Conexidade e Conectividade Prof. M.Sc. Fábio Francisco da Costa Fontes Março - 2009

Conexidade A noção de conexidade está relacionada à possibilidade da passagem de um vértice a outro em um grafo através das ligações existentes. Um grafo qualquer (orientado ou não) é não-conexo, ou desconexo, se existir ao menos um par de vértices não unidos por uma cadeia.

Conexidade Portanto, um Grafo G = (V, E) é conexo se para todo par de vértices existe pelo menos uma cadeia entre eles.

Conexidade G1 G2 G3 G4 G5 Os grafos G1, G2 e G3 não admitem a passagem de um vértice dado a qualquer outro vértice. Os grafos G4 e G5 ela é sempre possível, G4 sendo minimal em relação a essa propriedade (como se pode observar, ao se tentar suprimir qualquer aresta).

Conexidade G1 G2 G3 G4 G5 Esta propriedade só existe em G5, embora desde G3 os vértices estejam unidos. Além disso, pode-se observar que, tanto em G4 como em G5, nenhum par de vértices é mutuamente não atingível: ao menos uma das duas direções é viável. Isto já não ocorre em G3, pois os dois vértices da direita são mutuamente inatingiveis.

Conectividade Dois vértices u e v em um dígrafo são mutuamente alcançáveis (atingíveis) se existe um caminho de u para v e outro de v para u v y u w x

Conexidade Grafo simplesmente conexo (s-conexo) - Todo par de vértices é ligado por ao menos uma cadeia. A definição é a mesma do caso não orientado Grafo semi-fortemente conexo (sf-conexo) - Para todo par de vértices u, v, ou existe um caminho de u até v ou existe um caminho de v até u. Grafo fortemente conexo (f-conexo) - Para todo par de vértices u, v existe um caminho de u até v e existe um caminho de v até u.

Conexidade

Conectividade Um dígrafo fortemente conectado v y u w x

Conexidade Obs.: todo grafo f-conexo é também sf-conexo e s-conexo e que todo grafo sf-conexo é também s-conexo Um dígrafo é conexo se seu grafo base (não direcionado) é conexo

Conexidade Sub-grafos conexos de um grafo não conexo recebem o nome de componentes conexos O grafo abaixo tem 3 componentes conexos z v x u r w y q

Exercício Suponha que o grafo abaixo representa as ruas do centro da cidade. Torne todas as ruas em sentido único, de tal forma que todo ponto seja alcançável a partir de qualquer outro ponto b a c f d g e

Conectividade A conectividade de vértices k(G) de um grafo G =(V,E) é o menor número de vértices cuja remoção desconecta G ou o reduz a um único vértice. A conectividade de arestas k’(G) de um grafo G = (V, E) é o menor número de arestas cuja remoção resulta em um grafo não conexo

Árvores Uma árvore é um grafo conectado que não tem ciclos Árvore Não é árvore Não é árvore

Aplicações de Grafos Diretórios do Sistema Operacional: os diretórios e subdiretórios que contém os arquivos do usuário são normalmente representados pelo sistema operacional como vértices em uma árvore com raiz Drive C Softs Docs Utils Draw Write Comm Geral Aulas Word

Aplicações de Grafos Redes minimamente conectadas: suponha que uma rede deve ser criada a partir de n computadores. A figura abaixo mostra uma rede com um número mínimo de arestas.

Aplicações de Grafos Problema do caminho mais curto: considere que cada aresta contém o tempo necessário para atravessá-la, ache o menor tempo para ir se s para t s 8 3 2 9 2 4 7 3 3 6 2 8 9 7 5 1 4 5 t

Aplicações de Grafos Problema do caixeiro viajante: suponha que um vendedor deve visitar várias cidades no próximo mês. Ache a seqüência de visitas (ciclo hamiltoniano) de forma a minimizar o custo da viagem. O problema do caixeiro viajante é NP-difícil e tem motivado a criação de inúmeros métodos de solução diferentes. 10 9 9 5 6 5 7 7 7 10 7 11 9 6 6 18