Matemática Básica Unidade 8.1 - Radiciação Amintas Paiva Afonso Ensino Superior Matemática Básica Unidade 8.1 - Radiciação Amintas Paiva Afonso

RADICIAÇÃO O que é uma Raíz? A Definição de Raíz como Potência Raíz Quadrada Raíz Cúbica O Índice Igual ao Expoente Multiplicação de Raízes de Igual Índice Divisão de Raízes de Igual Índice Raíz de uma Raíz. Decomposição de uma Raíz Racionalização Condições de Existência para as Raízes de Índice Par Condições de Existência para as Raízes de Índice Impar Equações Irracionais Curiosidades

O que é uma Raíz? Uma Raíz é uma expressão que consta de um ÍNDICE, um símbolo de raíz e um RADICANDO. Índice, raíz, radicando? Símbolo de Raíz Radicando Índice 4 2 4 8 (-5,3) 2

a n m Elementos de uma Raíz Expoente do radicando ÍNDICE Símbolo de Raíz RADICANDO

= = = = 2 2 2 = (-0,6) (-0,6) (-5,3) (-5,3) = (-5,3) O que significa a Raíz? Uma Raíz é uma Potência com Exponente Fracionário. Raíz = Potência 3 3 _ _ 5 4 4 = 2 2 2 2 5 5 2 4 2 = (-0,6) (-0,6) _ 3 3 3 2 (-5,3) (-5,3) = (-5,3) Obs: O Índice 2 não se escreve. _ 7 7 _ 6 6 7 7 = = 6 6

Transforme as seguintes raízes em Potências Transforme as seguintes Potências em Raízes

n n = n = = 1 1 Importante: Leitura de uma Raíz. Em Geral _ b a a n n b b = n a a ≥ 2 Importante: a b = b a = 1 1 Leitura de uma Raíz. Índice 2, Raíz Quadrada. Ex: Índice 3, Raíz Cúbica. Ex: Índice 4, Raíz Quarta. Ex:

Raíz Quadrada já que já que já que já que Mas é só uma aproximação decimal da Raíz, que não é exata. Porque a melhor forma de representar é como . Isto acontece com muitas raízes quadradas que não dão um resultado exato.

Raíz Cúbica já que já que já que já que Mas é só uma aproximação decimal da Raíz, que não é exata. Porque a melhor forma de representar é como . Isto acontece com muitas raízes cúbicas que não dão um resultado exato.

= = n n n n 1 - Propriedade: O Índice Igual ao Expoente. 2 2 = 2 2 2 = 3 _ 7 7 3 Sabendo que: 2 2 3 = 2 7 Qual será o resultado de? 5 _ 5 5 1 2 2 5 5 = 2 2 5 = 2 = 2 a _ a a a = = n n n a n Em Geral:

= n n m n m 2 - Propriedade: Multiplicação de Raízes de Índice Igual. _ 3 7 7 3 3 = Sabendo que: 2 2 2 7 Qual será o resultado de? 9 2 • 5 7 = 2 9 • 5 7 _ 9 _ 7 1 _ 1 _ 1 _ 9 7 9 7 2 2 • 5 2 = ( 2 ) 2 • ( 5 ) 2 ( 2 5 ) 2 = • a a x a y = n n m a n x y m En Geral: • •

2 - Propriedade: Multiplicação de Raízes de Índice Igual. Resolver usando a Propriedade da Potência: a) f) b) g) c) h) i) d) j) e)

n n = m n m 3 - Propriedade: Divisão de Raízes de Índice Igual. 2 2 = _ 7 7 Sabendo que: 2 2 3 3 = 2 7 Qual será o resultado de? 7 5 ÷ 5 7 = 7 5 5 7 ÷ 5 _ _ 7 1 _ 1 _ 1 _ 7 5 7 7 2 ÷ 2 5 ( ) 2 (7 5 5 ) 2 = ( 7 ) 2 ÷ 5 = ÷ a x n n a y = m a y n x m Em Geral: ÷ ÷

