Problemas de Forma Não-padrão Prof. M.Sc. Fábio Francisco da Costa Fontes Setembro - 2009

Introdução Nem todos os problemas de programação linear estão no formato padrão, isto é, são problemas de maximização com todas as restrições do tipo menor ou igual. Quando o formato não for o padrão, devemos utilizar diversos métodos antes de podermos utilizar o Simplex.

Função objetivo de Minimização Por exemplo: Quando tivermos um problemas em que todas as restrições são do tipo menor ou igual e a função-objetivo for de minimização, devemos alterar o problema como mostrado a seguir.

Função objetivo de Minimização Min Z = 3x1 - 5x2 Sujeito a: x1 ≤ 4 2x2 ≤ 12 3x1 + 2x2 ≤ 18 x1≥ 0 e x2 ≥ 0 Max -Z = -3x1 + 5x2

Função objetivo de Minimização Esta modificação se baseia no fato de a igualdade Min Z = Max –Z ser sempre válida (quando a solução ótima existir).

Restrição do tipo maior ou igual Nem sempre as modificações são tão simples quanto a anterior. Considere o problema a seguir de maximização simples em que uma das restrições é do tipo maior ou igual. Max Z = 3x1 - 5x2 Sujeito a: x1 ≤ 4 2x2 ≤ 12 3x1 + 2x2 ≥ 18 x1≥ 0 e x2 ≥ 0

Restrição do tipo maior ou igual Toda vez que o sinal da restrição for do tipo maior ou igual, definimos uma variável que, em vez de representar a folga, representará o excesso. Max Z = 3x1 - 5x2 Sujeito a: x1 + x3 = 4 2x2 + x4 = 12 3x1 + 2x2 – x5 = 18 x1, x2, x3, x4, x5 ≥ 0

Restrição do tipo maior ou igual A primeira solução para o problema anterior será: x1 = 0, x2 = 0, x3 = 4, x4 = 12, x5 = -18 Note que o valor de x5 nesta solução fere a restrição do problema que obriga x5 a ser maior ou igual a zero; portanto a solução associada é uma solução do problema, porém esta solução não é viável.

Restrição do tipo maior ou igual A maneira de se resolver este e outros problemas em que achar a solução inicial viável não é trivial envolve a utilização de métodos tais como o Big M e Função Objetivo Artificial. Ambos os métodos se baseiam na introdução de variáveis artificiais (que não existem no problema) para facilitar o descobrimento da solução inicial.

Método da Função Objetivo Artificial Vamos utilizar o problema a seguir para entendermos o funcionamento do método. Max Z = x1 - x2 + x3 s.a: 2x1 - x2 + 2x3 ≤ 4 2x1 - 3x2 + x3 ≤ -5 -x1 + x2 - 2x3 ≤ -1 x1, x2 , x3 ≥ 0

Método da Função Objetivo Artificial A primeira solução encontrada será: x1, x2 , x3 = 0 x4 = 4, x5 = -5, x3 = -1 Esta solução não é viável então precisamos de um problema artificial

Método da Função Objetivo Artificial Min x0 s.a: 2x1 - x2 + 2x3 - x0 ≤ 4 2x1 - 3x2 + x3 - x0 ≤ -5 -x1 + x2 - 2x3 - x0 ≤ -1 x0, x1, x2 , x3 ≥ 0 Max -x0

Método da Função Objetivo Artificial Max -x0 s.a: 2x1 - x2 + 2x3 + x4 - x0 = 4 2x1 - 3x2 + x3 + x5 - x0 = -5 -x1 + x2 - 2x3 + x6 - x0 = -1 x0, x1, x2 , x3, x4, x5, x6 ≥ 0

Método da Função Objetivo Artificial Escolhemos x0 para se tornar dependente, mesmo ela sendo negativa na função objetivo x4 - x0 = 4  x4 = 4 + x0 x4 ≥ 0 4 + x0 ≥ 0 x0 ≥ -4 x5 - x0 = -5  x5 = -5 + x0 x5 ≥ 0 -5 + x0 ≥ 0 x0 ≥ 5 x6 - x0 = -1 x6 = -1 + x0 x6 ≥ 0 -1 + x0 ≥ 0 x0 ≥ 1 Max {-4, 5, 1} x1 x2 x3 x4 x5 x6 x0 x4 2 -1 2 1 0 0 -1 4 x5 2 -3 1 0 1 0 -1 -5 x6 -1 1 -2 0 0 1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 1 -1 1 0 0 0 0 0 Função objetivo original

Método da Função Objetivo Artificial x1 x2 x3 x4 x5 x6 x0 x4 0 2 1 1 -1 0 0 9 x0 -2 3 -1 0 -1 0 1 5 x6 -3 4 -3 0 -1 1 0 4 -2 3 -1 0 -1 0 0 5 1 -1 1 0 0 0 0 0 A função objetivo é igual a -5, mas agora temos uma solução básica viável

Método da Função Objetivo Artificial x1 x2 x3 x4 x5 x6 x0 x4 3/2 0 5/2 1 -1/2 -1/2 0 7 x0 1/4 0 5/4 0 -1/4 -3/4 1 2 x2 -3/4 1 -3/4 0 -1/4 1/4 0 1 1/4 0 5/4 0 -1/4 -3/4 0 2 1/4 0 1/4 0 -1/4 1/4 0 1

Método da Função Objetivo Artificial x1 x2 x3 x4 x5 x6 x0 x4 1 0 0 1 0 1 -2 3 x3 1/5 0 1 0 -1/5 -3/5 4/5 8/5 x2 -3/5 1 0 0 -2/5 -1/5 3/5 11/5 0 0 0 0 0 0 -1 0 1/5 0 0 0 -1/5 2/5 -1/5 3/5

Método da Função Objetivo Artificial O fato de não existir mais nenhum coeficiente positivo na função objetivo do problema artificial é porque atingimos a solução ótima do problema artificial. Tanto a função objetivo como a variável artificial assumiram o valor zero na solução ótima, portanto existe uma solução viável para o nosso problema original

Método da Função Objetivo Artificial Devemos portanto a partir do quadro final da primeira fase gerar o primeiro quadro para a segunda fase, isto é, encontrar a solução ótima para o problema original. Primeiramente devemos retirar a coluna referente à variável artificial, já que ela não existe no problema original e foi introduzida apenas para podermos encontrar uma solução viável inicial do problema original.

Método da Função Objetivo Artificial x1 x2 x3 x4 x5 x6 x4 1 0 0 1 0 1 3 x3 1/5 0 1 0 -1/5 -3/5 8/5 x2 -3/5 1 0 0 -2/5 -1/5 11/5 1/5 0 0 0 -1/5 2/5 3/5

Método da Função Objetivo Artificial x1 x2 x3 x4 x5 x6 x6 1 0 0 1 0 1 3 x3 4/5 0 1 3/5 2/5 0 17/5 x2 -2/5 1 0 1/5 -2/5 0 14/5 -1/5 0 0 -2/5 -1/5 0 -3/5

Método da Função Objetivo Artificial Resolva o problema abaixo: Min Z = x1 + x2 s.a: 2x1 + x2 ≥ 2 x1 + 2x2 ≥ 2 x1, x2 ≥ 0