Aparentemente, existe uma dificuldade inerente ao ser humano em compreender que uma soma infinita de termos não nulos possa resultar em um número finito. Tome como exemplo a soma a seguir:

Estude os dois exemplos abaixo como recursos úteis que o ajudarão a transpor essa dificuldade. 1. Imagine um quadrado com área A=1. Podemos dividir o quadrado verticalmente ao meio e colorimos a área da esquerda (azul). O retângulo da direita é dividido horizontalmente ao meio e colorimos a área inferior (verde). O quadrado que resta pode novamente ser dividido verticalmente e novamente pintaremos a área da esquerda (laranja). A área da direita é novamente dividida e a parte inferior pintada (cinza). O processo segue indefinidamente. Podemos calcular o valor da área pintada: Como a regra é sempre dividir o pedaço restante ao meio, mesmo que continuemos o processo indefinidamente, nunca pintaremos uma área maior do que a inicial: A=1. Por outro lado, a parte colorida vai ficando cada vez mais próxima da área total A=1 (a área em branco vai ficando cada vez mais reduzida). Podemos agora perceber que a soma dos infinitos termos acima é igual a 1. Resumindo, apesar de termos feito o raciocínio “ao contrário” (dividimos o número 1 em infinitas frações), fica claro que uma soma infinita pode resultar em um número finito, caso contrário, com uma tesoura e uma folha de papel, teríamos uma fábrica de celulose. Esta idéia geométrica para o cálculo de séries infinitas foi inventada por Arquimedes (287 ac).

A divisão da área em duas partes iguais é apenas um caso particular A divisão da área em duas partes iguais é apenas um caso particular. Fazendo o raciocínio mais geral da divisão em partes assimétricas teremos como calcular a soma geral: Sejam x e y as duas frações nas quais a área foi dividida. e, analogamente ao raciocínio anterior, a fração x será novamente dividida. lembre que a = ya + xa (20% de a mais 80% de a = a) repetindo indefinidamente o processo de fracionamento... . Ou, isolando a variável y e lembrando que y = 1-x Como queríamos demonstrar... (a demonstração pode ser estendida para x negativo) Exercício Qual o erro no cálculo se somarmos o somatório apenas até a décima potencia de x = 1/2 ? Após alguns passos podemos ver que até a potência n, a expressão fica Para x = 1/2 e n=10 o termo em vermelho (que corresponde a área em branco na figura) vale 1/1024 (menos que um milésimo). Observe que, como x<1, o erro vai a zero quando n cresce.

Um segundo exemplo também nos ajuda a compreender somas infinitas. 2. Podemos facilmente decompor a dízima periódica 1,1111... = 10/9 em uma soma infinita: 1,111... = 1 + 0,1 + 0,01 + 0,001 + ... Novamente, temos um número finito sendo representado por uma soma infinita. Este é um caso particular da soma infinita que discutimos anteriormente. Tomando x=1/10, Exercício Calcule o somatório

Apenas rascunho 7 8 5 6 3 4 1 2