3 - Propriedade: Divisão de Raízes de Índice Igual. Resolver usando a Propriedade da Potência: a) e) b) f) c) g) d) h)

( ) = m m 4 - Propriedade: 3 3 ( ) ( ) Raíz de uma Raíz. = 2 2 2 e 7 = _ 3 ( 2 ) 3 6 7 7 3 = 3 Sabendo que: 2 2 3 3 2 7 e = Qual será o resultado de? 7 5 = 4 5 3 7 5 = 7 6 7 5 _ 5 1 _ 5 _ 1 _ 5 5 1 • _ _ _ 5 _ 1 _ 5 • _ ( ) ( ) 7 2 2 = 7 2 2 7 4 7 3 2 7 = = 7 3 2 6 = b a n = b•a n m m En Geral:

4 - Propriedade: Raíz de uma Raíz. Resolver usando a Propriedade da Potência: a) d) e) b) c) f)

Decomposição de uma Raíz Sabendo que: Resolver São termos semelhantes

Decomposição de uma Raíz Outro exemplo São termos semelhantes

Racionalização Racionalizar é ampliar uma fração onde o denominador representa uma Raíz, com a finalidade de que esta não apareça. Exemplos: O que devemos saber? ampliar: Propriedade das Raízes: Multiplicar Raízes Raíz como Potência Potências

Racionalizar Raízes Quadradas Simples da Forma 1) 2) 3) 4) En Geral

Racionalize as seguintes Expressões v) ii) vi) vii) iii) viii) iv)

Racionalizar Raízes Quadradas da Forma 1) 2) 3) 4) En Geral

Racionalizar as seguintes Expressões v) ii) vi) vii) iii) viii) iv)

NÃO SE PODE OBTER A RAÍZ QUADRADA DE NÚMEROS NEGATIVOS Condições de Existência de Raízes Quadradas e Índice Par Como, por exemplo, já que e assim para todas as Raízes Quadradas de Números Positivos então NÃO SE PODE OBTER A RAÍZ QUADRADA DE NÚMEROS NEGATIVOS Em Geral, Esta condição é própria de todas as Raízes de ÍNDICE PAR. Quer dizer: Não Existe Não Existe Não Existe Não Existe Não Existe

As Raízes que têm ÍNDICE IMPAR Não têm restrição Condições de Existência de Raízes Quadradas e Índice Impar As Raízes que têm ÍNDICE IMPAR Não têm restrição Quer dizer: já que já que já que já que

Equações Irracionais Uma Equação Irracional é determinar o valor da incógnita que se encontra abaixo das raízes. Exemplo de Equações Irracionais: Para resolvê-las os passos são muito simples: Se há mais de uma raíz, se deve isolar em um dos lados da equação. Elevar ao quadrado ambos os lados da equação.

Exemplo de Resolução de Equações Irracionais: Evitamos o passo i) já que a raíz já está isolada em um dos lados da equação. Aplicamos o passo ii) anterior. Elevar ambos os lados da igualdade a 2. O elevar a raíz a 2, o Índice e o exponente se simplifiquem. Se resolve como uma equação de primeiro grau com uma incógnita. Obs. Com rigor, a solução da equação debe estar no seguinte conjunto:

Passo i) Isolar uma das raízes de um dos dos lados da equação. Ejemplo de Resolución de Ecuaciones Irracionales: Passo i) Isolar uma das raízes de um dos dos lados da equação. Aplicamos o passo ii) anterior. Elevar ambos os lados da igualdade a 2. El elevar la raíz a 2, o índice e o expoente de simplificam e no outro lado da igualdade teremos que realizar o quadrado de um binômio. Devemos voltar ao passo i), raíz isolada e elevamos ao quadrado ambos os lados da igualdade. Daqui para frente a Equação Irracional se transforma em uma equação de primeiro grau com uma incógnita.

Curiosidades 2) Algoritmo para determinar uma raíz. 1)