Matrizes

Organizando e analisando dados O colégio Tales distribui, durante o ano letivo, 100 pontos por matéria. O quadro a seguir mostra os totais de pontos obtidos por Ana, Carlos e Pedro, em Matemática nos anos de 2006 e 2007. Ana Carlos Pedro 2006 80 75 72,5 2007 76 82,5 78 Quadros como esses ajudam a organizar dados. Fica mais fácil analisá-los, combiná-los com outros.

Matrizes – Conceitos iniciais Foi o matemático inglês, James Joseph, Sylvester, quem usou pela primeira vez esta forma de trabalhar com um conjunto de informações, dispondo-as em linhas e colunas em uma tabela. A um quadro desse tipo, damos o nome de Matriz. Cada número que o constitui é um elemento da matriz. O quadro apresentado é uma matriz 2 x 3, isto é, possui 2 linhas e 3 colunas.

Representando matrizes Para nomear matrizes, usamos letras latinas maiúsculas. Seus elementos ficam dentro de parênteses ou colchetes. Exemplo 80 75 72,5 76 82,5 78 80 75 72,5 76 85,2 78 A = ou A =

Representando matrizes Nossa matriz tem 2 linhas e 3 colunas. Dizemos que ela é do tipo 2 x 3 (dois por três) ou, simplesmente, uma matriz 2 x 3. 80 75 72,5 76 82,5 78 → 1ª linha A = → 2ª linha 1ª coluna 2ª coluna 3ª coluna Nossa matriz é indicada por A2x3.

Representando elementos de uma matriz De maneira geral, indicamos um elemento de uma matriz por uma letra minúscula, acompanhada de dois índices, que definem sua posição na matriz. Um elemento genérico da matriz A é indicado assim: i indica a linha do elemento aij j indica a coluna do elemento

Representando elementos de uma matriz Na matriz A exemplificada, temos 80 75 72,5 76 82,5 78 A = a11 = 80 a12 = 75 a13 = 72,5 a21 = 76 a22 = 82,5 a23 = 78

Definição de Matriz Se m e n são dois números naturais positivos, chama-se matriz do tipo m x n todo quadro formado por m.n números reais, dispostos de forma ordenada em m linhas e n colunas. Uma matriz genérica Am x n pode ser representada assim: a11 a12 a13 ... a1n a21 a22 a23 ... a2n A = ... ... ... ... ... am1 am2 am3 ... amn De forma simplificada, temos A = [aij]m x n

Exemplo Na matriz A representada a seguir, cada elemento aij indica a média, em Matemática, da turma i no bimestre j. Identificar o tipo de matriz e obter a média da turma 2 no 3.º bimestre e a média da turma 3 no 4.º bimestre. 6,2 8,3 9 7,4 8 7,3 8,7 6,5 7,2 8,1 6,9 7 A = A3 x 2. a23 = 8,7 a34 = 7

Matriz definida por seu termo genérico

Matriz definida por seu termo genérico Uma matriz pode ser definida, indicando-se seu tipo e uma fórmula para o cálculo de cada elemento aij, em função de i e j.

Exemplos Construir a matriz A = (aij)3x2, em que aij = 3i – j. A = A = 1 5 4 8 7 A = a21 a22 A = a31 a32 aij = 3i – j a11 = 3.1 – 1 = 2 a12 = 3.1 – 2 = 1 a21 = 3.2 – 1 = 5 a22 = 3.2 – 2 = 4 a31 = 3.3 – 1 = 8 a32 = 3.3 – 2 = 7

Exemplos Construir a matriz B = (bij)2x2, tal que 2i + j, se i ≥ j ji , se i < j b11 b12 B = b21 b22 b11 = 2.1 + 1 = 3 3 2 5 6 b12 = 21 = 2 B = b21 = 2.2 + 1 = 5 b22 = 2.2 + 2 = 6

Igualdade de matrizes Dizemos que duas matrizes A e B são iguais só se eles são do mesmo tipo e cada elemento de uma delas é igual ao elemento de mesma posição da outra. Se alguma das condições anteriores falhar, dizemos que A e B são matrizes diferentes.

Exemplos Verificar se as matrizes A e B abaixo são iguais. A = B = 2 1 5 4 8 7 2 1 8 4 5 7 A = B = As matrizes são do mesmo tipo (3 x 2) e têm os mesmos elementos. Elas são diferentes pois os elementos 5 e 8 ocupam posições diferentes.

