II. Programação Linear (PL) Capítulo 7.1: O problema de transporte (PT). Definição e apresentação sobre forma de rede. Formulação do caso equilibrado e não equilibrado. Exemplos Propriedades fundamentais. ©2000-2001 Prof.ª Gladys Castillo

Problema de Transporte. Exemplo Protótipo Um dos principais produtos da firma Lactosal é o leite. Os pacotes de leites são empacotados em 3 fábricas e depois são distribuídos de camião para quatro armazéns Conhecendo os custos de transporte, a procura prevista para cada armazém e as capacidades de produção de cada fábrica, pretende-se: OPTIMIZAR O PROGRAMA DE DISTRIBUIÇÃO DIÁRIO DO LEITE. ©2000-2001 Prof.ª Gladys Castillo

Problema de Transporte. Exemplo Protótipo Os dados dos custos de uma carga de leite para cada combinação fábrica-armazém e das ofertas(produção) e procuras, em cargas de camião/dia, são os seguintes: Custo por carga de camião Armazéns Fábricas 1 2 3 4 Oferta 6 8 10 Procura 7 24 cargas diárias de leite devem ser produzidas e distribuídas ©2000-2001 Prof.ª Gladys Castillo

Formulação do Problema de Transporte. Exemplo Protótipo. Minimizar z = x11 + 2 x12 + 3 x13 + 4 x14 + 4 x21 + 3 x22 + 2 x23 + 4 x24 + 2 x32 + 2 x33 + x34 sujeito a: x11 + x12 + x13+ x14 = 6 x21 + x22 + x23+ x24 = 8 x31 + x32 + x33+ x34 = 10 x11 + x21 + x31 = 4 x12 + x22 + x32 = 7 x13 + x23 + x33 = 6 x14 + x24 + x34 = 7 xij  0 ( i=1,2,3; j=1,2,3,4 ) ©2000-2001 Prof.ª Gladys Castillo

Matriz de Restrições do Problema de Transporte. Exemplo Protótipo. A matriz das restrições do problema de transporte para o exemplo protótipo apresenta a seguinte estrutura: x11 x12 x13 x14 x21 x22 x23 x24 x31 x32 x33 x34 A= ©2000-2001 Prof.ª Gladys Castillo

Problema de Transporte sob a forma de Rede. Exemplo Protótipo. Fábricas Armazéns c11 1 1 x11 2 2 3 c34 3 4 x34 ©2000-2001 Prof.ª Gladys Castillo

Problema de Transporte. Do Exemplo ao Modelo do PT Cargas de leite Unidades de um produto 3 fábricas m origens 4 armazéns n destinos Produção da fábrica i ai oferta da origem i Procura no armazém j bj procura no destino j Custo de transporte por carga da fábrica i para o armazém j cij custo por unidade transportada da origem i para o destino j ©2000-2001 Prof.ª Gladys Castillo

Problema de Transporte. Do Exemplo ao Modelo do PT xij cargas a distribuir da fábrica i para o armazém j xij unidades a distribuirda origem i para o destino j Determinar o plano óptimo de distribuição desse produto das origens pelos destinos tendo como objectivo a minimização do custo total Determinar o plano óptimo de distribuição diária do leite das fábricas pelos armazéns tendo como objectivo a minimização do custo total ©2000-2001 Prof.ª Gladys Castillo

Problema de Transporte. Caso Equilibrado. Oferta total = Procura total Um problema de transporte está equilibrado se a oferta total é igual à procura total, caso contrário está não equilibrado. ©2000-2001 Prof.ª Gladys Castillo

Problema de Transporte.Caso equilibrado. Exemplo protótipo Oferta total = Procura total Destino Origem 1 2 3 4 Oferta 1 2 3 6 8 10 Procura 4 7 6 7 24 =24 2 4 3 x11 x12 x14 x21 x22 x24 x13 x23 x31 x32 x34 x33 Para o exemplo protótipo a oferta total é igual à procura total . Este problema está equilibrado. ©2000-2001 Prof.ª Gladys Castillo

Problema de Transporte. Formulação como problema de PL. Minimizar sujeito a: restrições de oferta restrições de procura ©2000-2001 Prof.ª Gladys Castillo

Problema de transporte sob a forma de rede. Origens Destinos c11 a1 ai am 1 i m . . . 1 j n . . . b1 bj bn x11 cij xij cmn xmn Esta figura ilustra o problema de transporte sob a forma de rede representados por nodos e arcos. Os nodos representam as origens e os destinos e os arcos representam os percursos das origens aos destinos através dos quais o produto pode ser transportado. ©2000-2001 Prof.ª Gladys Castillo

