CONCEITOS BÁSICOS DE GRAFOS Prof. M.Sc. Fábio Francisco da Costa Fontes Agosto - 2009

Caminho, Percurso Um caminho de um vértice vi0 para o vértice vik é uma seqüência de arestas < vi0, vi1 >, < vi1 , vi2 > , . . . , < vi,k–1 , vik >. Um caminho é dito elementar se passa exatamente uma vez por cada vértice e é simples se passa exatamente uma vez por cada aresta. Quando o grafo é não orientado o conceito de caminho é substituído por cadeia que pode ser representada pela seqüência de arestas que a forma ou dos vértices nela contidos. Alguns autores usam o termo percurso para denominar genericamente um caminho.

Caminho e Distância Outra forma de representação encontrada na literatura: Para grafos simples um caminho pode ser abreviado por uma seqüência de vértices: W = <v0, v1, v2, ..., vn> Em um grafo geral, pode-se abreviar como uma seqüência de arestas: W = <v0, e1, e2, ..., en, vn>

Caminho, Percurso Um caminho trivial é um caminho de comprimento zero: um vértice e nenhuma aresta Um caminho fechado é um caminho não trivial que começa e termina no mesmo vértice.

Ciclo, Circuito Se os vértices inicial e final são coincidentes ( vi0 = vik ), dizemos que o caminho é fechado e forma um ciclo que é chamado de circuito se o grafo for orientado.

Comprimento O comprimento de um percurso num grafo valorado é a soma dos custos de percorrer cada aresta e num grafo não valorado é igual ao número de arestas que o compõe. Ou seja O comprimento de um caminho é o número de arestas da seqüência

Caminho e Distância Muitas aplicações precisam de grafos para representar percurso e distância. Exemplos: O número de nós de rede percorridos por uma mensagem de e-mail O número de links entre duas páginas web A distância entre duas pessoas numa rede de relacionamentos da internet

Caminho e Distância A distância d(s,t) de um vértice s para um vértice t em um grafo G é o comprimento do menor caminho entre s e t Se não existir um caminho entre s e t então a distância é infinita Um problema interessante é o de achar sistematicamente o caminho mais curto entre dois vértices quaisquer

Excentricidade A excentricidade de um vértice v em um grafo G=(V,E), denotado por ecc(v), é a distância de v ao vértice mais afastado de v.

Diâmetro O diâmetro de um grafo G=(V,E), denotado por diam(G), é a maior excentricidade dos vértices de G O diâmetro é a maior distância entre dois vértices de G

Raio O raio de um grafo G=(V,E), denotado rad(G), é o mínimo das excentricidades dos vértices

Vértice Central O vértice central de um grafo G=(V,E) é o vértice com a menor excentricidade Se v é o vértice central, ecc(v) = rad(G) Exemplo: O grafo abaixo tem diâmetro 4, raio 2 e os vértices centrais são x e y x y u

Ciclo Euleriano e Circuito Hamiltoniano Um Ciclo que passa por todas arestas de um grafo é dito Euleriano e um circuito elementar que passa por todos os vértices é chamado de Hamiltoniano. O problema do Caixeiro Viajante consiste em analisar todos circuitos Hamiltonianos existentes para (n+1) pontos, e o número máximo destes caminhos é n! .

Caminhos, Ciclos e Árvores Um ciclo euleriano no grafo abaixo é ‹u,v,t,u,w,t,z,w,x,y,z,u› u t z y v w x

Grafo Acíclico Um grafo acíclico é um grafo que não tem ciclos

Exercício No quadro a seguir assinale com X a classificação que atribui a cada um dos caminhos indicados:

Exercício Descrição Elementar Simples Caminho Circuito 1,2,3,4,5 1,2,1,4,5 1,2,3,1,2 1,2,2,3,4 2,2 2,3,1,2,1,2 3,1,4,5 4,5,1,2,2,3,4

Exercícios 2- Determine qual das seguintes seqüências de vértices são caminhos do grafo abaixo. <u,v> <v> <u,z,v> <u,v,w,x,z> u v z y x w

Exercícios 3- Ache todos os caminhos de comprimento 4 ou 5 do vértice w ao vértice r no grafo abaixo. w s u v z y x r

Exercícios 4- Ache a distância entre os vértices x e y do grafo abaixo

Gabarito Gabarito: 2- a) sim b) sim (trivial) c) não d) não