Exemplos Calcular x, y, z e t para que ocorra a igualdade. = 2x = 4 –1 y + 1 3 4 x + z 5 t – y = 2x = 4 ⇒ 2x = 22 ⇒ x = 2 y + 1 = 5 ⇒ y = 4 x + z = –1 ⇒ 2 + z = –1 ⇒ z = –3 t – y = 3 ⇒ t – 4 = 3 ⇒ t = 7

Algumas matrizes especiais

Matriz Linha e matriz Coluna Uma matriz que tem apenas uma linha é chamada de matriz linha. Uma matriz que tem somente uma coluna é denominada de matriz coluna. Exemplos –1 2 5 É uma matriz linha 1 x 3. 3 6 É uma matriz coluna 2 x 1.

Matriz Transposta Veja como podemos apresentar os dados referente à tabela da introdução de matrizes. 2006 2007 Ana 80 76 Carlos 75 82,5 Pedro 72,5 78 Ana Carlos Pedro 2006 80 75 72,5 2007 76 82,5 78 78 72,5 82,5 75 76 80 80 75 72,5 76 82,5 78 B = A = ⇒

A = (aij)m x n ⇒ At = (aji)n x m Matriz Transposta Se A é uma matriz do tipo m x n, chama-se transposta de A (simbolicamente At), a matriz do tipo n x m, obtida de A, trocando-se de posição linhas com colunas, de forma que A = (aij)m x n ⇒ At = (aji)n x m 2 –1 1 3 –5 2 3 A = ⇒ At = –1 1 –5

Matriz Nula Uma matriz que tem os seus elementos iguais a zero é chamada matriz nula. Existe uma matriz nula de cada tipo. A matriz nula pode ser indicada por Om x n. O = É uma matriz nula 2 x 3. O = É uma matriz nula 2 x 2.

Exemplo Encontre os valores de x e y, para que a matriz M abaixo seja nula. x2 – 1 x2 – x – 2 x2 – y2 x + y M = x2 – 1 = 0 ⇒ x = ±1 x2 – x – 2 = 0 ⇒ x = –1 ou x = 2 x2 – y2 = 0 x + y = 0 ⇒ x = –y ⇒ x = –1 e y = 1

Matriz Oposta Chama-se oposta de uma matriz A a matriz representada por –A, cujos elementos são os opostos dos elementos de mesma posição em A. 3 –2 5 A oposta da matriz A = , é a matriz –3 2 –5 –A =

Matrizes quadradas

Matriz quadrada Chama-se matriz quadrada toda matriz em que o número de linhas é igual ao de colunas. O número de linhas (ou colunas) é a ordem da matriz. 3 –2 5 é matriz quadrada de ordem 2. 3 –3 7 2 –5 1 4 é matriz quadrada de ordem 3.

Matriz quadrada Numa matriz quadrada A =[aij], de ordem n, chama-se Diagonal principal o conjunto dos elementos aij em que i = j; Diagonal secundária o conjunto dos elementos aij em que i + j = n + 1; Diagonal secundária (i + j = 4) a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 Diagonal principal (i = j)

Matriz Identidade Chama-se matriz identidade de ordem n a matriz quadrada indicada In tal que. Os elementos da diagonal principal são todos iguais a 1; Todos os outros elementos são iguais a 0; 1 I2 = é matriz identidade de ordem 2. 1 I3 = é matriz identidade de ordem 3.

Matriz Diagonal Toda matriz quadrada em que todos os elementos fora da diagonal principal são iguais a zero é chamada matriz diagonal. Chama-se traço de uma matriz quadrada a soma dos elementos de sua diagonal principal. ½ 2 3 –5 M = N = Traço de M é –2. Traço de N é 3/2.

Exemplo Calcule o traço da matriz quadrada A abaixo, sabendo que ela é matriz diagonal. x – 2y x – y + 6 x + 2y x + y A = x + 2y = 0 x + 2y = 0 + ⇒ x – y + 6 = 0 x (2) 2x – 2y + 12 = 0 3x + 12 = 0 ⇒ x = –4 e y = 2 O traço da matriz é: x – 2y + x + y = 2x – y = –10

Matriz Simétrica Toda matriz quadrada que é igual a sua transposta é chamada matriz simétrica. A é simétrica ⇔ A = At Exemplo 1 –3 5 2 –1 6 N =

