Funções logarítmicas Prof. Jorge

Funções logarítmicas De modo geral, se a é uma constante real (a > 0 e a ≠ 1), chamamos de função logaritmo de base a a função definida por: y = f(x) = loga x É claro que x > 0. Prof. Jorge

Exemplos y = log5 x → é a função logaritmo de base 5 y = log x O gráfico de uma função logarítmica é uma curva chamada de curva logarítmica. Prof. Jorge

Exemplos Traçar o gráfico da função logaritmo de base 2, definida por y = f(x) = log2 x. y x y = log2 x 2 1/4 –2 1 1/2 –1 1 x 1 2 4 2 1 –1 4 2 –2 D = R+* e Im = R → função é crescente Prof. Jorge

Exemplos Traçar o gráfico da função logaritmo de base 1/2, definida por y = f(x) = log1/2 x. y x y = log1/2 x 2 1/4 2 1 1/2 1 1 1 2 4 2 –1 x 4 –2 –1 –2 D = R+* e Im = R → função é decrescente Prof. Jorge

Funções logaritmos - Resumo Da análise dos dois últimos gráficos, tiramos algumas conclusões sobre a função logaritmo y = loga x (a > 0 e a ≠ 1): O domínio é os Reais positivos (x > 0); O conjunto imagem é os Reais; Ela é crescente em todo o seu domínio para a > 1. Ela é decrescente em todo o seu domínio para 0 < a < 1. Prof. Jorge

Veja os gráficos abaixo y y = log2 x x 1 y = log1/2 x D = R+* e Im = R Prof. Jorge

Propriedades da função logaritmo Prof. Jorge

Propriedades operatórias A função logaritmo y = loga x é sempre crescente ou sempre decrescente. Isso significa que logaritmos numa mesma base só são iguais para logaritmandos iguais. loga m = loga n ⇔ m = n Prof. Jorge

Exemplos log3 x = log3 5 ⇔ x = 5 log (3x – 1) = log 2x ⇔ 3x – 1 = 2x Prof. Jorge

Observação A propriedade que acabamos de demonstrar pode ser interpretada no sentido inverso. Se dois números são iguais, então seus logaritmos numa mesma base são iguais. m = n ⇒ loga m = loga n Prof. Jorge

Exemplos Resolver a equação exponencial 4x = 3x+1, a partir dos valores log 2 = 0,301 e log 3 = 0,477. 4x = 3x+1 ⇒ log 4x = log 3x+1 ⇒ x.log 4 = (x + 1).log 3 ⇒ x.(2.log 2) = (x + 1).log 3 ⇒ x.(2.0,301) = (x + 1).0,477 ⇒ 0,602.x = 0,477.x + 0,477 ⇒ 0,125.x = 0,477 ⇒ x = 3,816 Prof. Jorge

Propriedades operatórias A função logaritmo y = loga x é crescente em todo o seu domínio, se a > 1. x y loga n loga m n m Quanto maior o valor de x maior é o valor de loga x. loga m > longa n ⇔ m > n Mesmo sentido Prof. Jorge

Propriedades operatórias A função logaritmo y = loga x é decrescente em todo o seu domínio, se 0 < a < 1. x y loga n n m loga m Quanto maior o valor de x menor é o valor de loga x. loga m < loga n ⇔ m > n Sentidos contrários Prof. Jorge

Exemplos log x < log 3 ⇒ x < 3 log2/5 (x – 3) < log2/5 4 base > 1, sinal mantido log2/5 (x – 3) < log2/5 4 ⇒ x – 3 > 4 ⇒ x > 7 0 < a < 1, sinal invertido Prof. Jorge

Equações e inequações logarítmicas Prof. Jorge

Equações e inequações logarítmicas Em certas equações e inequações que envolvem logaritmo, a variável aparece no logaritmando. A resolução de uma equação e uma inequação logarítmica se baseia nas propriedades abaixo. loga m = loga n ⇔ m = n P1. loga m > loga n ⇔ m > n P2. (a > 1) loga m < loga n ⇔ m > n P3. (0 < a < 1) Prof. Jorge

