Funções trigonométricas

Função seno A cada número real x do ciclo trigonométrico está associado um único número real sen x, ordenada do ponto P, associado ao número x no ciclo. Fica definida assim, a função seno, de domínio ℝ, expressa por y = f(x) = sen x Seu gráfico cartesiano é constituído por todos os pares ordenados (x, y) = (x, sen x).

Variação da função y = sen x para x  [0, 2] B /2 B /2 1 1 A’ O  O A A’ A B’ B’ Quando x cresce de 0 a /2, sen x cresce de 0 a 1. Quando x cresce de /2 a , sen x decresce de 1 a 0.

Variação da função y = sen x para x  [0, 2] B B A’ O A’ O A  A 2 –1 –1 3/2 B’ 3/2 B’ Quando x cresce de  a 3/2, sen x decresce de 0 a –1. Quando x cresce de 3/2 a 2, sen x cresce de –1 a 0.

Gráfico da função y = sen x /2  3/2 2 y = sen x 1 –1 y = sen x 1 3/2 2 x /2  –1 D = [0, 2] Im = [–1, 1]

Observação O gráfico da função seno é chamado senóide. A senóide se repete nos infinitos intervalos, todos de amplitude 2: ... [–4, –2], [–2, 0], [0, 2], [2, 4], ... O período da função seno é igual a 2. Seu conjunto imagem é o intervalo [–1, 1].

Gráfico da função y = sen x Na figura abaixo, temos dois períodos completos da senóide. y = sen x 1 –2 – –/2 3/2 x –3/2 /2  2 –1

Função co-seno A cada número real x do ciclo trigonométrico está associado um único número real cos x, abscissa do ponto P, associado ao número x no ciclo. Fica definida assim, a função co-seno, de domínio ℝ, expressa por y = f(x) = cos x Seu gráfico cartesiano é constituído por todos os pares ordenados (x, y) = (x, cos x).

Variação da função y = cos x para x  [0, 2] B /2 B /2 cos cos A’  O 1 A A’ –1 O A B’ B’ Quando x cresce de 0 a /2, cos x decresce de 1 a 0. Quando x cresce de /2 a , cos x decresce de 0 a –1.

Variação da função y = cos x para x  [0, 2[ B B cos cos A’ A’ A  –1 O A O 1 2 3/2 B’ 3/2 B’ Quando x cresce de  a 3/2, cos x cresce de –1 a 0. Quando x cresce de 3/2 a 2, cos x cresce de 0 a 1.

Gráfico da função y = cos x /2  3/2 2 y = cos x 1 –1 1 y = cos x 1  x /2 2 3/2 –1 D = [0, 2] Im = [–1, 1]

Observação O gráfico da função co-seno é chamado co-senóide. A co-senóide se repete nos infinitos intervalos, todos de amplitude 2: ... [–4, –2], [–2, 0], [0, 2], [2, 4], ... O período da função co-seno é igual a 2. Seu conjunto imagem é o intervalo [–1, 1].

Gráfico da função y = cos x Na figura abaixo, temos dois períodos completos da co-senóide. y = cos x 1 –/2 –  x –2 –3/2 /2 3/2 2 –1

Função tangente A cada número real x do ciclo trigonométrico está associado um único número real tg x, ordenada do ponto T, associado ao número x no ciclo. Fica definida assim, a função tangente, de domínio ℝ – /2 + k, k  ℤ expressa por y = f(x) = tg x Seu gráfico cartesiano é constituído por todos os pares ordenados (x, y) = (x, tg x).

Variação da função y = tg x para x  [0, 2] B /2 B /2 A’  O A A’ O A B’ B’ Quando x cresce de 0 a /2, tg x cresce de 0 a +. Quando x cresce de /2 a , tg x cresce de – a 0.

Variação da função y = tg x para x  [0, 2[ B B A’ A’ A  O A O 2 3/2 B’ 3/2 B’ Quando x cresce de  a 3/2, tg x cresce de 0 a +. Quando x cresce de 3/2 a 2, tg x cresce de – a 0.