Exemplo Obtenha m, n, e p, para que seja simétrica a matriz. P = 3 2 –1 1 5 m – 2n p + 2 P = m + n = –1 m + n = –1 2m + 2n = –2 ⇒ ⇒ + m – 2n = 2 m – 2n = 2 m – 2n = 2 3m = 0 p + 2 = 5 ⇒ p = 3 ⇒ m = 0 e n = –1

Matriz Anti-Simétrica Toda matriz quadrada que é igual à oposta de sua transposta é chamada matriz anti-simétrica. A é anti-simétrica ⇔ A = –At Exemplo 3 –5 –3 –1 5 1 N =

Exemplo Complete a matriz para que ela seja anti-simétrica. .... 5 –2 3 2 Q = –5 –3

Matriz triangular Toda matriz quadrada na qual são nulos todos os elementos situados num mesmo lado da diagonal principal. Exemplos ½ 7 3 –2 1 2 3 1 –5 A = B =

Operações elementares com Matrizes

Operações com Matrizes Em certos casos surge a necessidade de efetuar operações com matrizes. Adição; Subtração; Multiplicação de uma constante real por uma matriz; Multiplicação.

Adição de Matrizes Uma empresa fabrica dois produtos A e B, que podem ser acondicionados nas embalagens E1, E2 e E3, com 12, 24 ou 30 unidades, respectivamente. Os quadros abaixo mostram os custos de fabricação do produto e da embalagem, em cada caso. Custo do produto (R$) Custo da embalagem (R$) A B E1 60 80 E2 100 130 E3 120 160 A B E1 2 3 E2 4 E3 6

Adição de Matrizes O fabricante quer vender o produto com lucro de 50% sobre o custo do produto, mas não quer obter lucro no custo da embalagem. Qual será o preço de venda dos produtos A e B. 60 80 100 130 120 160 2 3 4 6 P = E = O preço de venda é obtido efetuando-se a operação: 1,5 . P + E

Adição de Matrizes V = 1,5 . P + E P = E = 1,5 . P = = 1,5 . P + E = + 60 80 100 130 120 160 2 3 4 6 P = E = 1,5.60 1,5.80 90 120 1,5 . P = 1,5.100 1,5.130 = 153 195 1,5.120 1,5.160 180 240 90 120 153 195 180 240 2 3 4 6 92 123 1,5 . P + E = + = 156 199 184 246

Adição de Matrizes Veja como seriam os preços de venda dos dois produtos nas três possíveis embalagens. Preço de venda (R$) A B E1 92 123 E2 153 199 E3 184 246

Adição de Matrizes Sendo A e B matrizes de mesmo tipo e k uma constante real, definem-se as seguintes operações: Adição de matrizes: A + B é a matriz em que cada elemento é a soma dos elementos de mesma posição em A e B. Subtração de matrizes: A – B = A + (–B), é a soma de A com a oposta de B. Multiplicação de um número por uma matriz: kA é a matriz obtida multiplicando-se, por k, cada um dos elementos de A.

Exemplo Dada as matrizes abaixo obter a matriz 3M – 2N + I2. M = N = –2 1 3 2 2 3 4 M = N = 3.–2 3.1 –6 3 9 6 3.M = = 3.3 3.2 –2.2 –2.0 –4 –6 –8 –2.M = = –2.3 –2.4

Exemplo Dada as matrizes abaixo obter a matriz 3M – 2N + I2. M = N = –2 1 3 2 2 3 4 M = N = 3M –2N + I2 = 3.M + (–2.N) + I2 = –6 3 9 6 –4 –6 –8 1 –9 3 = + + = 3 –1

Equações matriciais

Exemplo Resolver a equação 3X – A = 2B, onde A = B = X = –5 –1 4 1 –3 2 A = B = A matriz X deve ser do mesmo tipo de A e B. x y z t X = x y z t –5 –1 4 1 –3 2 3.X – A = 2B ⇒ 3. – = 2.

