LIMITE DE UMA FUNÇÃO Nice Maria Americano costa Pinto UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO

INTRODUÇÃO Um pouco de história Cálculo Diferencial e Integral; séculos XVI e XVII, Newton e Leibniz. interesses de cálculos (diferenciação integração) O Cálculo Diferencial Grécia Antiga: tangentes a curvas, reta e curvas; sua intersecção Século XVII, as órbitas dos planetas. Newton: calcular as órbitas de planetas, considerar a corda de um arco, Curva da trajetória: limite de pequenas cordas encadeadas umas às outras. O Cálculo Integral área subtendida por curva limite de uma soma áreas de retângulos inseridos sob a curva. Limite de uma função Século XIX; Bolzano (1817), técnica do “epsilon” ,“” e “delta”, “”; Cauchy (1821),a essência da idéia; Weierstrass (1850 e 1860), a noção de forma rigorosa.

Vizinhança de um ponto Para um valor arbitrariamente pequeno >0, a vizinhança de a é o conjunto dos x compreendido pelo intervalo a a- a+ x 

Limite de uma variável Se x-a< valer para todo >0, arbitrariamente pequeno, dizemos que a variável x tem um limite e tal limite vale a. Simbolicamente, a a- a+ x x2 x1 x3 Os valores x1, x2 e x3 da variável x, estão na vizinha  de x=a. Isto é, os valores xi estão no intervalo a-e < xi <a+e (i=1,2,3)

Exemplos x é a variável de valores Essa variável tem um limite que é 1.  uma vizinhança de centro em 1, com raio ; devemos calcular , para provar que a inequação |x-1 < e. O ponto de partida será portanto a expressão |x-1|, i.e. calcular quanto ela vale;

n xn n xn n xn termos (n=2) x é o conjunto dos termos: x1=1, x2=1,5, 1o.termo 2 1,5 2o.termo (n=2) x é o conjunto dos termos: x1=1, x2=1,5, e>1/2=0,5. e=0,51 satisfaz a condição e todos os valores da variável x ficam na vizinhança |x-1|<0,51 n xn termos 1 1o.termo 2 1,5 2o.termo 3 1,333333 3o.termo (n=3) x é o conjunto dos 3 termos: x1=1, x2=1,5, x3=1,33, ε>1/3=0,33333. ε=0,51 satisfaz a condição e todos os valores da variável x ficam na vizinhança |x-1|<0,51 (n=6) x é o conjunto dos 6 termos: x1=1, x2=1,5, x3=1,33, x4=1,25, x5=1,2, x6=1,16 e>1/6=0,166667. e=0,51 satisfaz a condição e todos os valores da variável x ficam na vizinhança |x-1|<0,51 n xn termos 1 1o.termo 2 1,5 2o.termo 3 1,333333 3o.termo 4 1,25 4o.termo 5 1,2 5o.termo 6 1,166667 6o.termo

x é a variável de valores Essa variável tem um limite que é 1.  uma vizinhança de centro em 1, com raio ; devemos calcular .

(n=2) x é o conjunto dos 2 termos: x1=1, x2=1,25, e>1/22=0,25. e=0,26 satisfaz a condição e todos os valores da variável x ficam na vizinhança |x-1|<0,26 n xn termos 1 1o.termo 2 1,25 2o.termo (n=3) x é o conjunto dos 3 termos: x1=1, x2=1,25, x3=0,875, e>1/23=0,015625. e=0,26 satisfaz a condição e todos os valores da variável x ficam na vizinhança |x-1|<0,26 n xn termos 1 1o.termo 2 1,25 2o.termo 3 0,875 3o.termo n xn termos 1 1o.termo 2 1,25 2o.termo 3 0,875 3o.termo 4 1,0625 4o.termo 5 0,96875 5o.termo 6 1,015625 6o.termo (n=6) x é o conjunto dos 6 termos: x1=1, x2=1,25, x3=0,875, x4=1,0625, x5=96875, x6=1,015625 e>1/26=0,015625. e=0,26 satisfaz a condição e todos os valores da variável x ficam na vizinhança |x-1|<0,26

X é uma variável de valor constante c Essa variável tem um limite que é c, ainda que pareça estranho.  uma vizinhança de centro em c, com raio ; devemos calcular .

Uma variável x não pode ter dois limites diferentes, a e b. Observações Uma variável x não pode ter dois limites diferentes, a e b. a x b (b-a)/2  Não se imagine que toda variável tem um limite.

x VARIÁVEL INFINITAMENTE GRANDE a variável x tende ao infinito, se, p/ cada número positivo M, pode-se Indicar um valor de x, a partir do qual, todos os valores subseqüentes da variável verificam : Seja a variável x o { x1, x2, x3, x4, x5....xn}, mostrado na figura abaixo. x3 x4 x x1 x2 x5 x6 Xn-1 A partir de x4, todo valor subseqüente da variável é maior que o antecedente; para M=x4, |xi|>M, p/ i=5,6,7....n

Limite de uma função Seja Y=f (x) uma função definida nas vizinhanças do ponto a, ou, em certos pontos desta vizinhança. A função tende a b, quando x tende a a, ou se, para cada número positivo ε > 0, tão pequeno quanto se queira, pode-se indicar um δ > 0 tal que, para todo x diferente de a, verificando | x -a | < δ , a desigualdade | f(x) - l | < ε, fica satisfeita. Diz-se então que b é o limite de f(x). b   a

Exemplos Os “resultados” dos limites das funções 3 e 5 demonstram que o cálculo do limite não se faz por uma simples substituição direta do valor para o qual a variável tende. Veremos que existem resultados para tais limites

Cálculo pela definição Se 14 é o lim f(X), quando x  3, temos que ter:

Se 7 é o lim f(X), quando x  2, temos que ter: