tem de fazer , não por métodos analíticos, mas sim através de métodos numéricos aproximados. A a b 6 Abril 2006 Integração Numérica - Áreas e Equações

Integração Numérica - Áreas e Equações Áreas e Integração A integração pode ser pois aproximada por uma soma (aliás o símbolo de integração corresponde ao S de soma estilizado). Denotando por ai a área dos rectângulos, com “canto inferior esquerdo” no ponto xi, temos x0 x1 xn-2 xn-1 xn 6 Abril 2006 Integração Numérica - Áreas e Equações

Integração Numérica - Áreas e Equações Áreas e Integração Mas ai  f(xi)  (xi+1-xi) = f(xi)  dx e portanto a soma pode reescrever-se como que no limite corresponde ao integral referido atrás O cálculo da área “debaixo de uma função”, e portanto a integração numérica dessa função podem ser aproximados por uma soma. 6 Abril 2006 Integração Numérica - Áreas e Equações

Integração Numérica - Áreas e Equações Exemplo: Cálculo de p O valor de p pode ser obtido através da área de um círculo de raio 1 (cujo valor é exactamente p). Na prática é preferível obter o valor de pi/4, área do quarto de circulo, limitado pela função no intervalo entre x = 0 e x = 1 . p 4 6 Abril 2006 Integração Numérica - Áreas e Equações

Integração Numérica - Áreas e Equações Exemplo: Cálculo de p function p = pi_area(n) a = 0; x = 0; dx = (1-0) / n; for i = 0 : n-1 x = x + dx; a = a + sqrt(1-x^2)*dx; endfor p = 4 * a; endfunction p 4 6 Abril 2006 Integração Numérica - Áreas e Equações

Integração de Equações Diferenciais Apesar de ilustrado com o cálculo de áreas, o cálculo integral tem uma utilidade muito mais geral, sendo por exemplo aplicável a praticamente todos os domínios da Física. Os exemplos atrás ilustrado correspondem de facto a um caso particular de equações diferenciais, Estas são equações em que são utilizadas não (apenas) as funções mas (também) as suas derivadas. Por exemplo, a área do trapézio poderia ser obtida através da equação através de um processo de integração, ou seja, determinação da função A(x), e subtraindo os seus valores nos pontos x = 1 e x = 5. 6 Abril 2006 Integração Numérica - Áreas e Equações

Integração de Equações Diferenciais Em Física é muito frequente defrinirem-se grandezas como função não de outras grandezas mas também da sua variação. Por exemplo, a velocidade é a variação da posição em ordem ao tempo a aceleração é a variação da velocidade em ordem ao tempo Tendo em conta que a força é proporcional à aceleração, o movimento de um corpo (isto é, a função de posição ao longo do tempo x(t) ) pode ser determinado a partir das forças que actuam sobre um corpo. 6 Abril 2006 Integração Numérica - Áreas e Equações

Integração de Equações Diferenciais Por exemplo, no caso da queda de um grave (por acção da gravidade), a única força que actua é a força da gravidade, que se pode considerar constante para um determinado à superfície da Terra. F = m  g Sendo a força e a aceleração (g) constantes, pode-se determinar facilmente a velocidade de um corpo através de 6 Abril 2006 Integração Numérica - Áreas e Equações

Integração de Equações Diferenciais Neste caso, sendo a aceleração é constante a(t) = g, pelo que a sua primitiva pode ser determinada analiticamente em que v0 é a velocidade inicial (no instante t = 0). Da mesma forma se pode obter a posição do ponto, através da integração da função velocidade sendo x0 a posição inicial (no instante t = 0). 6 Abril 2006 Integração Numérica - Áreas e Equações

Integração de Equações Diferenciais Esta integração pode naturalmente ser feita através dos métodos numéricos discutidos anteriormente. function v = velocidade(t, v0, n) t = 0; v = v0; dt = t/n; for i = 1 : n v = v + g * dt % g = dv/dt endfor endfunction 6 Abril 2006 Integração Numérica - Áreas e Equações

Integração de Equações Diferenciais A posição do grave é obtida identicamente. function x = posicao(tf, x0, v0, n) x = x0; dt = tf/n; for i = 1 : n x = x + velocidade(t,v0,i)* dt t = t + dt; endfor endfunction 6 Abril 2006 Integração Numérica - Áreas e Equações

Integração de Equações Diferenciais A eficiência desta função é muito baixa. Com efeito, para se obter a posição xi é necessário determinar a velocidade vi que se determina com i somas (a0 dt+ a1dt + a2 dt + ... + ai dt). for i = 1 : i v = v + g * dt % ai = g endfor Para calcular a posição xi+1 é necessário determinar a velocidade em xi+1. Mas em vez de reaproveitar a soma anterior, adicionando um termo ai+1 dt, o programa vai calcular novamente a soma desde o início, isto é, soma de i+1 termos. Obviamente, a eficiência aumentará bastante se combinarmos os dois ciclos num só. 6 Abril 2006 Integração Numérica - Áreas e Equações

Integração de Equações Diferenciais O programa abaixo faz essa combinação function x = posicao_2(tf, x0, v0, n) g = 9.8 v = v0; x = x0; dt = tf/n; for i = 1 : n v = v + g * dt; x = x + v * dt; % velocidade(t,v0,n)* dt % t = t + dt; t não é usado ! endfor endfunction 6 Abril 2006 Integração Numérica - Áreas e Equações

Integração de Equações Diferenciais A integração numérica, tem naturalmente a desvantagem de não ser exacta, sendo necessário algum cuidado para garantir que a aproximação obtida é “conveniente”. Por outro lado, ela é muito mais flexível que a integração analítica, já que não requer a obtenção de “primitivas” ou métodos analíticos de resolução de equações diferenciais. Por exemplo, assumamos que com a resistência do ar, existe uma força contrária à queda, proporcional à velocidade, ou seja f = mg – rv 6 Abril 2006 Integração Numérica - Áreas e Equações

Integração de Equações Diferenciais Como, pelas leis de Newton, f = m a teríamos ma = mg - rv e portanto a = g – kv % com k = r /m o que poderia ser escrito como podendo x(t) ser obtido por integração desta equação diferencial. Por métodos numéricos, basta substituir a fórmula da aceleração no programa anterior! 6 Abril 2006 Integração Numérica - Áreas e Equações

Integração de Equações Diferenciais O programa abaixo faz essa alteração, acrescentando o coeficiente de atrito k, como parâmetro de entrada function x = posicao_3(tf, x0, v0, k, n) g = 9.8 v = v0; x = x0; dt = tf/n; for i = 1 : n v = v + (g - k*v) * dt % a = g – k*v x = x + v * dt endfor endfunction 6 Abril 2006 Integração Numérica - Áreas e Equações