Exemplo 3.X – A = 2B ⇒ + = ⇒ = ⇒ ⇒ X = 3x 3y 3z 3t 5 1 –4 2 –6 4 1 –4 2 –6 4 3.X – A = 2B ⇒ + = 3x + 5 3y 2 –6 4 ⇒ = 3z + 1 3t – 4 3x + 5 = 2 x = –1 3y = –6 y = –2 –1 –2 1 2 ⇒ ⇒ X = 3z + 1 = 4 z = 1 3t – 4 = 2 t = 2

Exemplo Resolver a equação 3X – A = 2B, onde A = B = 1 3.X – A = 2B ⇒ –5 –1 4 1 –3 2 A = B = Equações como essa podem ser resolvidas, também, como se fossem equações algébricas. Veja. 1 3.X – A = 2B ⇒ 3.X = A + 2B ⇒ X = (A + 2B) 3 –5 –1 4 2 –6 4 –3 –6 A + 2B = + = 3 6

Exemplo Resolver a equação 3X – A = 2B, onde A = B = 1 3.X – A = 2B ⇒ –5 –1 4 1 –3 2 A = B = Equações como essa podem ser resolvidas, também, como se fossem equações algébricas. Veja. 1 3.X – A = 2B ⇒ 3.X = A + 2B ⇒ X = (A + 2B) 3 –3 –6 3 6 –1 –2 1 X = = 3 1 2

Propriedades da adição de matrizes

Propriedades da adição de matrizes Suponha que A, B e C sejam matrizes de mesmo tipo e que O seja a matriz nula de mesmo tipo daquelas. Valem, para a adição, as seguintes propriedades: Associativa: (A + B) + C = A + (B + C) Comutativa: A + B = B + A Existência do elemento neutro, a matriz O, tal que A + O = O + A = A Existência do elemento oposto de A, a matriz –A tal que A + (–A) = O. (A + B)t = At + Bt

Multiplicação de matrizes

Multiplicação de Matrizes O colégio Tales e o colégio Platão distribuem em cada bimestre letivo, um total de 10 pontos por matéria. No entanto, os pesos em cada bimestre diferem nos dois colégios. Veja o quadro a seguir Peso por bimestre em cada colégio 1º B 2º B 3º B 4º B Tales 1 2 3 4 Platão

Multiplicação de Matrizes Dois alunos das duas escolas, que eram amigos, resolveram comparar a soma dos pontos obtidos em Matemática no seu colégio com a que teriam obtido, caso estudasse no outro colégio. Nota de cada aluno por bimestre André Pedro 1º B 6 9 2º B 5 8 3º B 7 4º B

Multiplicação de Matrizes Veja o total de pontos que cada um teria feito, estudando no colégio Tales. André Pedro 1º B 6 9 2º B 5 8 3º B 7 4º B 1º B 2º B 3º B 4º B Tales 1 2 3 4 Platão André: 1.6 + 2.5 + 3.7 + 4.8 = 6 + 10 + 21 + 32 = 69 Pedro: 1.9 + 2.8 + 3.6 + 4.5 = 9 + 16 + 18 + 20 = 63

Multiplicação de Matrizes Veja o total de pontos que cada um teria feito, estudando no colégio Platão. André Pedro 1º B 6 9 2º B 5 8 3º B 7 4º B 1º B 2º B 3º B 4º B Tales 1 2 3 4 Platão André: 2.6 + 2.5 + 3.7 + 3.8 = 12 + 10 + 21 + 24 = 67 Pedro: 2.9 + 2.8 + 3.6 + 3.5 = 18 + 16 + 18 + 15 = 67

Multiplicação de Matrizes O quadro a seguir sintetiza os resultados. Pontos de cada aluno por colégio André Pedro Tales 69 63 Platão 67

Multiplicação de Matrizes Vemos escrever, agora, as matrizes A, B e C, associadas aos três quadros anteriores. 1 2 3 4 Matriz dos pesos: A = 6 9 5 8 7 Matriz das notas: B = c12 = 1.9 + 2.8 + 3.6 + 4.5 c12 = 9 + 16 + 18 + 20 c12 = 63 69 63 67 Matriz dos pontos: C = C = A.B

Multiplicação de Matrizes - Definição Sob certas condições, definem-se a multiplicação de matrizes. Dadas duas matrizes A e B Existe o produto AB (ou A.B) se, e somente se, o número de colunas de A (1ª matriz) é igual ao número de linhas de B (2ª matriz); Existindo a matriz AB, ela tem o número de linhas de A (1ª matriz) e o número de colunas de B (2ª matriz).