Exemplos Resolver a equação 2 log2 x = 1 + log2 (x + 12). ⇒ x > 0 Condição de existência x + 12 > 0 2 log2 x = log2 2 + log2 (x + 12) ⇒ log2 x2 = log2 2(x + 12) ⇒ log2 x2 = log2 (2x + 24) ⇒ x2 = 2x + 24 ⇒ x2 – 2x – 24 = 0 ⇒ x’ = –4 ou x” = 6 S = {6}. Prof. Jorge

Exemplos Resolver a inequação log (x – 1) ≥ log (5 – x). ⇒ Condição de existência 5 – x > 0 x < 5 1 < x < 5 (1) log (x – 1) ≥ log (5 – x) ⇒ x – 1 ≥ 5 – x ⇒ 2x ≥ 6 ⇒ x ≥ 3 (2) Fazendo a interseção das condições, (1) e (2), temos S = 3 ≤ x < 5. Prof. Jorge

Exemplos Obter o domínio da função definida por 1 y = √log1/3 x + 2 O radicando deve ser maior que zero, logo log1/3 x + 2 > 0 ⇒ log1/3 x > –2 ⇒ log1/3 x > log1/3 9 ⇒ x < 9 S = {0 < x < 9}. Prof. Jorge

Aplicando logaritmos em problemas de crescimento e decrescimento Prof. Jorge

Aplicação dos logaritmos As funções exponenciais aparecem nas situações em que uma variável cresce ou decresce com o tempo, segundo uma taxa fixa. Nesses casos, os logaritmos são muito úteis quando se pretende descobrir o tempo necessário para que aquela variável atinja determinado valor. Prof. Jorge

Exemplos Giovanna aplicou R$ 1 000,00 a juros compostos a uma taxa de 5% ao mês. Após quanto tempo ela obteve R$ 500,00 de juros? M = C.(1 + i)t ⇒ 1 500 = 1 000.(1,05)t ⇒ 1,05t = 1,5 ⇒ log 1,05t = log 1,5 ⇒ t . log 1,05 = log 1,5 log 1,5 0,1761 ⇒ t = ⇒ t = ⇒ t = 8,39 log 1,05 0,0210 ⇒ t ≈ 9 meses Prof. Jorge

Exemplos Giovanna aplicou R$ 1 000,00 a juros compostos a uma taxa de 5% ao mês. Após quanto tempo ela obteve R$ 500,00 de juros? Dados: log 3 = 0,477, log 5 = 0,699 e log 7 = 0,845. log 1,5 =log (15/10) = log 15 – log 10 log 1,5 = log 3 + log 5 – log 10 log 1,5 = 0,477 + 0,699 – 1 = 0,176 Chegamos à equação: t.log 1,05 = log 1,5 log 1,5 0,176 ⇒ t = = ⇒ t = 8,39 log 1,05 0,021 log 1,05 =log (105/100) = log 105 – log 100 log 1,05 = log 3 + log 5 + log 7 – log 100 log 1,05 = 0,477 + 0,699 + 0,845 – 2 = 0,021 Prof. Jorge

Exemplos Um determinado automóvel desvaloriza-se segundo uma taxa composta, equivalente a 5% ao ano. Daqui a quanto tempo ele valerá 80% do que vale hoje? M = C.(1 + i)t ⇒ 0,8V0 = V0.(0,95)t ⇒ 0,95t = 0,8 ⇒ log 0,95t = log 0,8 ⇒ t . log 0,95 = log 0,8 log 0,8 –0,0969 ⇒ t = ⇒ t = ⇒ t = 4,35 log 0,95 –0,0223 ⇒ t ≈ 4 anos e 4 meses Prof. Jorge