Gráfico da função y = tg x /2  3/2 2 y = tg x ∄ ∄ y = tg x  x /2 2 3/2 D = [0, 2] Im = [–, + ]

Observação O gráfico da função tangente é chamado tangentóide. A tangentóide se repete nos infinitos intervalos, todos de amplitude : ... [–2, –], [–, 0], [0, ], [, 2], ... O período da função tangente é igual a . Seu conjunto imagem é o intervalo [–, +].

Gráfico da função y = tg x Na figura abaixo, temos quatro períodos completos da tangentóide. y = tg x –/2 x –2 –3/2 – /2  3/2 2

Domínio, período e conjunto imagem das funções seno, co-seno e tangente

Resumo ℝ Função y = sen x y = cos x y = tg x domínio x ≠ k + /2 período 2  mínimo –1 – máximo 1 Imagem [–1, 1]

Exemplos Construir o gráfico da função y = 2 sen x: y = sen x /2  3/2 2 sen x 1 –1 y = 2 sen x 2 –2 y y = sen x y = 2sen x 2 1 p = 2 p = 2 3/2 x /2  2 Im = ]–1, 1] Im = ]–2, 2] –1 –2

Exemplos Construir o gráfico da função y = sen 2x: 2x /2  3/2 2 x /2  3/2 2 x /4 /2 3/4 2 y = sen 2x 1 –1 y = sen x 1 3/4  3/2 2 x /4 /2 –1

Exemplos Construir o gráfico da função y = 1 + sen x: y = sen x /2  3/2 2 sen x 1 –1 y = 1 + sen x 1 2 1 1 y y = sen x y = 1 + sen x 2 1 p = 2 p = 2 x /2  3/2 2 Im = ]–1, 1] Im = ]0, 2] –1 –2

Domínio, imagem e período de outras funções seno

ℝ ℝ ℝ ℝ ℝ ℝ ℝ ℝ ℝ Função Domínio Período Imagem y = sen (x) 2 [–1, 1] y = sex (2x) ℝ  [–1, 1] y = sen (x/2) ℝ 4 [–1, 1] y = 2sen (x – /2) ℝ 2 [–2, 2] y = 2sen (2x + /2) ℝ  [–2, 2] y = 1 + 3sen (2x) ℝ  [–2, 4] y = –1 + 2sen (x + /2) ℝ 2 [–3, 1] y = sen2 (x) ℝ  [0, 1] y = –1 + sen2 (8x) ℝ /8 [–1, 0]

Domínio, imagem e período de outras funções co-seno

ℝ ℝ ℝ ℝ ℝ ℝ ℝ ℝ ℝ Função Domínio Período Imagem y = cos (x) 2 [–1, 1] 4 [–1, 1] y = 2cos (x – /2) ℝ 2 [–2, 2] y = 2cos (2x + /2) ℝ  [–2, 2] y = 1 + 3cos (2x) ℝ  [–2, 4] y = –1 + 2cos (x + /2) ℝ 2 [–3, 1] y = cos2 (x) ℝ  [0, 1] y = –1 + cos2 (8x) ℝ /8 [–1, 0]

Domínio, imagem e período de outras funções tangente

Função Domínio Período Imagem y = tg (x) x ≠ k + /2  ℝ y = tg (2x) x ≠ k/2+ /4 /2 ℝ y = tg (x/2) x ≠ 2k +  2 ℝ y = 2tg (x – /2) x ≠ k +   ℝ y = 2tg (2x + /2) x ≠ k/2 /2 ℝ y = 1 + 3tg (2x) x ≠ k/2 + /4 /2 ℝ y = –1 + 2tg (x + /2) x ≠ k  ℝ y = tg2 (x) x ≠ k + /2  ℝ y = –1 + tg2 (8x) x≠k/8 + /16 /8 ℝ