Multiplicação de Matrizes - Definição Observe o esquema. A é matriz m x n iguais ⇒ existe AB B é matriz n x p AB é do tipo ⇒ m x p

Exemplos Dado as matrizes A e B abaixo, mostrar que é definido e obter o produto AB. –1 2 3 5 –2 6 –3 1 2 4 –2 A = B = A é matriz 2 x 3 iguais ⇒ existe AB B é matriz 3 x 2 AB é do tipo ⇒ 2 x 2 x11 x12 x21 x22 AB =

Exemplo Dado as matrizes A e B abaixo, mostrar que é definido e obter o produto AB. –1 2 3 5 –2 6 –3 1 2 4 –2 A = B = Cálculo de x11: x11 = –3.(–1) + 1.3 + 0.(–2) = 3 + 3 + 0 = 6 Cálculo de x12: x12 = –3.2 + 1.5 + 0.6 = –6 + 5 + 0 = –1

Exemplo Dado as matrizes A e B abaixo, mostrar que é definido e obter o produto AB. –1 2 3 5 –2 6 –3 1 2 4 –2 A = B = Cálculo de x21: x21 = 2.(–1) + 4.3 + (–2).(–2) = –2 + 12 + 4 = 14 Cálculo de x22: x22 = 2.2 + 4.5 + –2 .6 = 4 + 20 – 12 = 12

Exemplo Dado as matrizes A e B abaixo, mostrar que é definido e obter o produto AB. –1 2 3 5 –2 6 –3 1 2 4 –2 A = B = Conclusão: x11 x12 x21 x22 6 –1 14 12 AB = =

Observação Observe que no caso das matrizes A2x3 e B3x2 do exemplo anterior, existe o produto BA que é do tipo 3 x 3. Ainda que, em certos casos, tanto AB como BA sejam definidos, em geral AB ≠ BA. Se existirem tanto AB quanto BA e, além disso, AB = BA, dizemos que A e B comutam. Se A é uma matriz quadrada, existe o produto AA, que também pode ser indicado por A2.

Propriedades da multiplicação de matrizes

Propriedades da multiplicação de matrizes Suponha que A, B e C sejam matrizes de mesmo tipo e que O seja a matriz nula de mesmo tipo daquelas. Valem, para a adição, as seguintes propriedades: Associativa: A(BC) = A(BC) Distributiva: A(B + C) = AB +AC e (B + C)A = BA + CA Seja Am x n, A.In = Im.A (AB)t = Bt.At

Equações que envolvem produto de matizes

Exemplo Dado as matrizes A e B abaixo, resolver a equação matricial AX = B. 2 –1 1 5 4 A = B = Vamos analisar primeiro de que tipo é a matriz X. A é matriz 2 x 2 existe AX ⇒ m = 2 X é matriz m x n AX é do tipo ⇒ 2 x n x y AX2 x n = B2 x 1 ⇒ n = 1 X =

Exemplo Dado as matrizes A e B abaixo, resolver a equação matricial AX = B. 2 –1 1 5 4 A = B = AX = B 2 –1 1 x y 5 4 2x – y 5 . = ⇒ = x + y 4 3 1 2x – y = 5 x = 3 ⇒ ⇒ X = x + y = 4 y = 1

Inversa de uma matriz quadrada

Inversa de uma matriz quadrada Dadas as matrizes A e B abaixo, vamos obter os produtos AB e BA. 1 2 3 3 –1 –2 1 A = B = 1 2 3 3 –1 –2 1 3 – 2 –1 + 1 1 AB = . = = 6 – 6 –2 + 3 1 3 –1 –2 1 1 2 3 3 – 2 3 – 3 1 BA = . = = –2 + 2 –2 + 3 1 Note que AB = BA = I2, matriz identidade de ordem 2.

Inversa de uma matriz quadrada AB = BA = I2, matriz identidade de ordem 2. Dizemos que: A é a inversa de B (A = B–1); B é a inversa de A (B = A–1).

Inversa de uma matriz quadrada Dizemos que uma matriz quadrada A, de ordem n, é invertível se, e somente se, existir uma matriz B tal que AB = BA = In. No caso a matriz B é chamada de inversa de A e é representada por A–1. Portanto AA–1 = A–1A = In

Exemplo Mostrar que a matriz A abaixo é invertível e obter sua inversa. 2 –5 1 –3 A = a b c d Caso exista, A–1 ela será de ordem 2. A–1 = 2 –5 1 –3 a b c d 1 . AA–1 = I2 ⇒ = 2a – 5c 2b – 5d 1 = ⇒ a – 3c b – 3d

Exemplo Mostrar que a matriz A abaixo é invertível e obter sua inversa. 2 –5 1 –3 A = 2a – 5c = 1 2b – 5d = 0 ⇒ e a – 3c = 0 b – 3d = 1 Resolvendo os sistemas encontramos a = 3, b = –5, c = 1 e d = –2. Logo a b c d 3 –5 1 –2 A–1 = =