Unidade 4.1 – Estudo das Funções Ensino Superior Matemática Básica Unidade 4.1 – Estudo das Funções Amintas Paiva Afonso

Funções 1. Interpretação de Gráficos O gráfico representa a viagem da Joana num dia em que resolveu visitar uns amigos Distância ( Km) Tempo (horas) Voltar

Funções 1. Interpretação de Gráficos  A que distância de casa estava a Joana quando efetuou a primeira parada? Joana estava a 10 m de casa.  Durante a viagem, qual foi a distância máxima que a separou de casa? A distância máxima que a separou de casa foi 15 m.  Quanto tempo demorou a viagem? A viagem demorou 3h 30min.  Quanto tempo esteve parada a Joana? Joana esteve parada 1h 30min.  A que horas chegou a Joana a casa? Joana chegou ás 3h30min. Voltar

Funções 1. Noção de Função Considere os seguintes conjuntos A e B f C  5  6 7 8 9 1  2  3  4  Definição de Função: Dados dois conjuntos A e B, se f é uma correspondência entre A e B e se a cada elemento de A corresponde um e um só elemento de B, então f é uma função ou aplicação de A para B. Voltar

Funções 1. Noção de Função A esta correspondência chama-se _________. Ao conjunto A chamamos conjunto de partida ou _________________ e representa-se por ______. Df = { } A todo o elemento de A chamamos _____________. Ao conjunto B chamamos _______________________ da função. Conjunto de chegada de f = { } A todo o elemento de B ao qual corresponde um elemento de A chamamos ___________. Estabelece o conjunto C formado pelas imagens dos elementos de A Ao conjunto C chamamos ______________ da função e representa-se por D’f = { } função Domínio Df 1, 2, 3, 4 Objetos Conjunto de Chegada 5, 6, 7, 8, 9 imagem imagem Imf 5, 6, 7 Voltar

Funções 1. Noção de Função Simboliza-se do seguinte modo: f: A B x y = f(x) x é variável independente e y a variável dependente. Ao conjunto A chamamos Domínio e representa-se por Df. Ao conjunto B chamamos Contradomímnio. Ao conjunto das imagens chama-se Imagem da função e representa-se por Imf. A cada objecto x corresponde uma e uma só imagem y = f(x).

Funções 1. Interpretação de diagramas Exemplo 1: A correspondência não é uma função porque o objecto 1 tem duas imagens, 4 e 5, logo mais do que uma imagem. Exemplo 2: A correspondência não é uma função porque o objecto 2 não tem imagens.

Funções 2. Representação gráfica de uma Função 4 1 0;24] Num determinado dia registaram-se as temperaturas de ar na cidade de Aveiro, de hora em hora e, a partir delas, elaborou-se o gráfico das temperaturas em função da hora do dia. Temperatura º C Horas Indique: o domínio; a imagem; os intervalos de tempo onde a temperatura: é positiva; é negativa; 4 1 0;24] os intervalos onde a temperatura: aumenta; aumenta e é positiva; diminui; diminui e é positiva; é constante. 2 -3;6] 5 as horas do dia em que se registou a temperatura 0 ºC 3

Funções 2. Representação gráfica de uma Função Como averiguar se é, ou não, uma função Um gráfico de uma função só pode ser intersectado no máximo uma vez por uma qualquer recta vertical. Não se trata de uma representação de uma função Trata-se de uma representação de uma função

Funções Domínio Interpretação gráfica do domínio O domínio de uma função obtém-se projetando o seu gráfico sobre o eixo dos x. Voltar

Funções Imagem Interpretação gráfica do Contradomínio A Imagem de uma função obtém-se projectando o seu gráfico sobre o eixo dos y. Voltar

Funções 3. Noções gerais de uma função Zeros de uma função zeros Definição: Zero de uma função é todo o objecto que tem imagem nula. Determinação dos zeros de uma função: Graficamente Averiguar as abcissas dos pontos do gráfico para os quais o gráfico da função intersecta o eixo das abcissas (x) Analiticamente Determinar os valores de x para os quais f(x)=0 isto é, x: f (x) = 0 zeros Voltar

Funções 3. Noções gerais de uma função Sinal de uma função Voltar Definição: Seja f uma função de domínio D, dizemos que : - f é positiva em I (I  D) se e só se f(x) > 0, para todo o x  I. - f é negativa em I (I  D) se e só se f(x) < 0, para todo o x  I. Determinação do sinal de uma função: Graficamente A função é positiva para todos os valores de x cujas imagens estão acima do eixo das abcissas. A função é negativa para todos os valores de x cujas imagens estão abaixo do eixo das abcissas. f(x) >0 f(x) < 0 Voltar

Funções Noções gerais de uma função Monotonia de uma função Voltar b f f(a) f(b) O a b g g(a) g(b) O a b f f(a) f(b) a b g g(a) g(b) A função f é crescente num intervalo E. A função g é decrescente num intervalo E. A função f é estritamente crescente num intervalo E. A função g é estritamente decrescente num intervalo E. Definição: Diz-se que f é crescente / estritamente crescente em E  Df se para todos os números reais a e b pertencentes a E, se a < b, então f(a)  f(b) / se a < b, então f(a) < f(b). Definição: Diz-se que g é decrescente / estritamente decrescente em E  Df se para todos os números reais a e b pertencentes a E, se a < b então g(a)  g(b) / se a < b, então g(a) > g(b). Definição: Uma função crescente ou decrescente diz-se monótona. Observação: Uma função constante é considerada crescente e decrescente. Voltar

Funções Noções gerais de uma função Monotonia de uma função Voltar Definição : Seja f uma função de domínio D.        f(a) é um máximo absoluto de f se, para todo o x pertencente a D, f(a)  f(x)        f(b) é um mínimo absoluto de f se, para todo o x pertencente a D, f(b) f(x)          f(a) é um máximo relativo de f se existir um intervalo aberto E contendo a tal que f(a)  f(x), qualquer que seja o x  E  D        f(b) é um mínimo relativo de f se existir um intervalo aberto E contendo a tal que f(b) f(x), qualquer que seja o x  E  D Definição : Aos valores do domínio a que correspondem os máximos / mínimos relativos da função chamam-se maximizantes / minimizantes Voltar

Funções Noções gerais de uma função Injetividade de uma função Voltar Definição: Uma função f é injetiva num intervalo E  Df se para dois valores quaisquer de E, x1 e x2, se x1  x2 então f(x1)  f(x2). Definição: Uma função f é não injetiva num intervalo E  Df se existem pelo menos dois objectos distintos com a mesma imagem. Voltar

Funções Noções gerais de uma função Injetividade de uma função Graficamente Vê-se que uma função é não injetiva se existir pelo menos uma recta horizontal que intersecte o gráfico da função em mais do que um ponto. f é função injetiva f é função não injetiva

Funções Noções gerais de uma função Sobrejetividade de uma função Definição: Uma função g é sobrejetiva se o seu contradomínio coincide com o conjunto de chegada. g é sobrejetiva f é não sobrejetiva

Funções Noções gerais de uma função Taxa de Variação Média A taxa de variação média (t.v.m) entre a e b traduz a rapidez de variação da função e obtém-se dividindo a variação da função pela amplitude do intervalo, isto é: f(b) f f(b) - f(a) f(a) b - a f(b) - f(a) t.v.m. = [a, b] a b b - a

Funções Observações: Noções gerais de uma função Se a função é crescente a taxa de variação média é positiva nesse intervalo. Se a função é decrescente num dado intervalo então a taxa de variação média é negativa nesse intervalo. Se a função é constante num dado intervalo então a taxa de variação média é zero nesse intervalo.