Problema de Transporte. Estrutura especial da matriz de restrições. A matriz dos coeficientes das restrições é apenas constituída por uns (1) e zeros (0) . Cada variável xij tem como coeficientes apenas 2 uns : um na linha associada à origem i e outro na linha relativa ao destino j O problema de transporte apresenta uma estrutura especial evidenciada pela disposição das restrições: x11 x12 ... x1n x21 x22 ... x2n … xm1 xm2 ... xmn A= . . . restrições das origens restrições dos destinos ©2000-2001 Prof.ª Gladys Castillo

Problema de Transporte. Oferta total superior à procura total Destino Origem 1 2 … n n+1 Oferta 1 2 . . . m a1 a2 . . . am Procura b1 b2 … bn ai - bj c11 c12 c1n c21 c22 c2n cm1 cm2 cmn x11 x12 x1n … x21 x22 x2n xm1 xm2 xmn . . . x1 n+1 x2 n+1 xm n+1 Adicionar destino fictício ©2000-2001 Prof.ª Gladys Castillo

Oferta total superior à procura total. Exemplo 1: Plano de Produção. Uma multinacional produz aviões comerciais para diversas companhias de aviação. A última etapa no processo de produção é a produção de motores seguido da sua instalação no avião. Para cumprir os contratos estabelecidos deve ser determinado o plano óptimo de produção dos motores para os próximos quatro meses. ©2000-2001 Prof.ª Gladys Castillo

Oferta total superior à procura total. Exemplo 1: Plano de Produção. Os dados para o plano da produção para os quatro meses futuros são os seguintes: Mês Instalações programadas Produção máxima Custo unitário de produção Custo unitário de armazenamento 1 10 25 1.08 2 15 35 1.11 0.015 3 30 1.10 4 20 1.13 os custos em milhões de dólares ©2000-2001 Prof.ª Gladys Castillo

Oferta total superior à procura total. Exemplo 1: Plano de Produção. Este problema pode ser reformulado como um problema de transporte, tomando como: Origem i - produção de motores no mês i (i =1,2,3,4) Destino j - instalação de motores no mês j (j=1,2,3,4) xij - quantidades de motores produzidos no mês i a serem instalados no mês j xij = 0, se i>j (primeiro produzir, depois instalar) cij - custo por unidade de produção e armazenamento cij= M, se i>j, como não existe custo real associado com estes dados, podem ser penalizados com um M arbitrariamente grande. ©2000-2001 Prof.ª Gladys Castillo

©2000-2001 Prof.ª Gladys Castillo Oferta total superior à procura total. Exemplo 1. Restrições de ofertas. As restrições de oferta correspondem à produção de motores para cada mês i. Estas restrições são de desigualdade limitadas pela capacidade máxima de produção por mês. x11 + x12 + x13+ x14  25 x21 + x22 + x23+ x24  35 x31 + x32 + x33+ x34  30 x41 + x42 + x43+ x44  10 Como estas restrições são de desigualdade é preciso introduzir variáveis de folga para converte-las em restrições de igualdade. Isto significa que é preciso introduzir um destino fictício, em que as variáveis de folga representam a capacidade de produção não utilizada por cada mês . ©2000-2001 Prof.ª Gladys Castillo

©2000-2001 Prof.ª Gladys Castillo Oferta total superior à procura total. Exemplo 1. Restrições de procuras. As restrições de procura correspondem ao plano de instalação para cada mês j. Estas restrições são de igualdade, correspondendo ao número de instalações requisitadas para cada mês. x11 + x21 + x31+ x32 = 10 x21 + x22 + x23+ x24 = 15 x31 + x32 + x33+ x34 = 25 x41 + x42 + x43+ x44 = 20 Como é impossível produzir motores num mês determinado para serem instalados num mês anterior, todas as variáveis de decisão correspondentes a i >j devem ser nulas. Para obter isto, é preciso penalizar os custos correspondentes a estas variáveis com um M arbitrariamente grande, tal como no método do “big M”. ©2000-2001 Prof.ª Gladys Castillo

©2000-2001 Prof.ª Gladys Castillo Oferta total superior à procura total. Exemplo 1. Quadro do problema de transporte. Este problema reformulado como problema de transporte apresenta o seguinte quadro: Os custos são calculados tomando os dados dos custos de produção e de armazenamento. Por exemplo para a variável x24 que representa o número de motores produzidos no mês 2 a serem instalados no mês 4, o custo correspondente c24 = 1.11 + 0.015+0.015 =1.140 Como a oferta total é superior à procura total foi adicionado um destino fictício com uma procura igual a: Oferta Total -Procura Total = 100 -70 = 30 u. ©2000-2001 Prof.ª Gladys Castillo

Problema de Transporte. Oferta total inferior à procura total Destino Origem 1 2 … n Oferta 1 2 . . . m m+1 a1 a2 . . . am Procura b1 b2 … bn bj - ai c11 c12 c1n c21 c22 c2n cm1 cm2 cmn x11 x12 x1n … x21 x22 x2n xm1 xm2 xmn . . . xm+1,1 xm+1,2 xm+1,n Origem fictícia ©2000-2001 Prof.ª Gladys Castillo

©2000-2001 Prof.ª Gladys Castillo Oferta total inferior à procura total Exemplo 2: distribuição de recursos de agua. Uma empresa administra a distribuição de água duma região. Para isto é preciso canalizar a água de 3 rios que estão situados fora da região e distribui-la para 4 cidades. Agora o gerente da empresa pretende distribuir toda a água disponível dos 3 rios para as 4 cidades, de forma a pelo menos satisfazer as necessidades essenciais de cada uma, minimizando o custo total. ©2000-2001 Prof.ª Gladys Castillo

©2000-2001 Prof.ª Gladys Castillo Oferta total inferior à procura total Exemplo 2: distribuição de recursos de água. Os dados dos custos e requerimentos para o plano de distribuição de água são os seguintes: A cidade 3 tem uma fonte independente da água que satisfaz as suas necessidades mínimas Cidade Rio 1 2 3 4 Fornece 16 13 22 17 50 14 19 15 60 20 23 - Necessidades mínimas 30 70 10 Procura  O rio 3 não pode fornecer a cidade 4, o que significa nos termos do problema de transporte que este percurso é impossível. Neste caso é preciso penalizar este percurso com um M arbitrariamente grande. A cidade 4 aceita toda a água que seja possível enviar além da sua necessidade mínima de 10 u.m. os custos por unidade de medida. ©2000-2001 Prof.ª Gladys Castillo

©2000-2001 Prof.ª Gladys Castillo Oferta total inferior à procura total Exemplo 2: distribuição de recursos de água. Este problema pode ser reformulado como um problema de transporte, tomando como: Origem i – o rio i (i =1,2,3) Destino j – a cidade j (j=1,2,3,4) xij - quantidade de água a enviar do rio i para a cidade j cij - custo unitário da distribuição da água do rio i para a cidade j ©2000-2001 Prof.ª Gladys Castillo

©2000-2001 Prof.ª Gladys Castillo Oferta total inferior à procura total Exemplo 2. Restrições de ofertas. As restrições de oferta correspondem às restrições dos rios (origens). Como deverá ser distribuída toda a água disponível dos 3 rios, estas 3 restrições são de igualdade, uma por cada rio. x11 + x12 + x13+ x14 = 50 x21 + x22 + x23+ x24 = 60 x31 + x32 + x33+ x34 = 50 ©2000-2001 Prof.ª Gladys Castillo

©2000-2001 Prof.ª Gladys Castillo Oferta total inferior à procura total Exemplo 2. Restrições de procura. As restrições de procura determinam a quantidade de água que deve ser fornecida a cada cidade, e têm limites superiores e inferiores (excepto a cidade 2, onde coincidem a procura com a necessidade mínima). Cidade 1: procura > necessidade x11 + x21 + x31  30 limite inferior x11 + x21 + x31  50 limite superior Cidade 2: procura = necessidade x12 + x22 + x32 = 70 Cidade 3: procura > necessidade O limite superior para a cidade 4 pode ser calculado como a diferença entre a oferta total (50+ 60+50=160) e a soma das necessidades mínimas para as restantes cidades (30+ 70 =100)  160 - 100 = 60 unidades. (a quantidade máxima que pode receber a cidade 4 para além da necessidade mínima ) x13+ x23 + x33  30 limite superior Cidade 4: procura > necessidade x14 + x24 + x34  10 limite inferior x14 + x24 + x34  60 limite superior ©2000-2001 Prof.ª Gladys Castillo

©2000-2001 Prof.ª Gladys Castillo Oferta total inferior à procura total Exemplo 2. Quadro do problema de transporte. Como a oferta total é inferior à procura total foi adicionada uma origem fictícia com uma oferta igual a: Procura Total -Oferta Total = 210 -160 = 50 unidades. ©2000-2001 Prof.ª Gladys Castillo

©2000-2001 Prof.ª Gladys Castillo Oferta total inferior à procura total Exemplo 2. Análise do rio fictício. Para satisfazer as necessidades mínimas de água é preciso re-analisar os dados para cada cidade de forma a garantir que o mínimo procurado não seja fornecido pelo rio fictício. Cidade 3: Como não tem necessidade mínima, então não é preciso alterar nada. Cidade 4: procura > necessidade (60 > 10). Como o rio fictício fornece apenas 50 unidades, pelo menos fica garantido que as 10 unidades mínimas não podem ser obtidas deste rio. Não é preciso alterar nada. ©2000-2001 Prof.ª Gladys Castillo

©2000-2001 Prof.ª Gladys Castillo Oferta total inferior à procura total Exemplo 2. Análise do rio fictício. Cidade 2: procura = necessidade Esta cidade não pode ser fornecida pelo rio fictício. Para isto é preciso penalizar com M o percurso que une o rio fictício com a cidade 2. Cidade 1: procura > necessidade Esta cidade deve ser dividida em 2 destinos: um que verifica a necessidade mínima (onde o rio fictício fica penalizado) e o outro que corresponde à quantidade de água que pode ser tomada além do requerimento mínimo. ©2000-2001 Prof.ª Gladys Castillo

Oferta total inferior à procura total Exemplo 2. Formulação como P.T. Este é o quadro final dos custos para o problema de distribuição da água, formulado como problema de transporte: A cidade 1 foi dividida em duas para garantir as necessidades mínimas de 30 unidades. O rio fictício está penalizado para a cidade 1'. O rio fictício está penalizado para a cidade 2 ©2000-2001 Prof.ª Gladys Castillo

Problema de Transporte. Propriedades fundamentais(1). Se um problema de transporte está equilibrado, i.e., a oferta total é igual à procura total, então tem sempre soluções admissíveis. Se um problema de transporte não está equilibrado,i.e., a oferta total não é igual à procura total, então pode ser introduzida uma origem ou um destino fictício para converter as restrições de desigualdade em igualdade e poder obter assim um problema equilibrado. O problema de transporte tem sempre óptimo finito. Qualquer SBA do problema de transporte tem no máximo m+n-1 variáveis básicas Do total de m+n equações só m+n-1 são linearmente independentes, existindo sempre uma equação redundante, i.e., uma equação pode ser obtida como combinação linear das restantes. ©2000-2001 Prof.ª Gladys Castillo

Problema de Transporte. Propriedades fundamentais(2). A base correspondente a qualquer SBA do problema de transporte é uma matriz triangular. 1 1 0 … 0 0 0 1 1 … 0 0 0 0 1 … 0 0 ... 0 0 0 … 1 1 0 0 0 … 0 1 B= Se as quantidades das ofertas e procuras são valores inteiros, então qualquer SBA tem sempre valores inteiros. Como a matriz da base é uma matriz triangular composta por 0 e 1, a resolução do sistema conduz necessariamente a uma solução cujas variáveis assumem apenas valores inteiros, pois apenas exige adições e subtracções. ©2000-2001 Prof.ª Gladys Castillo

Base e Solução Básica Admissível para o PT. Como m=3 e n=4 e a característica de A, c(A)=m+n-1=6, qualquer base B tem dimensão 6x6. Uma base pode ser obtida, por exemplo, tomando as colunas P11, P12, P22, P23, P33, P34 e eliminando à restrição 4. P11 P12 P13 P14P21P22P23P24P31P32P33P34 (1) 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 (2) 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 (3) 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 (4) 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 (5) 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 (6) 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 (7) 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 A= P11 P12P22P23P33P34 (1) 1 1 0 0 0 0 (2) 0 0 1 1 0 0 (3) 0 0 0 0 1 1 (5) 0 1 1 0 0 0 (6) 0 0 0 1 1 0 (7) 0 0 0 0 0 1 B = Trocando as linhas obtém-se uma matriz B triangular P11 P12P22P23P33P34 (1) 1 1 0 0 0 0 (5) 0 1 1 0 0 0 (2) 0 0 1 1 0 0 (6) 0 0 0 1 1 0 (3) 0 0 0 0 1 1 (7) 0 0 0 0 0 1 B = ©2000-2001 Prof.ª Gladys Castillo

Uma Solução básica Admissível para o PT. Como a matriz B é triangular a solução do sistema é imediata: x34 =7 XB x11 x12 x22 x23 x33 x34 P11 P12P22P23P33P34 (1) 1 1 0 0 0 0 (5) 0 1 1 0 0 0 (2) 0 0 1 1 0 0 (6) 0 0 0 1 1 0 (3) 0 0 0 0 1 1 (7) 0 0 0 0 0 1 6 7 8 6 10 7 x33 + x34 =10 x33 =3 = x23 + x33 = 6 x23 =3 x22 + x23 = 8 x22 =5 x12 + x22 = 7 x12 =2 x11 + x12 = 6 x11 =4 Uma SBA do problema é: X = (4, 2, 0, 0, 0, 5, 3, 0, 0, 0, 3, 7) ©2000-2001 Prof.ª Gladys Castillo